dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Transkrypt

1 Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R R }{{} k razy Elementy R k wektory; x = (x 1, x 2,, x k ) Operacje na wektorach Niech a R, y = (y 1, y 2,, y k ) R k oraz z = (z 1, z 2,, z k ) Definiujemy ay =(ay 1, ay 2,, ay k ); (1) y + z =(y 1 + z 1,, y k + z k ) (2) Przestrzenie liniowe Mówimy, że podzbiór V przestrzeni R k jest przestrzenią liniową, jeśli dla dowolnych y, z V i a 1, a 2 R a 1 y + a 2 z V Przykłady: przestrzeniami liniowymi są zbiory: X 1 = {0} jest przestrzenią liniową; X 2 = {cx, c R} gdzie x jest dowolnym ustalonym wektorem R k Nie jest przestrzenią liniową X 3 = {5} Uwaga Istnieją przestrzenie liniowe, które nie są podzbiorami R k (dla żadnego k) Np zbiór wielomianów stopnia mniejszego lub równego 2 jest przestrzenią liniową 1

2 Iloczyn skalarny wektorów w R k Iloczyn skalarny wektorów x = (x 1,, x k ) oraz y = (y 1,, y k ) (oznaczony symbolem < x, y >) określamy wzorem: < x, y >= x 1 y x k y k Długość wektora x R k definiujemy wzorem < x, x > = x x x 2 k Metrykę euklidesową ( odległość ) definiujemy wzorem: d E (x, y) = < x y, x y > Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11, a 12, a 21, a 22 są znane, x i y są niewiadomymi Jeżeli pierwsze z równań pomnożymy przez a 22 a drugie przez a 12, a następnie odejmiemy drugie równanie od pierwszego, otrzymamy: (a 11 a 22 a 12 a 21 )x = h 1 a 22 h 2 a 12 Jeśli a 11 a 22 a 12 a 21 0, to x = h 1a 22 h 2 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 Układy równań i pojęcie macierzy Analogicznie: y = h 2a 11 h 1 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 Problem W jaki sposób uogólnić te wzory na przypadek układu n równań z n niewiadomymi? Użyteczne jest w tym celu pojęcie macierzy Definicja 1 Macierza A wymiaru m n nazywamy tablicę liczb: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Pojęcie macierzy cd Macierz A (w Definicji 1) składa się z m wierszy i n kolumn Skrócony zapis: A = (a ij )(i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n) Jeśli m = n to powiemy, że A macierzą kwadratową (lub dokładniej: macierzą kwadratową stopnia n) 2

3 Macierze diagonalne Ważna klasa macierzy kwadratowych: macierze diagonalne (przekatniowe) postaci d d 2 0 D = = diag(d 1, d 2,, d n ) 0 0 d n Macierz jednostkowa (identycznościowa) I n jest określona wzorem I n = diag(1, 1,, 1) Wektory i macierze Macierz składająca się z jednej kolumny x = x 1 x 2 x m będziemy nazywać wektorem kolumnowym Macierz składającą się z jednego wiersza będziemy nazywać wektorem wierszowym W dalszym ciągu wykładu będziemy traktować wektory jak macierze kolumnowe (pewni autorzy preferują podejście, w którym wektory są utożsamione z macierzami wierszowymi) Macierze przykłady 2 3 5, , , 0 1 Macierze: 3 1 (wektor kolumnowy), macierz wymiaru 3 4, macierz kwadratowa stopnia 3, macierz identycznościowa stopnia 2 Operacje na macierzach: transpozycja Macierzą transponowaną do macierzy nazywamy macierz A = (a ij ), i = 1,, m; j = 1,, n A = (b ij ), i = 1,, n; j = 1,, m, gdzie b ij = a ji, i = 1,, n, j = 1,, m Widzimy, że macierz A otrzymuje się z macierzy A przez zamianę wierszy na kolumny (lub kolumny na wiersze) Przykład Wektor kolumnowy możemy zapisać w postaci v = 2, 3, 5 v =

4 Operacje na macierzach cd Dla macierzy A i B wymiaru m n A = (a ij )(i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n), B = (b ij )(i = 1, 2,, m) sumę C = (c ij ) (i = 1, 2, m = 1, 2,, n) określamy wzorem c ij = a ij + b ij Dla macierzy A = (a ij )(i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n) i B = (b jk )(i = 1, 2,, n; k = 1, 2,, p) określony jest ich iloczyn C = (c ik )(i = 1, 2,, m; k = 1, 2,, p) wzorem Zapis macierzowy układu równań Układ równań n c ik = a ij b jk, i = 1, 2,, m; k = 1, 2,, p j=1 a 11 x + a 12 y = h 1 (3) a 21 x + a 22 y = h 2 (4) można zapisać w postaci: Av = h, gdzie A = a11 a 12 a 21 a 22, v = x y, h = h1 h 2 Wyznacznik macierzy kwadratowej Dla macierzy kwadratowej (a ij )(i = 1, 2,, 2; j = 1, 2,, 2) stopnia 2, jej wyznacznik, oznaczony symbolem A (lub det A) definiujemy wzorem: A = a 11 a 22 a 12 a 21 Dla macierzy kwadratowej A stopnia 3, A = (a ij )(i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) jej wyznacznik definiujemy wzorem: A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 (5) Wyznacznik macierzy kwadratowej st n suma n! składników Wyznacznik macierzy zastosowanie do rozwiazywania układu równań Rozwiązanie układu równań (3) (4) można zapisać w postaci: gdzie x = A 1 A, y = A 2 A, A 1 = A 2 = h1 a 12 h 2 a 22 a11 h 1 a 21 h 2 Zakładamy, że A 0 Dla układów równań z liczbą niewiadomych > 2 analogiczne wzory 4,

5 Inne metody rozwiazywania układów równań eliminacja Gaussa; por Bed04, str ; metody oparte na tzw dekompozycjach macierzowych (np QR) W naszym wykładzie ograniczamy się do rozważania układów n równań z n niewiadomymi; zakładamy, że macierz układu jest nieosobliwa Rozważania dotyczące układów równań liniowych, w których liczba równań może być różna od liczby niewiadomych, można znaleźć np Bed04, str Macierze i przekształcenia płaszczyzny Przekształcenia płaszczyzny, takie jak: symetria względem osi OX lub obrót o kąt α względem środka układu współrzędnych, można opisać przy użyciu macierzy stopnia 2 Np punktowi P = x y w wyniku obrotu płaszczyzny o kąt α zostanie przyporządkowany punkt P = x y, x cos α sin α x y = sin α cos α y Mnożenie macierzy odpowiada składaniu przekształceń Oznaczmy macierz obrotu o kąt α przez R α, cos α sin α R α = sin α cos α Macierze i przekształcenia płaszczyzny cd Można pokazać, że R α+β = R α R β dla dowolnych kątów α i β Macierz I = ( ) odpowiada przekształceniu identycznościowemu płaszczyzny Macierz odwrotna Macierz kwadratową A nazywamy nieosobliwą, jeśli A 0 Można pokazać, że jeśli A jest macierzą nieosobliwą stopnia n, to istnieje dokładnie jedna macierz B spełniająca równość: AB = I n Macierz B (spełniającą powyższą równość) nazywamy macierzą odwrotną do A i oznaczamy symbolem A 1 Obliczanie macierzy odwrotnej jawna postać macierzy odwrotnej można ją wyrazić wykorzystując pojęcie wyznacznika; praktyczny sposób obliczania macierzy odwrotnej metoda elementarna (por Bed04, str 165) 5

6 Obliczanie macierzy odwrotnych dla macierzy kwadratowych stopnia 2 i 3 Dla macierzy nieosobliwej A = a b c d A 1 = 1 A d c, b a dla macierzy nieosobliwej mamy A 1 = 1 A a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 a 32 a 33 a 13 a 12 a 33 a 32 a 12 a 13 a 22 a 23 a 23 a 21 a 33 a 31 a 11 a 13 a 31 a 33 a 13 a 11 a 23 a 21 a 21 a 22 a 31 a 32 a 12 a 11 a 32 a 31 a 11 a 12 a 21 a 22 Zastosowanie do rozwiazywania układu równań liniowych Jesteśmy zainteresowani rozwiązaniem układu równań: Av = h, (6) gdzie A jest macierzą nieosobliwą stopnia n 2, h jest znanym wektorem n-wymiarowym, v jest n-wymiarowym wektorem niewiadomych Rozwiązaniem układu równań (6) jest v = A 1 h Obliczanie macierzy odwrotnej przy użyciu tego wzoru zalecane, gdy chcemy rozwiązać równanie (6) dla kilku wartości h (i tej samej macierzy A) Zastosowanie znajdowanie równania paraboli przechodzacej przez zadane trzy punkty Chcemy znaleźć równanie paraboli, której równanie dane jest wzorem y = ax 2 +bx+c, przechodzącej przez punkty P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ) Zakładamy, że P 1, P 2 i P 3 nie leżą na jednej prostej Zastosowanie znajdowanie równania paraboli przechodzacej przez zadane trzy punkty cd Problem sprowadza się do znalezienia rozwiązania układu równań: Av = y, gdzie 1 x 1 x 2 1 c A = 1 x 2 x 2 2, v = b, y = 1 x 3 x 2 3 a y 1 y 2 y 3 Zastosowanie znajdowanie równania paraboli przechodzacej przez zadane trzy punkty Założyliśmy, że punkty P 1, P 2, i P 3 nie leżą na jednej prostej stąd wynika, że x 1, x 2 i x 3 są różne (od siebie wzajemnie); można pokazać, że stąd wynika, że wyznacznik macierzy A jest różny od 0, a zatem do znalezienia rozwiązania układu równań można zastosować podany na wykładzie wzór na obliczanie macierzy odwrotnej do macierzy kwadratowej stopnia 3 6

7 Zastosowanie znajdowanie równania paraboli przechodzacej przez zadane trzy punkty Metody algebry macierzowej znajdują zastosowanie zagadnień związanych z dopasowywaniem równań do danych (np należy dopasować parabolę do punktów P 1 = (x 1, y 1 ),, P n = (x n, y n ), gdzie n > 3) Polecana literatura Bed04 Tadeusz Bednarski, Elementy matematyki w naukach ekonomicznych, Oficyna Ekonomiczna 2004, Rozdz 5 7