DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA
|
|
|
- Bogna Bednarska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa= kn m 2 = N m IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0, m 4 EI = Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA= N =26,2 kg m 2 - IPE 240 Pręt 2: I y =3890cm 4 =0, m 4 EI = Nm 2 A=39,1 cm 4 =0,00391 m 2 EA= N =30,7 kg m ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 1
2 kład ramowy z numeracją prętów i przemieszczeń: Numeracja przemieszczeń lokalnych w prętach: ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 2
3 Wzory do obliczeń macierzowych: transformacja do układu globalnego macierzy szywności K e =T T K e T K e macierz sztywności T macierz transformacji T=[ C 0 0 C] C=[ cos sin 0 8] gdzie sin cos kąt między osią x układu globalnego, a osią x układu lokalnego transformacja do układu globalnego macierzy mas elementów M e =T T M e T Równanie równowagi dynamicznej układu (drgania własne): K [nxn ] q [ nx1] M [nxn ] q [ nx1] jeżeli przyjmiemy q=q 0 sin t i dwukrotnie zróżniczkujemy po t otrzymamy wyrażenie: q= 2 q 0 sin t które podstawiamy do równania równowagi dynamicznej, otrzymując w ten sposób równanie w postaci: K M q 0 =0 gdzie = 2 Agregacja macierzy: Obliczanie macierzy sztywności dla elementów prętowych (przy obliczneiach korzystam z programu excel): ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 3
4 Pręt 1 =306,8699 o Macierze sztywności w układzie lokalnym i układzie globalnym: 0, ,8 0, T=[0,6 1] =[ T T ,6 0, ,8 0,6 0 0,6 0, ] 0,8 0, ,6 0, ,8 0,6 0 K 1 e =[ ] K 1 e =[ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00] Macierze mas w układzie lokalnym i globalnym 0, , ,66 34, ,84 20,27 M e =[43, ,31 31, ,27 23,39 21, , ,84 20, ,66 34, ,27 23, ,31 31,19] M 1 e =[ 46,88 2,41 27,45 18,64 2,4 16,22 2,38 45,45 20,59 2,4 20,04 12,16 27,45 20,59 31,19 16,22 12,16 23,39 18,64 2,4 16,22 46,86 2,4 27,45 2,4 20,04 12,16 2,4 45,46 20,59 16,22 12,16 23,39 27,45 20,59 31,19] ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 4
5 Pręt 2 =0 o Macierz transformacji i macierz transformacji transponowana: T=T =[1 1] T Macierze sztywności w układzie lokalnym i układzie globalnym: K 2 e =K e =[ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,44] Macierze mas w układzie lokalnym i układzie globalnym: , ,31 32, ,76 19,24 M 1 e =M e =[46, ,56 26, ,24 19,98 23, , ,76 19, ,31 32, ,24 19, ,56 26,64] ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 5
6 Pręt 3 =90 o Macierz transformacji i macierz transformacji transponowana: T=[ 1] T =[0 1] 1 T Macierze sztywności w układzie lokalnym i układzie globalnym: K 3 e =[ , , , , , , , , , , , , ] K 3 e =[ , , , , , , , , , , , , ] Macierze mas w układzie lokalnym i układzie globalnym: , ,93 21, ,47 12,98 M e =[34, ,96 15, ,98 11,98 17, , ,47 12, ,93 21, ,98 11, ,96 15,97] M 3 e =[ 38, ,96 13, , , , , ,97 12, ,98 13, ,98 38, , , , , ,98 21, ,97] ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 6
7 Pręt 4 =90 o Macierz transformacji i macierz transformacji transponowana: T= [ 1] T =[0 1] 1 T Macierze sztywności w układzie lokalnym i układzie globalnym: K 4 e =[ K 4 e =[ ] , , , , , , , , , , , ] , , , , , Macierze mas w układzie lokalnym i układzie globalnym: , M e =[34,93 0] 0 50,9 35, , ,93 31, , , , ,6 16, ,7 0 M 4 e =[ 50,9 0 35,93 14, ] 0 34, , , ,94 16, ,6 0 16,47 24, , ,93 0 ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 7
8 Zagregowana macierz sztywności ma postać: K e = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Po uwzględnieniu warunków brzegowych: K e = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Zagregowana macierz mas (agregujemy macierz mas, a następnie dodajemy masy pochodzące od obciążenia dynamicznego do wyrazów 77 i 88 dodajemy wartość 200): M e = 46,88 2,41 27,45 18,64-2,40-16,22 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,38 45,45 20,59-2,40 20,04-12,16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 27,45 20,59 31,19 16,22 12,16 23,39 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 18,64-2,40 16,22 139,1163 2, , ,0250 0,0000 0, ,47 0,00 12,98 0,00 0,00 0,00-2,40 20,04 12,16 2, , ,9782 0, , ,2423 0,00 17,47 0,00 0,00 0,00 0,00-16,22-12,16-23,39-53, , ,7899 0, , , ,98 0,00-11,98 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 23,0250 0,0000 0, ,9529 0, ,9314 0,00 0,00 0,00 14,60 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, , ,2423 0, , ,5639 0,00 0,00 0,00 0,00 17,47 0,00 0,00 0,00 0,00 0, , , , , ,5823 0,00 0,00 0,00-16,47 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 13,47 0,00-12,98 0,00 0,00 0,00 38,93 0,00 21,96 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 17,47 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 34,93 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 12,98 0,00-11,98 0,00 0,00 0,00 21,96 0,00 15,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 14,60 0,00-16,47 0,00 0,00 0,00 24,70 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 17,47 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 34,93 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 W macierzach K e i M e moźna wykreślić wiersze i kolumny zerowe, oraz te do których wprowadzono warunki brzegowe: K e = , , , ,22 0,00 0, , , ,81 0, , , , , ,44 0, , , ,22 0,00 0, ,91-0, ,75 0, , ,81-0, , ,81 0, , , , , ,44 M e = 139,1163 2, , ,0250 0,0000 0,0000 2, , ,9782 0, , , , , ,7899 0, , , ,0250 0,0000 0, ,9529 0, ,9314 0, , ,2423 0, , ,5639 0, , , , , ,5823 ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 8
9 Obliczamy wartości własne i wektory własne (korzystając z programu PW program do rozwiązywania uogólnionego problemu własnego): Wartości własne: 1 = = = = = = [ rad s 2 ] Wartości częstośći kołowych drgań własnych obliczonej na podstawie zależności = 2 : 1 =251,58 2 =344,94 3 =662,89 4 =806,31 5 =1313,70 6 =1882,33 [ rad s ] Wektory własne: W1 W2 W3 W4 W5 W6 4-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Przemieszczenie po kierunku równoległym do elementu: u=n 1 x q 1 N 4 x q 4 Przemieszczenie po kierunku prostopadłym do elementu: v=n 2 x q 2 N 3 x q 3 N 5 x q 5 N 6 x q 6 ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 9
10 Obliczenia dla częstości 1 =251,58[ rad s ] Pręt 1.: q 1 =0, q 2 =0, q 3 =0, q 4 = 0, q 5 = 0, q 6 = 0, q 1 =0, q 2 =0, q 3 =0, = 0, q 5 = 0, q 6 = 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 10
11 Pręt 2.: q 4 = 0, q 5 = 0, q 6 = 0, q 7 = 0, q 8 = 0, q 9 =0, q 1 = 0, q 2 = 0, q 3 = 0, = 0, q 5 = 0, q 6 =0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 11
12 Pręt 3.: q 4 = 0, q 5 = 0, q 6 = 0, q 10 =0, q 11 =0, q 12 =0, q 1 = 0, q 2 =0, q 3 = 0, =0, q 5 =0, q 6 =0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 12
13 Pręt 4.: q 7 = 0, q 8 = 0, q 9 =0, q 13 =0, q 14 =0, q 15 =0, q 1 = 0, q 2 =0, q 3 =0, =0, q 5 =0, q 6 =0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 13
14 Obliczenia dla częstości 2 =344,94[ rad s ] Pręt 1.: q 1 =0, q 2 =0, q 3 =0, q 4 = 0, q 5 = 0, q 6 =0, q 1 =0, q 2 =0, q 3 =0, = 0, q 5 = 0, q 6 =0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 14
15 Pręt 2.: q 4 = 0, q 5 = 0, q 6 =0, q 7 = 0, q 8 =0, q 9 = 0, q 1 = 0, q 2 = 0, q 3 =0, = 0, q 5 =0, q 6 = 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 15
16 Pręt 3.: q 4 = 0, q 5 = 0, q 6 =0, q 10 =0, q 11 =0, q 12 =0, q 1 = 0, q 2 =0, q 3 =0, =0, q 5 =0, q 6 =0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 16
17 Pręt 4.: q 7 = 0, q 8 =0, q 9 = 0, q 13 =0, q 14 =0, q 15 =0, q 1 =0, q 2 =0, q 3 = 0, =0, q 5 =0, q 6 =0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 17
18 Obliczenia dla częstości 3 =662,89[ rad s ] Pręt 1.: q 1 =0, q 2 =0, q 3 =0, q 4 = 0, q 5 = 0, q 6 = 1, q 1 =0, q 2 =0, q 3 =0, = 0, q 5 = 0, q 6 = 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 18
19 Pręt 2.: q 4 = 0, q 5 = 0, q 6 = 1, q 7 = 0, q 8 =0, q 9 = 1, q 1 = 0, q 2 = 0, q 3 = 1, = 0, q 5 =0, q 6 = 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 19
20 Pręt 3.: q 4 = 0, q 5 = 0, q 6 = 1, q 10 =0, q 11 =0, q 12 =0, q 1 = 0, q 2 =0, q 3 = 1, =0, q 5 =0, q 6 =0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 20
21 Pręt 4.: q 7 = 0, q 8 =0, q 9 = 1, q 13 =0, q 14 =0, q 15 =0, q 1 =0, q 2 =0, q 3 = 1, =0, q 5 =0, q 6 =0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Przemieszczenia Pręt 1. Pręt 2. Pręt 3. Pręt 4. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Pręt 1. Pręt 2. Pręt 3. Pręt 4. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Pręt 1. Pręt 2. Pręt 3. Pręt 4. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 21
22 ::: DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA ::: DOMINIK WOŹNIAK ::: 1KBI ::: 4 ROK ::: 2006/2007 ::: 22
PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI
POLIECHNIKA POZNAŃSKA INSYU KONSRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI ĆWICZENIE PROJEKOWE NR 2 DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUEROWA Z PRZEDMIOU MECHANIKA KONSRUKCJI Wykonał: Kamil Sobczyński WBiIŚ; SUM;
Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Stateczność ramy. Wersja komputerowa
Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA
POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS
Stateczność ramy - wersja komputerowa
Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych
ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI
Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe
Zad.1 Zad. Wyznaczyć rozkład sił wewnętrznych N, T, M, korzystając z komputerowej wersji metody przemieszczeń. schemat konstrukcji:
Zad. Wznaczć rozkład sił wewnętrznch N, T, M, korzstając z komputerowej wersji metod przemieszczeń. schemat konstrukcji: ϕ 4, kn 4, 4, macierz transformacji (pręt nr): α = - ϕ = -, () 5 () () E=5GPa; I
Rozwiązanie stateczności ramy MES
Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiążemy stateczność ramy pokazanej na Rys.. λkn EA24.5 kn EI4kNm 2 d 5,r 5 d 6,r 6 2 d 4,r 4 4.m e e2 d 3,r 3 d,r X d 9,r 9 3 d 7,r 7 3.m d 2,r 2 d 8,r 8 Y Rysunek
Drgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
Politechnika Poznańska Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli Studia Stacjonarne II Stopnia I rok Semestr II 21/211 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA
PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)
PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie
gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Zadanie: Narysuj wykres sił normalnych dla zadanej kratownicy i policz przemieszczenie poziome węzła G. Zadanie rozwiąż metodą sił.
Zadanie: Narysuj wykres sił normalnych dla zadanej kratownicy i policz przemieszczenie poziome węzła. Zadanie rozwiąż metodą sił. P= 2kN P= 2kN Stopień statycznej niewyznaczalności: n s l r l pr 2 w 6
PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr
Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne
Projekt nr 4 Dynamika POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 4 Dynamika ujęcie klasyczne Konrad Kaczmarek
F + R = 0, u A = 0. u A = 0. f 0 f 1 f 2. Relację pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi
MES Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F + R, u A R f f F R + f, f + f, f + F, u A Równania
Najprostszy element. F+R = 0, u A = 0. u A = 0. Mamy problem - równania zawierają siły, a warunek umocowania - przemieszczenia
MES skończony Najprostszy element Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F+R, u A R f f F
Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI
Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii
Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego
DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
1. METODA PRZEMIESZCZEŃ
.. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania
1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu... Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] Strona:1 2. Ustalenie stopnia
ORIGIN 1. E 10GPa - moduł Younga drewna. 700 kg m 3. g - ciężar właściwy drewna g m s 2. 6cm b2 6cm b3 5cm 12cm h2 10cm h3 8cm. b1 h1.
Statyka kratownicy drewnianej o różnych przekrojach prętów, obciążonej siłai, wilgocią i ciężare własny ORIGIN - ustawienie sposobu nueracji wierszy i kolun acierzy E GPa - oduł Younga drewna αw. ρ - współczynnik
DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych
Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy
Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Metoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
A A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1
Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna
Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.
Ewa Kloczkowska, KBI 1, rok akademicki 006/007 Ćwiczenie nr 3 Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Dla układu prętowego przedstawionego na rysunku naleŝy: 1) Obliczyć i wykonać wykresy
Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skończonych. Element dwuwymiarowy liniowy : rama 2D
Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skończonych Element dwuwymiarowy liniowy : rama D Jest to element dwuwymiarowy o róŝnych współrzędnych lokalnych i globalnych węzłów niezbędne są transformacje
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9
2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Obliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
gruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej
7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
![7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:](/thumbs/93/113319619.jpg "7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:")
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Elementy Projektowania Inżynierskiego CALFEM Wybrane funkcje.
Elementy Projektowania Inżynierskiego CALFEM Wybrane funkcje. A B C E F P S assem() beam2d() beam2e() beam2s() coordxtr() eigen() eldia2() eldisp2() eldraw2() elflux2() eliso2() extract() flw2qe() flw2qs()
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Modelowanie układów prętowych
Modelowanie kładów prętowych Elementy prętowe -definicja Elementami prętowymi można modelować - elementy konstrkcji o stosnk wymiarów poprzecznych do podłżnego poniżej 0.1, - elementy, które są wąskie
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,
Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach Krzysztof Żurek Gdańsk, 2015-06-10 Plan Prezentacji 1. Manipulatory. 2. Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych (MES).
MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
4.5. Macierz mas Macierz mas elementu wyprowadzić można według (.4) wykorzystując wielomianowe funkcje kształtu (4. 4.). W tym przypadku wzór ten przyjmie postać: [ m~ ] 6 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ gdzie: m = [ N
PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
WYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM
WYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM 1. Wprowadzenie do zajęć. Równania Lagrange'a II rodzaju Ćwiczenie wykonywane na podstawie rozdziału 3 [1] 2. Drgania swobodne
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.
Metody obiczeniowe w biomechanice UTRATA STATECZNOŚCI STATECZNOŚĆ odpornośćna małe zaburzenia. Układ stabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi powrót do pierwotnego położenia. Układ niestabiny po małym
Interpolacja funkcji
Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
Document: Exercise-05-manual /1/ : page 1 of 16. KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzia! Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA
Document: Exercise-05-manual --- 2015/1/19 --- 17:10 --- page 1 of 16 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzia! Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA!"#$%&'()* +, -.!(/0"!* "% 1 1. CEL ĆWICZENIA
Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania
Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Ć w i c z e n i e K 4
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI
DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania
; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model
ROZDZIAŁ II. STATYKA PŁASKICH KONSTRUKCJI KRATOWYCH
ROZDZIAŁ II. STATYKA PŁASKICH KONSTRUKCJI KRATOWYCH Kratownice płaskie są jednym z najczęściej stosowanych typów konstrukcji. Budowa kratownicy sprawia, że jest to układ ekonomiczny pod względem ciężaru,
Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści
Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.
2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy
ĆWICZENIE 1. (8.10) Rozciąganie statycznie wyznaczalne, pręty o skokowo zmiennym przekroju, kratownice, Obciążenia termiczne.
ĆWICZENIE 1 (8.10) Rozciąganie statycznie wyznaczalne, pręty o skokowo zienny przekroj, kratownice, Obciążenia tericzne. Rozciąganie - przykłady statycznie wyznaczalne Zadanie Zadanie jest zaprojektowanie
1. Obciążenie statyczne
. Obciążenie statyczne.. Obliczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności n = Σ ϕ + Σ = + = p ( ) Σ = w p + d u = 5 + 5 + 0 0 =. Schemat podstawowy metody przemieszczeń . Schemat odkształceń łańcucha
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
DYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.
ĆWICZENIE NR 3 OBLICZANIE UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH METODĄ SIŁ OD OSIADANIA PODPÓR I TEMPERATURY
zęść OLIZNIE UKŁÓW STTYZNIE NIEWYZNZLNYH METOĄ SIŁ 1 POLITEHNIK POZNŃSK INSTYTUT KONSTRUKJI UOWLNYH ZKŁ MEHNIKI UOWLI ĆWIZENIE NR 3 OLIZNIE UKŁÓW STTYZNIE NIEWYZNZLNYH METOĄ SIŁ O OSINI POPÓR I TEMPERTURY
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,