Metoda Różnic Skończonych (MRS)

Transkrypt

1 Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek ()

2 Równania różniczkowe zwyczajne Równanie o postaci ogólnej: F ( x, y, y, y,..., y n ) = 0, y (k) d k y(x) d x k, k =,, 2,..., n, w którym jako niewiadoma występuje funkcja tylko jednej zmiennej niezależnej y(x) oraz niektóre (albo wszystkie) jej pochodne y (k) (x), 0 < k n nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n. Oprócz pojedynczych równań występują również układy takich równań: F ( x, y, y, y,..., y n ) = 0, F 2 ( x, y, y, y,..., y n ) = 0, F n ( x, y, y, y,..., y n ) = 0. (2)

3 Metody rozwiązywania zagadnienia brzegowego Pojedyncze równania różniczkowe (lub ich układy) opisują różne zjawiska i procesy zachodzące w modelach fizycznych. Mimo tej różnorodności występują tylko dwa zasadnicze rodzaje problemów: problem początkowy, problem brzegowy. Zajmiemy się poszukiwaniem takich funkcji y(x), które są rozwiązaniem równania rzędu conajmniej drugiego, funkcji określonych na przedziale (a, b) i zdefiniowanych n warunkami, z których jedne dotyczą punktu a, a inne punktu b. W celu znalezienia rozwiązania zagadnienia można zastosować: Metodę Różnic Skończonych, nazywaną także metodą różnicową Metodę Elementów Skończonych (3)

4 Metoda Różnic Skończonych Algorytm metody Zastąpienie obszaru zbiorem węzłów różnicowych zamiana postaci rozwiązania : z funkcji ciągłej na skończny zbiór wartości funkcji w węzłach Zastąpienie pochodnych w równaniach problemu wzorami różnicowymi Rozpisanie równania różnicowego dla wszystkich punktów węzłowych, w których poszukujemy różnych od zera wartości funkcji Przedstawienie warunków brzegowych w reprezentacji różnicowej Zapisanie algebraicznego układu równań i jego rozwiązanie czyli wyznaczenie węzłowych wartości funkcji pierwotnej występującej w równaniu różniczkowym np. funkcji ugięcia Wyznaczenie wartości funkcji wtórnych np. funkcji momentu. (4)

5 Centralne wzory różnicowe dla zagadnienia jednowymiarowego i-2 i- i i+ i+2 i-2 i- i i+ i+2 f I 2h - 0 f II -2 h 2 f III 2h f IV h 4 (5)

6 Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu Przykład: Rozwiązać problem brzegowy: y (x) = x, x [a, b] y(a) = 2, y (b) =, gdzie a = 0.0, b = 2.0; Rozwiązanie: Przedział [0, 2] dzielimy na n = 4 części, h = 0.5. a=0 h i= b=2 Tworzymy układ równań różnicowych dla i =, 2, 3, 4: 5 x y i 2 y i + y i+ h 2 = x i y i 2 y i + y i+ = h 2 x i Warunki brzegowe mają następującą postać różnicową: y 0 = 2, y 3 + y 5 2h = y 3 + y 5 = 2h. (6)

7 Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu Tworzymy układ równań różnicowych dla i =, 2, 3, 4: y i 2 y i + y i+ = h 2 x i Warunki brzegowe mają następującą postać różnicową: Otrzymujemy układ równań MRS: y 0 = 2, y 3 + y 5 = 2h. i = 0 y 0 = 2 i = y 0 2 y + y 2 = 0.25 i = 2 y 2 y 2 + y 3 = i = 3 y 2 2 y 3 + y 4 = i = 4 y 3 2 y 4 + y 5 = i = 4 y 3 + y 5 = (7)

8 Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego Postać układu równań różnicowych Zapis układu równań w postaci macierzowej A y = B: i= x wb. i=0 y 0 2 i= -2 y y 2 y 3 = y wb. i=4 - y 5 A. y = B (8)

9 Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego Wyniki Rozwiązanie analityczne: y(x) = 6 x 3 x Rozwiązanie nr x MRS 4 analityczne MRS 4 MRS 8 Analityczne (9)

10 Problem zginania belki Przemieszczeniowe równanie różniczkowe czwartego rzędu Zastosujemy MRS do rozwiązania problemu sformułowanego lokalnie np. za pomocą przemieszczeniowego równania różniczkowego czwartego rzędu opisującego zginanie belki prostej. d 4 v(x) dx 4 = p y (x) EJ Poszukiwaną pierwotną funkcją jest funkcja ugięcia belki v(x). Funkcjami wtórnymi będą: moment zginający M(x) oraz siła poprzeczna T (x): M(x) = EJ d 2 v(x) dx 2, T (x) = EJ d 3 v(x) dx 3. Do równania różniczkowego należy dopisać odpowiednie warunki brzegowe, wynikające z brzegowych więzów kinematycznych oraz brzegowych obciążeń.. (0)

11 Model obliczeniowy belki Tworzenie równań różnicowych Jednowymiarowe zagadnienie brzegowe zginania belki opisane równaniem różniczkowym czwartego rzędu, po zastosowaniu centralnego ilorazu różnicowego ma postać: d 4 v(x) dx 4 = p y (x) EJ = v i 2 4v i + 6v i 4v i+ + v i+2 h 4 = p y i EJ v i 2 4v i + 6v i 4v i+ + v i+2 = b i, b i = h 4 py i EJ Tworzy się układ równań, w którym należy uwzględnić jeszcze warunki brzegowe. ()

12 Warunki brzegowe w zapisie różnicowym ) 2) 3) 4) i- i i+ i- i i+ i- i i+ i- i i+ i-2 i+2 i-2 i+2 dv a) Brzeg utwierdzony: v = 0, dx = 0, v w zapisie różnicowym: v i = 0, i +v i+ 2h = 0. b) Brzeg przegubowo podparty: v = 0, M = EJ d 2 v dx = 0, 2 vi 2vi +vi+ w zapisie różnicowym: v i = 0, EJ h = 0. 2 c) Brzeg pionowo przesuwny: dv dx = 0, T = EJ d 3 v dx = 0, 3 w zapisie różnicowym: v i +v i+ 2h = 0, EJ vi 2+2vi 2vi++vi+2 2h = 0. 3 d) Brzeg swobodny: M = EJ d 2 v dx = 0, T = EJ d 3 v 2 dx = 0, 3 w zapisie różnicowym: vi 2vi +vi+ EJ h = 0, EJ vi 2+2vi 2vi++vi+2 2 2h = 0. 3 (2)

13 Przykład belki wspornikowej py x x0 y, v L xl Równanie różnicowe musi być rozpisane dla punktów i =, 2, 3, 4: v i 2 4 v i + 6 v i 4 v i+ + v i+2 = b gdzie b = (h 4 p y )/(EJ) Warunki brzegowe: dla x = 0 : v = 0 v = 0 i = 0 : v 0 = 0 v + v = 0 dla x = L : M = 0 T = 0 i = 4 : v 3 2 v 4 + v 5 = 0 v v 3 2 v 5 + v 6 = 0 (3)

14 Przykład belki wspornikowej Układ równań MRS Otrzymujemy układ równań MRS:. v 4 v v 4 v 2 + v 3 = b 2. v 0 4 v + 6 v 2 4 v 3 + v 4 = b 3. v 4 v v 3 4 v 4 + v 5 = b 4. v 2 4 v v 4 4 v 5 + v 6 = b 5. v 0 = 0 6. v + v = 0 7. v 3 2 v 4 + v 5 = 0 8. v v 3 2 v 5 + v 6 = 0 (4)

15 Przykład belki wspornikowej Postać macierzowa układu równań A V = B i= i= v b v 0 b v b 4 wb i= v 2 v 3 v 4 = b 0 0 wb i= v 5 v A V B (5)

16 Przykład belki wspornikowej Analiza rozwiązania funkcja ugięcia Rozwiązanie układu wartości funkcji ugięcia: V = { 4.0b, 0.0b, 4.0b, 2.5b, 23.0b, 34.0b, 45.0b, 56.5b } Zatem wartość ugięcia na końcu belki (x = L, dla i = 4) wynosi: v anal (L) = p y L 4 8EJ = 0.25 py L 4 EJ, v MRS (L) =v 4 = 34.0 b = 34.0 py h py L 4 EJ EJ =.064 v anal (L). py = 34.0 EJ ( ) 4 L = 4 (6)

17 Przykład belki wspornikowej Analiza rozwiązania funkcja momentów zginających Wartość momentu zginającego dla brzegu utwierdzonego (x = 0, dla i = 0) wynosi: M anal (0) = p y L 2 2, M MRS (0) = EJv 0 = EJ EJ ( 4 L λ 2 (v 2v 0 + v ) = ) 2 ( ) 4 ( ) py L = EJ 4 p y L 2 2 = M anal (0). (7)

18 Dziękuję za uwagę (8)