Metoda elementów skończonych

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metoda elementów skończonych"

Jarosław Kaczmarczyk
10 lat temu
Przeglądów:

1 Metoda elementów skończonych

2 Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną z tych metod jest metoda elementów skończonych, w skrócie MES. Za datę powstania MES przyjmuje się rok 1956, kiedy to zespół M.J. Turnera przedstawił jej koncepcję. Wraz z pojawieniem się i rozwojem komputerów osobistych (PC) pojawiły się również programy MES na takie właśnie maszyny, a wśród nich na przykład Ansys czy Abaqus. Wszystkie programy MES zawierają trzy moduły: - preprocesor to moduł służący do przygotowania modelu obliczanej konstrukcji. Tu są definiowane warunki brzegowe i obciążenia, - solver - moduł w którym są wykonywane obliczenia, - postprocesor moduł służący do prezentacji wyników obliczeń czyli rozkłady przemieszczeń, naprężeń, częstości drgań własnych czy postacie drgań. Programy MES do zapisu konstrukcji i obliczeń stosują zapis macierzowy. Pozwala on na rozwiązywanie z dużą dokładnością i szybkością układów równań zawierających setki tysięcy niewiadomych. Analizowany rzeczywisty obiekt (część, zespół czy też jakaś większa konstrukcja) tworzy pewne kontinuum ograniczone przez jego geometrię. Analiza takiego kontinuum polega najczęściej na znalezieniu pola rozkładu pewnych poszukiwanych wielkości. Jeżeli analiza dotyczy wytrzymałości mechanicznej to poszukiwane będzie pole rozkładu naprężeń i przemieszczeń. Jeżeli będzie to na przykład analiza wytrzymałości termicznej poszukiwane będzie pole rozkładu temperatur w obiekcie. Niezależnie od analizowanej wielkości, pole jej rozkładu zależy od parametrów w nieskończonej liczbie punktów materialnych kontinuum. Rozwiązanie na drodze analitycznej można uzyskać rozwiązując układ równań różniczkowych stanowiących model matematyczny analizowanego problemu. Ponieważ dokładne rozwiązanie złożonych problemów na drodze analitycznej jest praktycznie niemożliwe, stworzono kilka metod przybliżonego rozwiązywania dających bardzo dobre wyniki. Jedną z nich jest metoda elementów skończonych (MES). Rys. 1.1 Idea dyskretyzacji ciągłego obiektu w MES. W metodzie elementów skończonych, analizowany rzeczywisty obiekt ciągły poddaje się dyskretyzacji, polegającej na jego podziale na wiele odpowiednio małych elementów o skończonych wymiarach (Rys. 1.1). Uzyskuje się zatem skończoną ilość tych elementów.

Wraz z pojawieniem się i rozwojem komputerów osobistych (PC) pojawiły się również programy MES na takie właśnie maszyny, a wśród nich na przykład Ansys czy Abaqus.

3 Wyróżnia się w nich punkty węzłowe oraz punkty wewnętrzne. Elementy są połączone ze sobą w węzłach. Przebieg parametrów wewnątrz elementu skończonego jest określony przez funkcje parametrów węzłowych tzw. funkcje kształtu. Ostatecznie uzyskuje się opis problemu w postaci układu równań algebraicznych, pozwalających na wyznaczenie parametrów węzłowych, a rozwiązanie otrzymuje się przy pomocy rachunku macierzowego. Na Rys. 1.2 pokazano przykład dyskretyzacji tarczy hamulca samochodu. Rys. 1.2 Przykład dyskretyzacji tarczy hamulca. Można zatem napisać: u = [ N] U (1.1) gdzie: u wektor wartości funkcji kształtu w punktach wewnętrznych, U - wektor wartości funkcji kształtu w punktach węzłowych, [N] macierz funkcji kształtu. [ N ] = [ N, N2,... N 1 n ] (1.2) W problemach dotyczących wytrzymałości materiałów wyrażenie (1.1) opisuje zależność między przemieszczeniami w węzłach i punktach wewnętrznych. W innych problemach będzie ona opisywać inne zależności. W równaniach opisujących ruch układu występują współrzędne węzłów i ich pochodne. Aby sformułować opis problemu należy podać: - właściwości materiału. Dla układów liniowych sprężystych jest to prawo Hooke a: σ = [D] ε (1.3)

Ostatecznie uzyskuje się opis problemu w postaci układu równań algebraicznych, pozwalających na wyznaczenie parametrów węzłowych, a rozwiązanie otrzymuje się przy pomocy rachunku macierzowego. Na Rys.

4 - warunki geometryczne opisane macierzą odkształceń (macierzą powiązania) ε = [ B] U (1.4) Macierz [B] jest związana z funkcjami kształtu zależnością: [ B] = [ L] [ N] (1.5) L operator różniczkowy - warunki brzegowe opisane równaniami algebraicznymi: u l = 0 (1.6) l = 1,..m, - numery odebranych stopni swobody. - obciążenia skupione w węzłach. Obciążenia ciągłe zastępuje się obciążeniem skupionym kinematycznie równoważnym. Macierz sztywności elementów skończonych wyznacza się na podstawie twierdzenia o energii kinetycznej. W przypadku statycznym energia kinetyczna jest stała, jej przyrost wynosi zero. Energia potencjalna odkształcanego elementu skończonego jest zatem równa pracy sił zewnętrznych. V = L z (1.7) Energię sprężystą opisuje zależność: 1 T V = ε σ df 2 F (1.8) Jeżeli w analizowanej konstrukcji stosowane są elementy jednowymiarowe to w zależności (1.8) występuje całka pojedyncza zaś obszar całkowania charakteryzowany jest przez długość. Jeżeli zaś element skończony jest dwu- lub trzywymiarowy wtedy we wzorze występuje całka podwójna lub potrójna a obszar całkowania jest charakteryzowany przez powierzchnię lub objętość. W zależności (1.8) występują odkształcenia i naprężenia które są zapisane w formie wektorów czyli macierzy jednokolumnowych. Po wstawieniu (1.3) i (1.4) do równania (1.8) i przekształceniu otrzymuje się zależność: V 1 T T = U B D B df [ ] [ ] [ ] U 2 F (1.9)

Obciążenia ciągłe zastępuje się obciążeniem skupionym kinematycznie równoważnym. Macierz sztywności elementów skończonych wyznacza się na podstawie twierdzenia o energii kinetycznej.

5 Macierzą sztywności oznacza się następujące wyrażenie: T [ K ] = [ B] [ D] [ B] df F (1.10) Pracę sił zewnętrznych opisuje zależność: L z 1 = P 2 T U (1.11) Jeżeli do równania (1.7) wstawi się (1.9) i (1.11) oraz zastosuje oznaczenie (1.10) to po przekształceniu otrzymuje się zależność: [ K ] U = P (1.12) Wyrażenia (1.12) jest podstawowym równaniem statyki w MES. Wyznaczane jest tu przemieszczenie więc metoda określana jest jako przemieszczeniowa. W metodzie stosuje się elementy skończone jedno-, dwu- i trójwymiarowe. Elementy jednowymiarowe wykorzystuje się do analizy obiektów których jeden wymiar jest znacznie większy od dwóch pozostałych, czyli do analizy belek i prętów. Wyróżnia się tu dwa rodzaje elementów: - prętowy przestrzenny element skończony to element posiadający dwa węzły i w każdym węźle trzy stopnie swobody - trzy przemieszczenia. Elementy te stosuje się między innymi do analiz konstrukcji kratownic, - belkowy przestrzenny element skończony to element posiadający dwa lub więcej węzłów (zależy to od stopnia funkcji kształtu) posiadający sześć stopni swobody w każdym węźle - trzy przemieszczenia i trzy obroty. Stosuje się je na przykład do analizy ram. Elementy dwuwymiarowe wykorzystuje się do analizy obiektów o dwóch wymiarach znacznie większych od trzeciego oraz analizy w płaskim stanie naprężenia. Wyróżnia się tu między innymi: - elementy dwuwymiarowe w płaskim stanie naprężenia to elementy posiadające trzy stopnie swobody w węźle dwa przemieszczenia i obrót w płaszczyźnie elementu, - przestrzenny element powłokowy który posiada sześć stopni swobody w każdym węźle trzy przemieszczenia i trzy obroty. Stosuje się je do analiz konstrukcji powłokowych, - elementy osiowo-symetryczne mają trzy stopnie swobody w węźle dwa przemieszczenia i obrót w płaszczyźnie elementu, przy czym płaszczyzna ta przechodzi przez oś symetrii obiektu.

Wyznaczane jest tu przemieszczenie więc metoda określana jest jako przemieszczeniowa. W metodzie stosuje się elementy skończone jedno-, dwu- i trójwymiarowe.

6 Rys. 1.3 Przykłady powłokowych elementów skończonych o aproksymacji liniowej i kwadratowej. Przemieszczenia punktów wewnętrznych elementu mogą być opisane funkcjami liniowymi lub funkcjami wyższych rzędów. Stosując opis równaniami liniowymi uzyskuje się elementy posiadające liniowo zmienne wartości przemieszczeń oraz stałe wartości odkształceń i naprężeń w całym obszarze elementu. Dokładniejsze są elementy posiadające opis przemieszczeń funkcjami kwadratowymi. Posiadają one dodatkowy węzeł na każdej krawędzi w środku jej długości. Elementy te mają przemieszczenia zmienne kwadratowo oraz liniowo zmienne odkształcenia i naprężenia w obrębie elementu. Z uwagi na mniejszą dokładność elementów o aproksymacji liniowej zachodzi konieczność stosowania większej ich liczby. Na Rys. 1.3 pokazano przykłady elementów dwuwymiarowych. Elementy trójwymiarowe (bryłowe) stosuje się do analizy obiektów przestrzennych. Elementy te maję trzy stopnie swobody w każdym węźle - trzy przemieszczenia. Najczęściej stosuje się elementy sześcienne. Stosuje się tu takie same zasady aproksymacji przemieszczeń jak dla elementów dwuwymiarowych. Uzyskuje się więc elementy czworościenne cztero- lub dziesięciowęzłowe, oraz sześcienne ośmio-, szesnasto- lub dwudziestowęzłowe. Na Rys. 1.4 pokazano kilka przykładów elementów bryłowych. Rys. 1.4 Przykłady trójwymiarowych elementów skończonych o aproksymacji liniowej i kwadratowej.

Stosując opis równaniami liniowymi uzyskuje się elementy posiadające liniowo zmienne wartości przemieszczeń oraz stałe wartości odkształceń i naprężeń w całym obszarze elementu.

7 Oprócz standartowych, wymienionych wyżej elementów, stosuje się również w systemach MES specjalnie opracowane elementy: - powłokowe wykorzystujące założenia teorii powłok, - cienkościenne opisujące stan naprężeń w elementach cienkościennych, - warstwowe opisujące materiały warstwowe na przykład laminaty wzmocnione włóknem szklanym czy węglowym. Dokładność obliczeń zależy od wielkości zastosowanego elementu skończonego (Rys. 1.5). Ogólnie im wielkość elementu skończonego mniejsza tym dokładność obliczeń większa. Niestety zmniejszanie wielkości elementu powoduje wzrost ich liczby w modelu. Skutkuje to wydłużeniem obliczeń z powodu wzrostu ilości równań do rozwiązania. W skrajnym przypadku proces obliczania może w ogóle nie wystartować na przykład z powodu zbyt małej mocy obliczeniowej komputera. Jedną z metod optymalizacji wielkości elementu skończonego w zagadnieniach statycznych jest wstępny podział konstrukcji na niezbyt wiele elementów, wykonanie obliczenia, zagęszczenie siatki dwukrotnie i ponowne wykonanie obliczenia. Jeżeli wyniki z kolejnych dwóch prób niewiele się różnią to przyjmuje się obliczenia za wystarczająco dokładne. Oczywiście w zależności od odpowiedzialności konstrukcji przyjmuje się różne dokładności kolejnych dwu obliczeń. Rys. 1.5 Zależność dokładności obliczeń od wielkości elementu skończonego.

Dokładność obliczeń zależy od wielkości zastosowanego elementu skończonego (Rys. 1.5). Ogólnie im wielkość elementu skończonego mniejsza tym dokładność obliczeń większa.

8 Bibliografia Jerzy Osiński : Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn z zastosowaniem metody elementów skończonych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 1997 Gustaw Rakowski Zbigniew Kacprzyk : Metoda elementów skończonych Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2005

Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 1997 Gustaw Rakowski

Podobne dokumenty

Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)

METODA ELEMENTÓW W SKOŃCZONYCH 1 Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) stałych własnościach