VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

Transkrypt

1 VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych rzędów funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej z analogicznymi oznaczeniami. W paragrafie tym rozważać będziemy równania postaci (1) y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n (x)y = b(x), gdzie a 1,...,a n,b : (p,q) K są funkcjami ciągłymi na przedziale (p,q) R. Równania tego kształtu nazywać będziemy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu. Niech dany będzie układ równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu postaci y 1 = y 2... (2) y n 1 = y n y n = a n (x)y 1... a 1 (x)y n +b(x). Własność 1. Każde rozwiązanie integralne Ψ : (p,q) K n układu (2) jest postaci ϕ ϕ (3) Ψ =., ϕ (n 1) gdzie ϕ : (p, q) K jest integralnym rozwiązaniem równania (1). Odwrotnie, dla każdego rozwiązania integralnego ϕ : (p,q) K równania (1), odwzorowanie Ψ : (p,q) K n postaci (3) jest rozwiązaniem integralnym układu (2). Dowód. Niech Ψ = (ψ 1,...,ψ n ) : (p,q) K n będzie rozwiązaniem integralnym układu (2). Połóżmy ϕ = ψ 1. Wówczas z kolejnych równań układu (2) mamy ϕ (x) = ψ 2 (x)... ϕ (n 1) (x) = ψ n (x) ϕ (n) (x) = a n (x)ψ 1 (x)... a 1 (x)ψ n (x) +b(x), skąd ϕ (n) (x)+a 1 (x)ϕ (n 1) (x)+...+a n (x)ϕ(x) = b(x).

2 Odwrotnie, niech ϕ : (p, q) K spełnia równanie (1). Połóżmy ψ 1 = ϕ, ψ 2 = ϕ,..., ψ n = ϕ (n 1). Wówczas ψ 1 (x) = ψ 2(x)... ψ n 1 (x) = ψ n(x) ψ n(x) = a n (x)ψ 1 (x)... a 1 (x)ψ n (x) +b(x). To kończy dowód. W dalszym ciągu tego paragrafu założymy, że K = R. Zatem a 1,...,a n i b będą teraz funkcjami o wartościach rzeczywistych. Niechη = (η 1,...,η n ) R n. Ponieważ przez każdy punkt(ξ,η) (p,q) R n przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne układu równań liniowych (2), to z powyższej własności dla K = R dostajemy Twierdzenie 1. Dla każdego punktu (ξ,η) (p,q) R n istnieje dokładnie jedno rozwiązanie integralne ϕ : (p, q) R równania (1) spełniające warunki początkowe: ϕ(ξ) = η 1, ϕ (ξ) = η 2,..., ϕ (n 1) (ξ) = η n. Wobec powyższego twierdzenia ograniczymy się tylko do rozwiązań integralnych równania (1). Gdy b = 0, to równanie (1) ma postać (4) y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n (x)y = 0. Równanie (4) nazywać będziemy jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu. Z własności jednorodnych układów równań liniowych jednorodnych pierwszego rzędu i własności 1 (dla K = R) dostajemy Własność 2. Ogół integralnych rozwiązań równania (4) jest rzeczywistą przestrzenią liniową wymiaru n. Każdą bazę przestrzeni liniowej, o której mowa powyżej, nazywać będziemy fundamentalnym układem rozwiązań równania (4). Z własności 2 otrzymujemy natychmiast Twierdzenie 2. Jeżeli ϕ 1,...,ϕ n tworzą fundamentalny układ rozwiązań równania (4), to ogół rozwiązń integralnych równania (4) wyraża się wzorem ϕ(x) = γ 1 ϕ 1 (x)+...+γ n ϕ n (x), x (p,q), γ 1,...,γ n R. Podamy teraz twierdzenie sprowadzające poszukiwanie fundamentalnego układu rozwiązań równania liniowego jednorodnego n-tego rzędu, do poszukiwania fundamentalnego układu rozwiązań pewnego równania liniowego jednorodnego rzędu n 1. Jest to swoista metoda redukcji dla równania liniowego n-tego rzędu. Niech n > 1 i niech symbol ω[ψ] oznacza ustaloną funkcję pierwotną funkcji ψ : (p, q) R. 54

3 Twierdzenie 3. Jeśli ϕ 1 : (p,q) R jest integralnym rozwiązaniem równania (4), spełniającym warunek ϕ 1 (x) 0 dla x (p,q), to istnieje równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu n 1 postaci (5) z (n 1) +b 1 (x)z (n 2) +...+b n 1 (x)z = 0, o współczynnikach b 1,...,b n 1 : (p,q) R mające następujące własności: (i) ψ : (p,q) R jest integralnym rozwiązaniem równania (5) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ω[ψ] ϕ 1 jest rozwiązaniem integralnym równania (4), (ii) jeśli funkcje ψ 1,...,ψ n 1 tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania (5), to funkcje ϕ 1,ω[ψ 1 ] ϕ 1,...,ω[ψ n 1 ] ϕ 1 tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania (4). Dowód. Wykażemy najpierw pierwszą część twierdzenia. Niech ω : (p, q) R będzie dowolną funkcją n-krotnie różniczkowalną. Funkcja ωϕ 1 jest rozwiązaniem integralnym równania (4) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi tożsamość: n 1 ( ) n ω (n j) ϕ (j) 1 +ωϕ (n) j j=0 1 +a 1 n 2 ( ) n 1 ω (n 1 j) ϕ (j) j j=0 1 +ωϕ (n 1) a n 1 (ω ϕ 1 +ωϕ 1 )+a nωϕ 1 = 0. Ponieważ ϕ 1 jest rozwiązaniem równania (4), to powyższe jest równoważne tożsamości: n 1 ( ) n ω (n j) ϕ (j) n 2 ( ) 1 +a 1 n 1 ω (n 1 j) ϕ (j) a n 1 ω ϕ 1 = 0, j j j=0 j=0 Porządkując ją względem rzędów pochodnej funkcji ω stwierdzamy, że daje się ona zapisać jako ϕ 1 ω (n) +β 1 ω (n 1) +...+β n 1 ω = 0, gdzie funkcje ciągłe β 1,...,β n 1 : (p,q) R zależą wyłącznie od ϕ 1 i a 1,...,a n 1. Z powyższych rozważań i założenia, że ϕ 1 (x) 0 dla x (p,q) wynika, że funkcja ωϕ 1 jest rozwiązaniem integralnym równania (4) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ω jest rozwiązaniem równania postaci (5), gdzie b j = β j /ϕ 1, j = 1,...,n 1. To daje pierwszą część twierdzenia. Z udowodnionej części wynika natychmiast, że funkcie ω[ψ 1 ]ϕ 1,...,ω[ψ n 1 ]ϕ 1 są rozwiązaniami integralnymi równania (4). By dokończyć dowód twierdzenia należy jeszcze wykazać liniową niezależność rozwiązań: ϕ 1,ω[ψ 1 ]ϕ 1,...,ω[ψ n 1 ]ϕ 1. Jeśli to c 1 ϕ 1 +c 2 ω[ψ 1 ]ϕ c n ω[ψ n 1 ]ϕ 1 = 0, c 1,...,c n R, (6) c 1 +c 2 ω[ψ 1 ]+...+c n ω[ψ n 1 ] = 0, gdyż ϕ 1 (x) 0 dla x (p,q). Stąd, Różniczkując powyższą tożsamość otrzymujemy, że c 2 ψ c n ψ n 1 = 0. Zatem c 2 =... = c n = 0, gdyż ψ 1,...ψ n 1 są liniowo niezależne. Stąd na podstawie (6) dostajemy, że również c 1 = 0. To kończy dowód. 55

4 Z dowodu powyższego twierdzenia otrzymujemy wprost następujący wniosek. Wniosek 1. Niech ϕ 1 : (p,q) R będzie integralnym rozwiązaniem równania (7) y +a 1 (x)y +a 2 (x)y = 0 i niech A 1 : (p,q) R będzie ustaloną funkcją pierwotną funkcji a 1. Jeśli ϕ 1 spełnia warunek ϕ 1 (x) 0 dla x (p,q), to układ fundamentalny rozwiązań równania (7) tworzą funkcje ϕ 1,ωϕ 1, gdzie ω jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji e A 1 (ϕ 1 ) 2. Dowód. Podstawiając do równania (7) funkcję ωϕ 1 wyznaczamy równanie zredukowane. Jest ono postaci: ( z + a 1 (x)+2 ϕ 1 (x) ) z = 0. ϕ 1 (x) Układem fundamentalnym tego równania jest jakiekolwiek jego niezerowe rozwiązanie. Z teorii równania liniowego wynika, że jednym z nich jest na przykład ψ(x) = e A 1(x) (ϕ 1 (x)) 2, x (p,q). Skoro ω jest funkcją pierwotną funkcji ψ to na podstawie twierdzenia 3 otrzymujemy tezę. Z twierdzenia 2 i własności 1 (dla K = R) otrzymujemy łatwo Twierdzenie 4. Niech ϕ 0 będzie rozwiązaniem integralnym równania (1) oraz ϕ 1,...,ϕ n będzie fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego (4). Wówczas ogół rozwiązań integralnych równania (1) wyraża się wzorem ϕ(x) = ϕ 0 (x)+γ 1 ϕ 1 (x)+...+γ n ϕ n (x), x (p,q), γ 1,...,γ n R. Niech ϕ 1,...,ϕ n będą integralnymi rozwiązaniami równania (4). Wyznacznik [ W(x) = det ϕ (j 1) k nazywamy wrońskianem układu ϕ 1,...,ϕ n. ] (x) = 1 j,k n ϕ 1 (x)... ϕ n (x) ϕ 1 (x)... ϕ n(x)... ϕ (n 1) 1 (x)... ϕ (n 1) n (x) Uwaga 1. Gdy dany jest układ fundamentalny rozwiązań ϕ 1,...,ϕ n równania (4), to rozwiązanie szczególne ϕ 0 równania (1) można znaleźć metodą uzmienniania stałych, korzystając z odpowiedniego twierdzenia dla układów równań liniowych. Dokładniej, rozwiązanie ϕ 0 jest postaci ϕ 0 (x) = c 1 (x)ϕ 1 (x)+...+c n (x)ϕ n (x), gdzie c 1,...,c n są ustalonymi funkcjami pierwotnymi funkcji W 1 Wn W,..., W, przy czym W jest wrońskianem układu fundamentalnego ϕ 1,...,ϕ n, a 0... ϕ n (x) ϕ 1 (x)... 0 W 1 (x) = 0... ϕ n (x)...,..., W n (x) = ϕ 1 (x) b(x)... ϕ n (n 1) (x) ϕ (n 1) 1 (x)... b(x) 56

5 2. Jednorodne równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach Pod tą nazwą rozumieć będziemy równanie postaci (1) y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = 0, gdzie a 1,...,a n K. Tutaj podobnie jak poprzednio K = R lub K = C. Wielomianem charakterystycznym równania (1) nazywamy wielomian postaci D(λ) = λ n +a 1 λ n a n. Rozważmy teraz jednorodny układ równań różniczkowch liniowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach postaci (2) y 1 = y 2... y n 1 = y n y n = a n y a 1 y n. Macierz charakterystyczna tego układu jest postaci λ A n = a n a n 1... a 1 λ Wielomian charakterystyczny układu (2), będący wyznacznikiem powyższej macierzy jest równy ( 1) n (λ n +a 1 λ n a n ), co sprawdzamy indukcyjnie, gdyż jak łatwo wynika z własności wyznaczników deta n = λdeta n 1 +( 1) n a n. Widzimy stąd, że wielomian charakterystyczny D równania (1) ma identyczne pierwiastki z wielomianem charakterystycznym układu (2). Twierdzenie 1. Jeżeli λ 0 K jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego D, to (3) e λ 0x,xe λ 0x,...,x p 1 e λ 0x są liniowo niezależnymi nad K rozwiązaniami równania (1). Dowód. Z powyższej obserwacji wynika, że λ 0 jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznewgo układu (2). Zatem z twierdzenia dotyczącego układów równań z p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego i z własności 1 z poprzedniego paragrafu dostajemy, że równanie (1) ma p liniowo niezależnych nad K rozwiązań postaci (4) e λ 0x P 1 (x),...,e λ 0x P p (x), 57

6 gdzie P k jest wielomianem o współczynnikach z ciała K stopnia nie większego niż k 1, k = 1,...,p. Wynika stąd, że wielomiany P 1,...,P p są również liniowo niezależne nad K. Łatwo sprawdzamy, że zbiór wielomianów stopnia nie większego niż p 1 jest p-wymiarową przestrzenią liniową nad K. Zatem P 1,...P p są jej bazą. W konsekwencji dla każdego k {0,...,p 1} x k = a k1 P 1 (x)+...+a kp P p (x), x R, gdzie a kl K. Stąd (5) x k e λ 0x = a k1 P 1 (x)e λ 0x +...+a kp P p (x)e λ 0x, x R. Łatwo sprawdzamy, że kombinacja liniowa rozwiązań równania (1) jest jego rozwiązaniem. Stąd, z (4) i (5) dostajemy, że funkcje postaci (3) są rozwiązaniemi równania (1). Są one oczywiście liniowo niezależne nad K. To kończy dowód. W dalszym ciągu zakładamy, że K = R i a 1,...,a n R. Bezpośrednio z powyższego twierdzenia dostajemy Wniosek 1. Jeżeli λ 0 jest p-krotnym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego D, to równanie (1) ma p liniowo niezależnych nad R rozwiązań postaci e λ0x,xe λ0x,...,x p 1 e λ0x, x R. Wniosek 2. Jeżeli λ 0 = σ + iτ jest p-krotnym zespolonym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego D, gdzie τ 0, to równanie (1) ma 2p liniowo niezależnych nad R rozwiązań postaci (6) e σx cosτx,xe σx cosτx,...,x p 1 e σx cosτx, x R, e σx sinτx,xe σx sinτx,...,x p 1 e σx sinτx, x R. Dowód. Z twierdzenia 1 (dla K = C) wynika, że funkcje postaci e λ 0x,xe λ 0x,...,x p 1 e λ 0x, x R. są rozwiązaniemi równania (1). Stąd i z faktu, że równanie (1) ma teraz współczynniki rzeczywiste wynika, że funkcje postaci (6) są również rozwiązaniemi równania (1). Liniowa niezależność nad R rozwiązań (6) wynika z lematu 1 z rozdziału V. To kończy dowód. Z lematu 1 z rozdziału V i z powyższych wniosków dostajemy łatwo twierdzenie o fundamentalnym układzie rozwiązań równania (1). Niech λ 1 = σ 1 + iτ 1,...,λ r = σ r +iτ r będą wszystkimi różnymi pierwiastkami wielomianu D, spełniającymi warunek τ k 0. Niech p 1,...,p r będą odpowiednio krotnościami tych pierwiastków. Twierdzenie 2. Jeżeli dla każdego k {1,...,r} zgodnie z wnioskiem 1 albo 2 przyporządkujemy p k albo 2p k rozwiązań w zależności od tego czy τ k = 0, czy τ k > 0, to otrzymamy fundamentalny układ rozwiązań równania (1). 58

7 3. Metoda przewidywań Równanie postaci (1) y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = b(x), gdzie a 1,...,a n R i b : (p,q) R jest funkcją ciągłą, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym n-tego rzędu o współczynnikach stałych. Odpowiada mu równanie jednorodne postaci (2) y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = 0. Jeżeli znamy układ fundamentalny ϕ 1,...,ϕ n rozwiązań równania jednorodnego (2), to szczególne rozwiązanie ϕ 0 równania niejednorodnego (1) możemy wyznaczyć metodą uzmienniania stałych. Jednak w pewnych przypadkach możemy zastosowć inną metodę. Twierdzenie 1. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest funkcją postaci b(x) = e αx( P n (x)cosβx+q n (x)sinβx ), gdzie P n i Q n są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, z których jeden jest stopnia n, a drugi co najwyżej stopnia n, to: 1. ϕ 0 (x) = e αx( R n (x)cosβx+s n (x)sinβx ), gdy liczba zespolona λ = α+iβ nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2), 2. ϕ 0 (x) = x k e αx( R n (x)cosβx+s n (x)sinβx ), gdy liczba zespolona λ = α+iβ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k 1, gdzie R n i S n są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, z których jeden jest stopnia n, a drugi co najwyżej stopnia n. Wniosek 1. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia n, to: 1. ϕ 0 (x) = R n (x), gdy λ = 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2), 2. ϕ 0 (x) = x k R n (x), gdy λ = 0 jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k 1, gdzie R n jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia n. Wniosek 2. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest funkcją postaci b(x) = e αx P n (x), gdzie P n jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia n, to: 1. ϕ 0 (x) = e αx R n (x), gdy liczba λ = α nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2), 2. ϕ 0 (x) = x k e αx R n (x), gdy λ = α jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k 1, gdzie R n jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia n. 59

8 Wniosek 3. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest funkcją postaci b(x) = acosβx+bsinβx, gdzie a,b R, to: 1. ϕ 0 (x) = a 1 cosβx+b 1 sinβx, gdy λ = iβ nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2), 2. ϕ 0 (x) = x k (a 1 cosβx+b 1 sinβx), gdy λ = iβ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k 1, gdzie a 1,b 1 R. Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja ϕ 1 jest rozwiązaniem szczególnym równania y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = b 1 (x), natomiast funkcja ϕ 2 jest rozwiązaniem szczególnym równania y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = b 2 (x), to funkcja ϕ 1 +ϕ 2 jest rozwiązaniem szczególnym równania y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = b 1 (x)+b 2 (x). 60