Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Transkrypt

1 Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra semestr letni 2005/06

2 Wstęp Najogólniejsza postacia równania różniczkowego zwyczajnego (ODE, Ordinary Differential Equation) rzędu n jest wyrażenie postaci F ( x, y, dy dx,..., dn y dx n ) = 0, (1) gdzie y : R R lub, niekiedy, y : C C. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 2

3 Jeśli pochodna F po ostatnim argumencie nie znika (przynajmniej lokalnie), (1) zapisujemy jako d n y dx n = F ( x, y, dy dx,..., dn 1 y dx n 1 ). (2) Trzeba jednak pamiętać, iż transformacja od (1) do (2) może wymagać dookreślenia (w tym sensie równanie (1) może nie być jednoznaczne). 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 3

4 Przykład: Równanie (ẏ) 2 + y 2 = 1 (3a) można zinterpretować na jeden z dwu sposobów: ẏ = ẏ = 1 y 2, (3b) 1 y 2. (3c) 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 4

5 Układy równań pierwszego rzędu Równanie w postaci (2) na ogół przedstawia się w postaci układu n równań pierwszego rzędu. Najprostsza co nie oznacza, iż w każdym wypadku najlepsza transformacja od równania rzędu n do układu n równań pierwszego rzędu ma postać: y 1 y, dy dx dy 1 dx = y 2, d2 y dx 2 dy 2 dx = y 3,..., dn 1 y dx n 1 dy n 1 = y n, (4) dx d n y dx n dy n dx = F (x, y 1, y 2,..., y n ). Dlatego od tej pory będziemy się zajmować głównie układami równań rzędu pierwszego. Układy te nie musza mieć postaci sugerowanej przez transformację (4), ale widać, że takie zainteresowanie nie ogranicza ogólności rozważań. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 5

6 Numerycznie można poszukiwać tylko szczególnych (nie ogólnych) rozwiazań równań różniczkowych. Rozwiazanie równania rzędu n lub też, co równoważne, układu n równań rzędu pierwszego, zależy od n stałych wyznaczanych z warunków, jakie spełniać ma poszukiwana funkcja. Jeśli wszystkie te warunki zadane sa w jednym punkcie, czyli dla jednej wartości zmiennej niezależnej, mówimy, iż dany jest problem poczatkowy, zwany inaczej problemem Cauchy ego. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 6

7 Problem Cauchy ego: dy dx = f(x, y) (5) y(x 0 ) = y 0 gdzie y, y 0 R n, f : R R n R n (czasami zamiast R bierze się C). 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 7

8 Twierdzenie Peana Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja f jest ciagła w pasie x 0 x X, to problem Cauchy ego (5) ma rozwiazanie w tym pasie. Tradycyjnie, acz niezgodnie z zasadami polszczyzny, twierdzenie to zwane jest twierdzeniem Peano. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 8

9 Uwaga: Twierdzenie Peana nie gwarantuje jednoznaczności rozwiazań. Przykład: Problem Cauchy ego ma co najmniej dwa różne rozwiazania: { ẏ = 2 y y(0) = 0 (6) y 1 (t) = 0, (7a) oraz y 2 (t) = t 2 t 0, t 2 t 0 (7b) (zauważmy, że dy 2 /dt = 2 t ). 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 9

10 Twierdzenie Picarda Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja f jest ciagła w pasie x 0 x X oraz spełnia warunek Lipschitza ze względu na druga zmienna: L > 0 x : x 0 x X, y 1, y 2 : f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2 to problem Cauchy ego (5) ma w tym pasie rozwiazanie i jest ono jednoznaczne. Metody numeryczne ograniczaja się do przypadków spełniajacych założenia twierdzenia Picarda. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 10

11 Twierdzenie o ciagłej zależności rozwiazania od warunków poczatkowych Twierdzenie 3. Niech funkcja f będzie różniczkowalna w sposób ciagły w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) R R n. Wówczas istnieje takie otoczenie U R punktu x 0 i takie otoczenie S R n, y 0 S, w którym problem Cauchy ego dy/dx = f(x, y), y( x) = ỹ ma rozwiazanie dla wszystkich x U, ỹ S. Rozwiazanie to zależy przy tym od punktu poczatkowego ( x, ỹ) w sposób ciagły. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 11

12 Metody numeryczne zamiana problemu ciagłego na dyskretny x 0, x 1 = x 0 + h, x 2 = x 1 + h,..., x n = x n 1 + h,... y 0 = y(x 0 ), y 1 = y(x 1 ), y 2 = y(x 2 ),..., y n = y(x n ),... h krok czasowy (niekiedy może się zmieniać, ale o tym później) 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 12

13 Metoda jawna (explicit) s krokowa, rzędu p: y n+1 = F(h; x n, y n, y n 1,..., y n s+1 ) + O(h p+1 ) (8) Przepis konstrukcyjny pozwalajacy wyliczyć wartość poszukiwanej funkcji w kolejnym punkcie korzystajac z s punktów, w których wartość ta jest znana. Różnica pomiędzy dokładnym a przybliżonym rozwiazaniem jest (w jednym kroku) rzędu h p Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 13

14 Metoda niejawna (implicit) s krokowa, rzędu p: y n+1 = G(h; x n, y n+1, y n, y n 1,..., y n s+1 ) + O(h p+1 ) (9) Równanie algebraiczne (na ogół nieliniowe, wielowymiarowe), jakie musi spełniać poszukiwana funkcja w kolejnym punkcie. Równanie to trzeba numerycznie rozwiazać w każdym kroku całkowania równania różniczkowego. W równaniu uwzględniane sa informacje z s punktów, w których poszukiwana funkcja jest już znana. Różnica pomiędzy dokładnym a przybliżonym rozwiazaniem jest (w jednym kroku) rzędu h p Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 14

15 Zgodność Od każdej metody numerycznego całkowania równań różniczkowych wymaga się, aby była zgodna z wyjściowym równaniem, to jest aby odtwarzała je w granicy nieskończenie małych kroków. Przykład: Dla metody jawnej (8) rozpatrzmy wyrażenie y n+1 y n h = F(h; x n, y n, y n 1,..., y n s+1 ) y n h. (10) Lewa strona (10) nie zależy od wyboru metody i jest równa (y n+1 y n )/h = (y(x n +h) y(x n ))/h, a zatem jej granica przy h 0 + wynosi dy/dx x=xn = f(x n, y n ). 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 15

16 Cała informacja o metodzie zawarta jest w prawej stronie (10), a zatem warunkiem zgodności metody (8) jest F(h; x n, y n, y n 1,..., y lim n s+1 ) y n h 0 + h = f(x n, y n ). (11) Dla metod niejawnych zapisanych formalnie w postaci (9) nie można podać kryterium zgodności w postaci zwartej (można to zawsze zrobić dla konkretnej metody niejawnej), tym niemniej wymaga się, aby wszystkie, a więc także niejawne, metody były zgodne. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 16

17 Stabilność Podczas numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych popełnia się dwa rodzaje nieuniknionych błędów numerycznych: bład metody, wynikajacy z zastapienia ścisłego problemu ciagłego problemem dyskretnym oraz bład zaokraglenia, wynikajacy z faktu, iż obliczenia prowadzone sa ze skończona dokładnościa. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 17

18 Dlatego też warunek poczatkowy w problemie Cauchy ego ulega w każdym kroku rozmyciu : dy dx = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 dy dx = f(x, y) y(x 1 ) = y 1 +ε 1 dy dx = f(x, y) y(x 2 ) = y 2 +ε 2 (12) Gdyby ten bład rozmycia mógł propagować się z kroku na krok, rozwiazanie numeryczne szybko mogłoby przestać mieć cokolwiek wspólnego z rozwiazaniem wyjściowego problemu Cauchy ego: aby metoda była stabilna, błędy popełniane w kolejnych krokach nie moga narastać z kroku na krok. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 18

19 Zakładamy, że błędy sa niewielkie, ε n 1, możemy się więc ograniczyć do przybliżenia liniowego. W tym przybliżeniu ε n+1 = Gε n. (13) Błędy nie będa narastać z kroku na krok, jeśli wszystkie wartości własne macierzy G będa spełniać γ < 1. Macierz G nazywamy macierza wzmocnienia. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 19

20 Przykład: Dla jednokrokowej metody jawnej y n+1 + ε n+1 = F(h; x n, y n + ε n ) F(h; x n, y n ) + F y y=yn ε n. (14) W powyższym wyrażeniu F/ y oznacza różniczkowanie wszystkich składowych F po wszystkich składowych y, czyli obliczanie jakobianu: Dla jednokrokowej metody jawnej G = F y (h; x n, y n ). (15) Jeżeli jakaś metoda w ogóle może być stabilna dla danego równania, wymóg stabilności oznacza na ogół wzięcie odpowiednio małego kroku h. Zgodnie z wyrażeniem (15), krok czasowy, który w pewnym punkcie zapewnia stabilność, może go nie zapewniać w innym. 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne 20