4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

Transkrypt

1 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów zastosowano element trójkątny nazywany skrótem CST (Constant Strain Triangle). W elemencie tym wyróżnić możemy trzy węzły (zobrazowane poprzez wierzchołki trójkąta), które mają po dwa translacyjne stopnie swobody. Tak więc przemieszczenie dowolnego punktu elementu opisywać będziemy w układzie xy za pomocą dwóch składowych, które oznaczymy u i v. Kolejne przemieszczenia węzłowe oznaczymy przez d 1 do d 6. Odpowiadają one stopniom swobody oznaczonym na rysunku poniżej d 6 y d 1 v ik k v i u d 5 v jk v j d ij d 3 x d 4 Rys Element trójwęzłowy Wektor przemieszczeń d, który opisuje deformację elementu, składa się z następujących składowych d =[d 1, d,d 3, d 4, d 5, d 6,] T =[u 1, v,u 3, v 4,u 5, v 6,] T (4.1) Możemy przyjąć funkcje, które będą opisywać wielkości przemieszczeń u i v w postaci liniowo zależnej od x i y: u=c 1 c x c 3 y v=c 4 c 5 x c 6 y (4.) W postaci macierzowej założoną aproksymację zmian wektora przemieszczeń u=[u, v] T możemy zapisać u=gc (4.3) gdzie c jest wektorem stałych c i (na razie nieznanych), natomiast macierz geometryczna g ma postać g=[ 1 x y 1 x y] (4.4)

2 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ Jeśli podstawimy warunki brzegowe, to znaczy porównamy przemieszczenia u i v odpowiednio do przemieszczeń węzłów w punktach i, j, k otrzymamy macierz h postaci: h=[ g i g j która spełnia poniższe równanie macierzowe: xi yi 1 x i y i 1 x j (4.5) 1 x g j k]=[1 1 x k y k 1 x k y k] d =hc (4.6) Z równania tego wyznaczamy wartości stałych c i przez znalezienie macierzy odwrotnej h 1 : [x j yk xk y j xk yi xi yk xi x j yi y kj ] h 1 = 1 x kj (4.7) A ijk x j y k x k x k y i x i y k x i x j y i Wpływ jednostkowego przemieszczenia w węzłach na przemieszczenia wszystkich punktów na obszarze elementu Funkcja kształtu jest funkcją liniową. =x j x i = y i y k (4.8) A ijk = podwójne pole powierzchni trójkąta =det[1 x i y i 1 x j 1 x k y k]= y ik x ik (4.9) Macierz funkcji kształtu ma więc postać: N =gh 1 =[ N 1 N N 3 N 1 N N 3] (4.1)

3 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 3 gdzie odpowiednie funkcje wyrażają się następującymi wzorami N 1 = 1 A ijk x j y k x k x y (4.11) N = 1 A ijk x k y i x i y k x y (4.1) N 3 = 1 A ijk x i x j y i x y (4.13) Zależność pomiędzy przemieszczeniami węzłów d a odkształceniami elementu otrzymamy wykonując działanie pokazane poniżej =[ x B=L N y [ y 1 jk ]N = x y A jk ijk y x ij] (4.14) =Bd (4.15) Jeśli założymy, że mamy do czynienia z materiałem izotropowym możemy macierz konstytutywną zapisać Gdzie przyjęte stałe e i są równe: dla płaskiego stanu naprężenia D= E 1 e 1 [e 3] (4.16) e =1 e =1 e 3 = e (4.17) dla płaskiego stanu odkształcenia

4 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4 =1 e =1 (4.18) e 3 = e Macierz sztywności elementu CST K = B T DB dv =B T DBA ijk t=k 1 K (4.19) V gdzie przez t oznaczono grubość elementu, zaś macierze K 1 i K zawierają wyrazy wywodzące się odpowiednio tylko z odkształceń 4[ normalnych i ścinających: ] e K 1 = (4.) 4[ ] x K =e ki (4.1) Powyższe macierze są macierzami symetrycznymi. We wzorach na K 1 i K wzorach przyjęto następujące oznaczenia Et 1 e 4 = e 4 A ijk 1 [e 3] e (4.) e 5 =e 4 =e Element skończony trójkątny sześciowęzłowy

5 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 5 Do analizy płaskich stanów naprężenia i odkształcenia możemy posłużyć się również sześciowęzłowym elementem trójkątnym, który w literaturze jest w skrócie nazywany LST (Linear Strain Triangle). Element ten przedstawia poniższy rysunek: v 3 v 6 3 u 3 u 6 v u 5 y u u 4 v u 1 Rys. 4.. Element sześciowęzłowy Wektor przemieszczeń węzłowy możemy zapisać jako x v 4 v d =[u 1 u u 3 u 4 u 5 u 6 v 1 v v 3 v 4 v 5 v 6 ] T (4.3) Wektor przemieszczenia dowolnego punktu elementu określonest przy pomocy dwóch składowych: u=[u v ] T. Natomiast aproksymację każdej ze składowych przyjmuje się w postaci u=c 1 c x c 3 y c 4 x c 5 xy c 6 y v=c 7 c 8 x c 9 y c 1 x c 11 xy c 1 y (4.4) Wektor odkształcenia możemy wyrazić jako funkcję przemieszczeń węzłów x =[ y B y xy]=[bx Poszczególne wektory można zapisać następująco B y B x]=[ u v] =Bd (4.5) x =[ x1 x x3] y =[ y1 y y3] xy=[ xy1 xy xy3] (4.6) Zastosowane macierze B i wyrazić można jako

6 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 6 B x = 1 y 3 y 13 y 1 4 y 13 4 y 1 y A[3 3 3 y 13 y 1 4 y 3 4 y 1 y 3 y 13 3 y 1 4 y 13 4 y 3] (4.7) B y = 1 x 3 x 31 x 1 4 x 31 4 x 1 x A[3 3 3 x 31 x 1 4 x 3 4 x 1 x 3 x 31 3 x 1 4 x 31 4 x 3] (4.8) 4.3. Kondensacja statyczna Kondensacja statyczna polega na tworzeniu elementu czterokątnego z elementów trójkątnych (suma dwóch trójkątnych). K Qi =K T 1 K T i=1, (4.9) K = 1 [ K Q 1 K Q ] (4.3)

7 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 7 [ K AA K AB K BA K BB] [ d A d B] [ = p A p B] (4.31) K AA d A K AB d B = p A K BA d A K BB d B = p B (4.3) Po odpowiednich przekształceniach doprowadzamy wzory do postaci K BA K AA 1 p A K AB d B K BB d B = p B K BB K BA K AA 1 K AB d B = p B K BA K AA 1 p A (4.33) co skracamy do postaci K BB d B = p B (4.34) Dokładność macierzy sztywności zależy od dyskretyzacji, otrzymujemy wynik przybliżony. Tylko wtedy gdy obciążenia przyłożymy w węzłach, funkcja kształtu trzeciego stopnia v x =a 1 a x a 3 x a 4 x 3 (4.35) Jest prawdziwą i dokładną funkcją rozwiązującą dane równanie różniczkowe. Funkcja momentów na danym odcinku jest liniowa. d w x =±M d x EI (4.36) Kondensacja statyczna polega na dodaniu do siebie prostych elementów po to aby tworzyć bardziej złożone. Składanie czworokąta z trójkątów to dodanie odpowiednich sztywności.(rysunki). Dochodzenie do macierzy sztywności elementu czworokątnego może odbywać się w różny sposób. Element czworokątny o węzłach 1,,3,4 można złożyć z dwóch trójkątów 4,1, i 4,3, lub 1,4,3 i 1,,3.