( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =

Transkrypt

1 ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura: źródło prądu sałego o napięciu = 0 4, wolomierz cyfrowy, kondensaor o pojemności = 5 00µF, soper.. A.Poris Laboraory Physics.. A.H.Piekara Elekryczność i magneyzm. 3. E.M.Purcell Elekryczność i magneyzm. I. WPROWADZENIE Okładki kondensaora o pojemności podłączamy do źródła sałego napięcia o (rys., klucz K w położeniu ). Kondensaor bardzo szybko naładuje się do napięcia o. Przełączając klucz K w położenie odłączamy źródło ładujące kondensaor i zamykamy obwód zawierający opór R. Nasąpi rozładowanie kondensaora przez opór R. Popłynie prąd o malejącym naężeniu co wskaże I µa mikroamperomierz. hwilowa warość ego prądu: K I =. ( ) R + o byek ładunku kondensaora w czasie d oznaczamy przez dq. hwilowa warość naężenia +q R q prądu I: dq I =. ( ) d Rys. względniając równanie () mamy zaem dq = ( 3 ) d R Kondensaor o pojemności naładowany do różnicy poencjałów posiada ładunek: q =. ( 4 ) Eliminując z równania (3) i (4) orzymamy: dq q = ( 5 ) d Z równania (5) wynika, że prędkość ubywania ładunku kondensaora dq/d jes proporcjonalna do chwilowej wielkości q. W miarę upływu czasu ubywanie ładunku począkowo zachodzi szybko a później wskuek zmniejszania się q coraz wolniej.

2 Równanie (5) możemy zapisać w posaci dq q d =. ( 6 ) Jes o prose równanie różniczkowe. Rozwiązaniem ego równania (przy uwzględnieniu, że dla = 0 mamy q = q o ) jes funkcja: względniając zależność (4) mamy relacje: i orzymujemy q = q o e. ( 7 ) q = i q o = o ( 8 ) = o e ( 9 ) gdzie o napięcie kondensaora w chwili = 0. dq Ponieważ I =, więc przy uwzględnieniu zależności (7) orzymujemy d d I = ( e ) = e = Io e ( 0 ) d gdzie I o jes prądem płynącym przez opór w chwili = 0. Równania (7), (9) i (0) wyrażają zależność ładunku q, napięcia i naężenia prądu I w funkcji czasu. Zależność a jes funkcją wykładniczą, malejącą w miarę upływu czasu. Wykres przedsawia zależność () i podsawowe własności krzywej wykładniczej rozładowania kondensaora. [] o 0,5 o 0,693τ 0 0,368 o τ τ 3τ Rys. Wykres zależności = o e τ Iloczyn ma wymiar czasu i nazywa się sałą czasową (obwodu ) lub charakerysycznym czasem relaksacji. Zwykle oznaczamy τ =. Dla = = τ mamy: o = e = 0,3679 ( ) W czasie = τ ładunek q, napięcie, naężenie prądu I maleją e kronie (,7 razy). Po upływie ego czasu kondensaor zawiera 36,8% ładunku począkowego.

3 Z każdego ze wzorów (7), (9) i (0) można orzymać związek między i τ (po uwzględnieniu q I q relacji = lub = lub = ). Na podsawie np. równania (7) mamy = = e. o Io Po prosych przekszałceniach algebraicznych (po zlogarymowaniu obu sron ego równania) orzymamy = ln = 0, 6935 τ ( ) Odkładając na osi x czas w jednoskach a na osi y wielkości q/q o, / o lub I/I o orzymamy dobrą ilusrację wykładniczych zależności (7), (9) i (0). q,, o I Io Rys.3 W każdym przedziale czasowym ładunek, napięcie i naężenie prądu maleją o połowę.. POMIARY.. kład pomiarowy. K K K K o + R = R o + R ZNN a) ZNN b) µa Rys.4 Schema połączeń układu pomiarowego; (a) rozładowanie kondensaora poprzez wolomierz, (b) rozładowanie kondensaora poprzez opór R (MΩ lub MΩ) i mikroamperomierz (pomiar naężenia prądu). 3

4 µa gniazdka do podłączenia kondensaora gniazdka do podłączenia wolomierza cyfrowego WŁ ŁAD MΩ MΩ Rys.5 Płya czołowa układu pomiarowego Do zacisków przy symbolu pojemności (rys.5) dołączamy kondensaor (lub kombinacje połączeń równoległych i szeregowych kondesaorów). Do zacisków oznaczonych symbolem wolomierza dołączamy wolomierz cyfrowy. Wolomierz cyfrowy charakeryzuje się bardzo dużym oporem wewnęrznym (R > 0 000MΩ). Dla zakresu 0 i 00 opór R > 0MΩ. Wskazane przez niego napięcie jes właśnie spadkiem poencjału na jego oporze Rv. W naszym ćwiczeniu (rys.4a) będzie on spełniał rolę miernika napięcia na kondensaorze i oporu R, przez kóry zachodzi rozładowanie kondensaora. Przy zamknięych obu kluczach K i K wolomierz wskazuje różnicę poencjałów między okładkami kondensaora naładowanego do napięcia źródła o (wciśnięe jednocześnie przyciski ŁAD i )... Meoda pomiaru Logarymując równanie (9) orzymujemy ln = ln o ( ) Przyjmując: y = ln, a = ln o, b =, x = orzymujemy prosą y = a + bx o paramerach a i b. Znajdując współczynnik nachylenia b prosej, znajdziemy sałą czasową τ ze związku τ = ( 3 ) b oraz opór wolomierza τ R = R = = ( 4 ) b 4

5 I. POMIARY I OPRAOWANIE WYNIKÓW. Pomiary. Do odpowiednich zacisków obwodu (rys. 4a) dołączamy wolomierz cyfrowy (charakeryzuje się dużym oporem wewnęrznym, R > 0MΩ). Ładujemy kondensaor wciskając jednocześnie przyciski ŁAD i (zamknięe oba klucze K i K na rysunku 4). Wciśnięcie ponowne przycisku (owarcie klucza K na rys. 4) prowadzące do wyciśnięcia przycisku ŁAD spowoduje rozładowanie kondensaora. Powolny spadek napięcia na kondensaorze umożliwia pomiar ego napięcia wolomierzem cyfrowym w funkcji czasu. Odczyów napięcia dokonujemy w odsępach czasu sosownych do szybkości zmian napięcia. Wyniki zapisujemy w abelce. Pomiar powarzamy dla innej pojemności kondensaora. [s] [] Tabela. Jeśli układ umożliwia pomiar prądu rozładowania poprzez mikroamperomierz (rys. 4b) możemy dokonać w podobny sposób pomiaru prądu rozładowania kondensaora przez opór MΩ lub MΩ (wówczas należy odłączyć wolomierz). Kondensaor ładujemy wciskając jednocześnie przycisk ŁAD i jeden z przycisków MΩ lub MΩ. Rozładowanie rozpoczynamy naciskając ponownie przycisk MΩ lub MΩ (zosaje wówczas wyciśnięy przycisk ŁAD ). Opracowanie.. Sporządzić wykres zależności napięcia w funkcji czasu rozładowania kondensaora (ewenualnie naężenia prądu I w funkcji czasu jeśli pomiary I() wykonano).. Sporządzić wykres zależności ln w funkcji czasu. Meodą najmniejszych kwadraów (parz I pracownia fizyczna J. L. Kacperski, K. Niedźwiedziuk) wyznaczyć paramery a i b prosej y = a + bx. Paramery a i b można wyznaczyć bezpośrednio korzysając z wykresu (prosą w akim przypadku wykreślamy odręcznie). ln ln o 0 (ln) [s] Rys.6 Wyznaczanie paramerów a i b bezpośrednio z wykresu β α a = ln o ( o znamy bezpośrednio z pomiaru), o ( β) = β b = gα = g 80 g ln b =, ln =, τ = =. ln, Sosując ę uproszczoną (odręczną) meodę uzyskujemy wynik mniej dokładny, a ponado rudniej jes oszacować błąd τ. 5

6 3. Wyznaczyć sałą czasową τ (wzór (3)) i opór wolomierza cyfrowego znając pojemność kondensaora τ R = = ( 5 ) b 4. Oszacować błędy pomiarowe τ i R. τ b b = τ = τ ( 6 ) τ b b τ R = + R ( 7 ) τ Przyjąć, że błąd względny pojemności / = 0, 6