Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Transkrypt

1 Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych x a x y że zachodzi równość: M. Czy liczby x y musza y b być ca lkowie? p. Znaleźć warości i wekory w lasne macierzy M oraz macierzy M. p. Znaleźć macierz M i jej warości oraz wekory w lasne. p. Narysować zbiór z lożony ze wszyskich punków posaci M x gdzie x y. y zanie: Mamy zbadać uk lad równań x + y a x + y b. Mnoża c pierwsze z nich przez a drugie przez poem odejmuja c sronami orzymujemy x a b czyli x a b. Sa d y b a b 6b 4a c y b a. Sa d wniosek że jeśli a b sa liczbami ca lkowiymi o również liczby x y sa ca lkowie ym bardziej wymierne. Warości w lasne sa pierwiaskami równania charakerysycznego: λ λ λ λ 64 λ λ + λ 9 c λ i λ Znajdziemy wekory w lasne odpowiadaja - ce λ. Wspó lrze dne u v wekora w lasnego [u v] musza spe lniać oba równania u + v u i u + v v czyli równania v 4 4u i u v. Można je zapisać w posaci v u v + u u c wekory w lasne odpowiadaja ce warości w lasnej λ u sa posaci u λ 9 4 odpowiadaja wekory w lasne posaci u u gdzie u. Analogicznie warości w lasnej gdzie u. Z wzorów x a b y b a wynika od razu że M co zresza można wywnioskować z wzorów na macierz odwrona ale nie ma porzeby bo już raz e macierz znaleźliśmy. Warościami w lasnymi macierzy M sa liczby λ i λ a odpowiadaja im wekory u oraz u u. Mamy x y x + y x + y x + y loboku c zbiór kóry należa lo narysować o równoleg lobok o wierzcho lkach. Niech A B A. p. Znaleźć warości i wekory w lasne macierzy A. p. Znaleźć warości i wekory w lasne macierzy B.. Dodaja c wekory sosujemy regu le równoleg- p. Znaleźć warości i wszyskie wekory w lasne macierzy A i macierzy A. p. Znaleźć macierze A B B A i B..

2 p. Niech F x A x. Czy F jes symeria wzgle dem punku lub wzgle dem pewnej p laszczyzny? zanie: Warości w lasne o pierwiaski równania charakerysycznego: λ λ λ λ λ λ + λλ + λ +. Wobec ego warościami w lasnymi sa liczby λ λ i oraz λ + i. Jeśli liczby x y z sa kolejnymi wspó lrze dnymi wekora w lasnego odpowiadaja cego λ o spe lniony x + y z x jes uk lad równań: x + y y z z. Sa d od razu wynika że x i z y c wekor w lasny ma posać y y y. Znajdziemy wekory w lasne odpowiadaja ce λ i. Uk lad równań kóry maja spe lniać x + y z i x wspó lrze dne x y z wekora w lasnego o x + y i y z i z. Z rzeciego z ych równań wynika że z. Z drugiego równania orzymujemy x i y czyli x 4 + i y. Wekory w lasne odpowiadaja ce λ maja c posać + i y 4y y + i 4. orzy- Ponieważ macierz jes rzeczywisa c wekory w lasne odpowiadaja ce warości w lasnej λ λ mujemy sprze gaja c wspó lrze dne wekora odpowiadaja cego λ : y i 4. Wekorami w lasnymi macierzy B sa liczby λ λ 4 + i + i 4 i i λ λ λ 4 i 4 + i a wekory w lasne im odpowiadaja ce o e kóre odpowiadaja λ λ λ w przypadku macierzy A. Warości w lasne macierzy A o λ λ λ λ i + i oraz λ λ λ zamias podnosić do sześcianu na ray można oczywiście zasosować wzór de Moivre a albo wzór na sześcian sumy. Wekory w lasne o e kóre znaleźliśmy dla macierzy A ale nie ylko bo suma wekorów w lasnych odpowiadaja cych ej samej warości w lasnej jes wekorem w lasnym jej odpowiadaja cym. Niech v v + i 4 v i 4. Wekorami w lasnymi macierzy A odpowiadaja cymi warości w lasnej sa eż w v +v 4 oraz e i v v c również e 4 w e i e v e. Wobec ego A e j e j dla j c A I. Liczba dzieli sie przez c A A / I / I można oczywiście napisać że 67 ale ważne jes ylko o że liczba jes ca lkowia!. Z poprzedniego zdania wynika że B A I zaem B I B B /

3 / I I. Przeksza lcenie F symeria wzgle dem punku nie jes bo wedy by loby F x x dla każdego x wie c liczba by laby warościa w lasna macierzy A wbrew naszym usaleniom. Przeksza lcenie F nie jes eż symeria wzgle dem p laszczyzny bo a p laszczyzna musia laby przechodzić przez punk bowiem F a e w lasność maja jedynie punky leża ce na p laszczyźnie symerii. Wedy jednak mielibyśmy do czynienia z p laszczyzna z lożona z wekorów w lasnych macierzy A a mamy ylko prosa. Inny argumen: wekory prosopad le do p laszczyzny symerii by lyby wekorami w lasnymi odpowiadaja cymi warości w lasnej a a liczba warościa w lasna macierzy A nie jes.. Niech C v p. Obliczyć C v. p. Znaleźć warości i wekory w lasne macierzy C. p. Znaleźć warości i rzeczywise wekory w lasne macierzy C oraz macierzy C. p. Znaleźć macierze C 6 i C. p. Niech G x C x. Czy przeksza lcenie G jes obroem wokó l pewnej prosej? zanie: Mamy C v. Wynika sa d że liczba λ jes wekorem w lasnym macierzy C a v jes wekorem w lasnym jej odpowiadaja cym. Znajdziemy λ pozosa le warości w lasne. Zaczniemy od macierzy C. Mamy λ λ λ λ + λ λ λ + 6 λ + µ + 6µ + 7 gdzie µ λ. Wiemy że liczba λ jes warościa w lasna macierzy C c jes pierwiaskiem równania charakerysycznego. Wobec ego liczba µ jes pierwiaskiem równania: µ + 6µ + 7 µ+µ µ+7. Pozosa lymi pierwiaskami ego równania sa liczby µ i oraz µ + +i zaem pozosa lymi warościami w lasnymi macierzy C sa liczby λ i + i i λ + i i. Oznacza o że liczby λ + i i λ i sa warościami w lasnymi macierzy C. Jeśli Jak już wiemy wekorami w lasnymi odpowiadaja cymi λ sa wekory posaci gdzie. x y z jes wekorem w lasnym macierzy C odpowiadaja cym warości w lasnej λ + i o spe lnione sa równości równania pomnoży lem przez by zmniejszyć liczbe u lamków: x y + z + i x x + y z + i y x + y + z + i z. Dodawszy je sronami i podzieliwszy przez orzymuje x+y+z +i x+y+z c x+y+z zaem x + z y. Sa d wynika że y + i x czyli y + i x. Analogicznie z + i y c z 4 + i x + i x. Wekorem w lasnym macierzy C odpowiadaja cym warości w lasnej λ jes v i + i inne sa posaci v gdzie. Ponieważ macierz

4 C jes rzeczywisa i λ λ c v + i i jes wekorem w lasnym odpowiadaja cym warości w lasnej λ a inne sa posaci v gdzie. Warościami w lasnymi macierzy C sa oczywiście liczby λ λ + i cos 6 + i sin 6 cos + i sin oraz liczba λ λ a wekorami w lasnymi wszyskie wekory posaci c v + c v wyja kiem wekora. Jes wśród nich wekor w v + v i wekor w i v v oba o d lugości 6. Pozosa le rzeczywise wekory w lasne macierzy C odpowiadaja ce warości w lasnej wygla daja ak c w +c w gdzie c c sa liczbami rzeczywisymi niezeruja cymi sie równocześnie. Warościami w lasnymi macierzy C sa odwroności warości w lasnych macierzy C c liczby i. Warościami w lasnymi macierzy C 6 w lasnymi wszyskie wekory z wyja kiem wekora. Sa d wnioskujemy że C 6 I wekorami w lasnymi sa m.in. sa liczby oraz a wekorami i. Wobec ego C C C I C C. Macierz C można znaleźć podnosza c do poe gi macierz C co nie jes pracoch lonne bo C 9 9 zaem 9 9 C. Można eż inaczej. Niech C a b c k l m. Wedy p q r C C C. a + b + c k + l + m p + q + r Zachodza c równości a b c b + k l m c l + m p q r q + r. zujemy rzy lawe uk lady równań liniowych i znajdujemy wspó lczynniki macierzy C. Osania sprawa o wyjaśnienie czy przeksza lcenie F jes obroem. Jeśli jes o wokó l prosej x y z bo ylko ych punków przeksza lcenie F nie porusza. Wekory i leża w p lasz- czyźnie x + y + z c prosopad lej do wekora. Zachodza równości: cos 6 w sin 6 w + sin 6 w + cos 6 w co dowodzi 4

5 że przeksza lcenie liniowe F jes obroem o ka 6 wokó l prosej x y x. 4. p. Znaleźć rozwia zanie ogólne równania x + x cos. p. Znaleźć akie rozwia zanie równania x + x cos że x. zanie: Mamy x x + x cos zaem x cos d sin + C. Sa d wynika że x sin + C. Jeśli C > o lim sin + + C + a jeśli C < o lim sin + + C. Jeśli chcemy by x o musi być C. Wedy x sin zosa lo rozwia zane.! +! 4 7! Zadanie A eraz nieco inny pocza ek. Zaczynamy od równania jednorodnego x + x czyli x x. Sa d ln x dx x x x d d ln + C. Wobec ego x ±ec K gdzie K ±ec dopuszczamy eż K bo funkcja wsze dzie równa eż spe lnia równanie jednorodne. Uzmienniamy sa la czyli szukamy rozwia zania w posaci K. Podsawiamy do równania i orzymujemy cos K + K K + K + K K. Sa d wynika że K cos d sin + k zaem rozwia zaniem jes funkcja sin + k. Końcówka aka jak poprzednio.. Niech f: oznacza funkcje różniczkowalna kórej pochodna jes dodania w każdym punkcie pó lprosej i o aka że syczna do jej wykresu w dowolnym punkcie x fx x > przecina dodania pó loś OX w pewnym punkcie P x leża cym mie dzy punkami i x. Niech G f x y: < < x i < y < f} be dzie obszarem pod wykresem funkcji f ograniczonej do dziedziny x. p. Napisać wzór na pole obszaru G f x. p. Znaleźć funkcje f jeśli wiadomo że pole rójka a o wierzcho lkach x x fx i P x zanie: sanowi pola obszaru G f x. Pole obszaru o G f x x fd. Jeśli punk u v leży na sycznej do wykresu funkcji f w punkcie x fx o v fx u x f x bo: pochodna o wspó lczynnik kierunkowy sycznej. Jeśli v szukamy punku wspólnego sycznej i osi OX o u x fx f x. Ponieważ P x u leży mie dzy punkami i x c < fx f x x u < x. Wobec ego pole rójka a o wierzcho lkach x x fx i P x jes równe fx f x fx. Musi c być spe lniona równość: fx f x fx x fd. Różniczkuja c obie srony ej równości orzymujemy: fx fx f x fxf x fx f x f x czyli fxf x 4 f x co zapisujemy ak: f x f x 4 f x fx. Ca lkuja c obydwie srony orzymujemy: ln f x 4 ln fx + C czyli f x e C fx 4/ C fx 4/ zn. f xfx 4/ C C >. Ca lkujemy raz jeszcze: C x + C f xfx 4/ dx fx / c fx C x + C. Za lożyliśmy że f jes funkcja dodania na pó lprosej. Wynika sa d że lim x + fx C c C. Z za lożenia < fx f x Cx+C C fx ax dla pewnej liczby a >. < x c C. Wobec ego C co oznacza że