Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Transkrypt

1 Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej że: i=0,n F (x i ) = y i. Poza węzłami funkcja F powinna przybliżać wartości funkcji f. W naszym przypadku szukamy funkcji F w postaci wielomianu W n stopnia mniejszego lub równego n. Zatem ogólnie mamy, że: x R F (x) = W n (x) i=0,...,n W n (x i ) = y i.

2 Interpretacja geometryczna Z warunku i=0,...,n W n (x i ) = y i wynika, że wykres wielomianu W n na płaszczyźnie R 2 musi przechodzić przez wszystkie z punktów (x 0, y 0 ),..., (x n, y n ) lub (przy stosowaniu równoważnych oznaczeń) (x 0, f (x 0 )),..., (x n, f (x n )). Interpretacja geometryczna

3 Twierdzenie interpolacyjne Twierdzenie. (o istnieniu wielomianu interpolacyjnego) Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny W n stopnia co najwyżej n (n 0), który w punktach x 0,..., x n przyjmuje wartości y 0,..., y n. Wielomian W n może być stopnia mniejszego od n. Przykłady interpolacji Interpolacja wielomianem niższego stopnia:

4 Przykłady interpolacji Przybliżanie funkcji sinus wielomianem interpolacyjnym stopnia co najwyżej trzeciego: Przykłady interpolacji Zachowanie wielomianu interpolacyjnego dla funkcji sinus poza przedziałem interpolacji:

5 Wyznaczanie wielomianu interpolacyjnego Możemy założyć, że W n (x) = n j=0 c j x j. Po wstawieniu tego wyrażenia do warunku i=0,...,n W n (x i ) = y i otrzymujemy następujący układ n + 1 równań liniowych z n + 1 niewiadomymi: nj=0 c j x j 0 = y 0 nj=0 c j x j n = y n Po podstawieniu konkretnych danych układ ten należy rozwiązać ze względu na współczynniki c 0,..., c n, które jednoznacznie określają postać wielomianu W n. Wyznaczanie wielomianu interpolacyjnego 1 Sprawdzenie poprawności otrzymanego wielomianu interpolacyjnego bazuje na sprawdzeniu, czy jest zachodzą warunki: i=0,...,n W n (x i ) = y i. 2 Jeśli wśród danych wartości w węzłach jest wartość f (0), to powinna ona być równa wyrazowi wolnemu otrzymanego wielomianu interpolacyjnego: f (0) = c 0.

6 Przykład układu interpolacyjnego (n = 3) Notacja standardowa: c 0 + c 1 x 0 + c 2 x0 2 + c 3x0 3 = y 0 c 0 + c 1 x 1 + c 2 x1 2 + c 3x1 3 = y 1 c 0 + c 1 x 2 + c 2 x2 2 + c 3x2 3 = y 2 c 0 + c 1 x 3 + c 2 x3 2 + c 3x3 3 = y 3 Notacja macierzowa: 1 x 0 x0 2 x0 3 1 x 1 x1 2 x1 3 1 x 2 x2 2 x2 3 1 x 3 x3 2 x3 3 c 0 c 1 c 2 c 3 = y 0 y 1 y 2 y 3 Stosowanie interpolacji wielomianowej. Zadanie 1. Niech f (x) = x 3 2x 2 + 3x 1. Niech będą dane węzły interpolacji x i = 2 + i oraz wartości w węzłach y i = f (x i ) (i = 0,..., n). Wyznaczyć wielomiany interpolacyjne W 1, W 2, W 3 i W 4.

7 Wielomiany czynnikowe i wzór Lagrange a Niech będą dane węzły x 0,..., x n (x i x j dla i j) oraz odpowiadające im wartości y 0,..., y n. Dla każdego j = 0,..., n kładziemy: φ j (x) = (x x 0)... (x x j 1 )(x x j+1 )... (x x n ) (x j x 0 )... (x j x j 1 )(x j x j+1 )... (x j x n ). Wtedy wielomian interpolacyjny W n jest określony następująco: n W n (x) = y 0 φ 0 (x) y n φ n (x) = y i φ i (x). i=0 Wielomiany φ j są nazywane wielomianami czynnikowymi. Stosowanie wzoru Lagrange a. Zadanie 2. Niech będą dane węzły interpolacji x i = 2 + i (i = 0,..., 4). Wyznaczyć za pomocą wzoru interpolacyjnego Lagrange a wielomiany interpolacyjne W 1, W 2, W 3 i W 4 dla następujących wartości w węzłach: 1 y 0 = 17, y 1 = 5, y 2 = 1, y 3 = 1, y 4 = 7; 2 y 0 = 25, y 1 = 8, y 2 = 5, y 3 = 4, y 4 = 17; 3 y 0 = 12, y 1 = 6, y 2 = 2, y 3 = 0, y 4 = 0.

8 Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange a Oznaczenia: f jest przybliżaną funkcją (musi posiadać pochodne do rzędu n + 1 włącznie na rozpatrywanym przedziale); x jest punktem, w którym badamy dokładność; a, b jest rozpatrywanym przedziałem przybliżania interpolacyjnego, takim że x a, b i=0,...,n x i a, b ; M n+1 = sup f (n+1) (t) ; t a,b ω n (x) = (x x 0 ) (x x 1 )... (x x n ). Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange a Mamy następujące oszacowanie (z góry) dla błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange a: f ( x) W n ( x) M n+1 (n + 1)! ω n( x). Ponieważ przy ustalonych danych wielomian interpolacyjny jest dokładnie jeden, więc oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange a jest prawdziwe również dla innych wzorów interpolacyjnych.

9 Stosowanie oszacowania błędu interpolacji Zadanie 3. Wyznaczyć z jaką dokładnością można obliczyć za pomocą wielomianu interpolacyjnego W 1, W 2, W 3 i W 4 : 1 wartość sin π 36, jeżeli znane są wartości y 0 = sin 0, y 1 = sin π 6, y 2 = sin π 4, y 3 = sin π 3. 2 wartość ln 100.5, jeżeli znane są wartości y 0 = ln 100, y 1 = ln 101, y 2 = ln 102, y 3 = ln wartość e , jeżeli znane są wartości y 0 = e 5, y 1 = e 9, y 2 = e 10, y 3 = e 11, y 4 = e 13. Przyjąć π i e