Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Transkrypt

1 Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia przepływu ciepła q i jego składowa normalna q n

2 Model matematyczny w sformułowaniu lokalnym: równanie Poissona Gdzie Q jest funkcją zadaną, opisującą ilość ciepła dostarczanego lub odbieranego z obszaru W, k=const D jest współczynnikiem przewodności cieplnej dla materiału jednorodnego i isotropowego. Rozwiązanie równania Poissona wymaga dołączenia odpowiednich warunków brzegowych

3 Skąd to równanie się wzięło? Z rozważania równania równowagi (bilansu cieplnego) dla problemu stacjonarnego (ustalonego) w dowolnym obszarze (załóżmy, że nasz obszar jest płaski i ma grubość t) Sumaryczna ilość ciepła dostarczonego/odebranego dla obszaru W Sumaryczna ilość ciepła dostarczonego/odebranego na brzegu G

4 Zastosowanie twierdzenia Gaussa o dywergencji do równania bilansu cieplnego

5 Równanie będzie spełnione jeśli wyrażenie pod całką będzie równe 0 Wprowadźmy do równania prawo fizyczne Fouriera Jeśli D = k=const (materiał jednorodny isotropowy) i t=const, otrzymujemy równanie w formie /tk

6 Przypomnijmy rozważany problem w sformułowaniu lokalnym gdzie:

7 Procedura rozwiązania MES Dyskretyzacja obszaru Słabe sformułowanie wariacyjne Bubnowa-Galerkina dla elementu skończonego Aproksymacja: funkcje kształtu Agregacja: budowa globalnego układu równań Rozwiązanie układu równań MES z uwzględnieniem warunków brzegowych Powrót do elementu skończonego Dyskretyzacja obszaru Do dyskretyzacji obszaru dwuwymiarowego możemy użyd elementów trójkątnych z trzema węzłami i/lub elementów czworokątnych z czterema węzłami

8 Słabe sformułowanie wariacyjne Bubnowa-Galerkina dla elementu skończonego Zgodnie z procedurą metody Bubnowa-Galerkina mnożymy rozważane równanie przez funkcję wagową v e i całkujemy w obszarze elementu skończonego W e v e T e x + T e y + Qe k e dxdy = 0 Uogólnionym twierdzeniem o całkowaniu przez części jest twierdzenie Greena-Gaussa = x y

9 Po wykorzystaniu twierdzenia Greena-Gaussa (dla = v e ), div(q) = T e otrzymujemy x + T e y Lub w zapisie macierzowym

10 Aproksymacja: funkcje kształtu Przyjmiemy, że obszar elementu skończonego W e będzie trójkątem, dalej że funkcje kształtu będą funkcjami bazowymi liniowej interpolacji Lagrange a a więc nasz element będzie opisany trzema węzłami z jednym stopniem swobody w węźle.

11 Funkcje kształtu Jak obliczyć funkcje kształtu N = a x + b y + c x y x y x y a b c = 0 0 a b c = x y x y x y 0 0 N = a x + b y + c x y x y x y a b c = 0 0 a b c = x y x y x y 0 0 a a a b b b = c c b x y x y x y N = a x + b y + c x y x y x y a b c = 0 0 a b c = x y x y x y 0 0

12 Aproksymacja T e (x, y) = N e (x, y)t e v e (x, y) = N e (x, y)c e

13 Pochodne (wektory gradientu) funkcji temperatury i funkcji wagowej = a a a b b b N = a x + b y + c N x = a N y = b N = a x + b y + c N x = a N y = b N = a x + b y + c N x = a N y = b

14 Wprowadzając aproksymacje funkcji T e i v e do równania wariacyjnego otrzymujemy układ równań MES dla elementu skończonego gdzie A e = x y x y x y Jeśli Q=const f e =

15 Agregacja: budowa globalnego układu równań Macierz topologii 5 element Węzeł () Węzeł () Węzeł () () () ()

16 Macierze i wektory Współrzędne węzłów 5 Węzeł x y 6 x y x y x y x y 5 x 5 y 5 6 x 6 y 6

17 Agregacja macierzy K = k k k k k k k k k 5 6 element Węzeł () Macierz topologii Węzeł () Węzeł () 5 6 k k 0 k 0 0 k k k 0 0 k

18 Macierz topologii K = k k k k k k k k k element Węzeł () Węzeł () Węzeł () k +k k k k +k 0 0 k k k 0 k k 0 0 k +k 0 k k +k

19 Macierz topologii K = k k k k k k k k k 6 5 element Węzeł () Węzeł () Węzeł () k +k k k k +k 0 0 k k k 0 k k 0 0 k +k 0 k k +k +k k k k k k k k k

20 Macierz topologii K = k k k k k k k k k 6 element Węzeł () Węzeł () Węzeł () k +k k k k +k 0 0 k k k 0 k +k k +k 0 k k +k 0 k +k k +k +k +k k k +k k k k k k +k k k + k

21 Agregacja wektora 5 Macierz topologii 6 element Węzeł () Węzeł () 6 5 Węzeł () 6 F F = F F F F 0 F

22 Agregacja wektora 5 Macierz topologii 6 element Węzeł () Węzeł () 6 5 Węzeł () 6 F +F F = F F F F F F +F

23 Agregacja wektora 5 Macierz topologii 6 element Węzeł () Węzeł () 6 5 Węzeł () 6 F +F F = F F F 6 5 F F F +F +F 5 F 6 F

24 Agregacja wektora 5 Macierz topologii 6 element Węzeł () Węzeł () 6 5 Węzeł () 6 F +F F = F F F 6 F F +F F +F +F +F 5 F 6 F +F

25 Globalny układ równań MES k +k k k k +k 0 0 k k k 0 k +k k +k 0 k k +k 0 k +k k +k +k +k k k +k k k k 0 0 k k +k k k + k T T T * = T T 5 T 6 F +F F F +F F +F +F +F F F +F

26 Uwzględnienie warunków brzegowych 5 6 Na tym brzegu dana jest wartość przepływu ciepła q n. A więc dla węzłów należących do brzegu wyznaczane są równoważniki z: Uwaga: całkujemy po brzegu!!! Sprawa jest nieco łatwiejsza jeśli brzeg elementu jest linią równoległą do którejś z osi współrzędnych. P b = P P 6 P b = P 5 P P 0 6

27 Uwzględnienie warunków brzegowych 5 6 Dla węzłów brzegowych i wartości wektora P b nie są znane i będą podlegać wyznaczeniu. Uwaga: w tym przykładzie nie ma węzłów wewnątrz obszaru. Dla takich węzłów składowe wektora P b byłyby równe zero. Po agregacji otrzymujemy wektor globalny ze znanymi wartościami P, P, P 5, P 6 i z P nieznanymi P i P. P P b P = P P 5 P 6

28 Uwzględnienie warunków brzegowych 5 6 W przypadku brzegu na którym zadana jest wartość temperatury wektor będzie zawierał dwie znane wartości T i T i cztery nieznane T, T, T 5 i T 6. T = T T T T T 5 T 6

29 Globalny układ równań MES po uwzględnienie warunków brzegowych k k k k k 0 k 0 k k 0 k k 6 k k 0 k 6 k k 5 k 6 k 5 k 55 k 56 k 6 k 65 k 66 T T T T T 5 T 6 = f f f f f 5 f 6 + P P P P P 5 P 6 Niewiadome pierwotne Niewiadome wtórne

30 Powrót do elementu skończonego y p 5 6 Jaka jest wartość temperatury w wybranym punkcie o współrzędnych (x p,y p ). Punkt należy do elementu. Rozwiązaniem są wartości temperatury w węzłach siatki skończenie elementowej T T T T = T T 5 T 6 x p

31 Powrót do elementu skończonego Macierz topologii 5 element Węzeł () Węzeł () Węzeł () y p Z macierzy topologii odczytujemy, które wartości z wektora temperatury należą do elementu x p T = T T T

32 Powrót do elementu skończonego 5 y p 6 Wartość temperatury w punkcie obliczamy z użytej aproksymacji podstawiając za x=x p i y=y p oraz funkcje kształtu obliczone dla elementu T e (x, y) = N e (x, y)t e T (x, y) = N (x, y) N (x, y) N (x, y) T T T x p

33 Powrót do elementu skończonego 5 y p 6 Tak samo możemy znaleźć wektor strumienia przepływu ciepła podstawiając za x=x p i y=y p oraz pochodne funkcji kształtu obliczone dla elementu q x, y = kb T T T x p

34 Zadanie obliczeniowe

35 Dyskretyzacja Węzeł x y

36 Obliczenia

37 Obliczenia

38 Rozwiązanie

39 Rozwiązanie

40 Rozwiązanie ABAQUS

41 Rozwiązanie ABAQUS q x (x,y) T(x,y) q y (x,y)