Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie x 0 i oznaczamy: f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) =. h 0 h Jeżeli funkcja posiada pochodną w punkcie x 0 to nazywamy ją różniczkowalną w tym punkcie. Uwaga 2.39. Geometrycznie pochodna funkcji w punkcie daje nam tangens kąta nachylenia stycznej w tym punkcie. Przykład 2.40. Jeżeli = x 2, x 0 = 1 to f (1) = 2. Przykład 2.41. Funkcja = x nie jest różniczkowalna w punkcie x 0 = 0 zatem funkcja ta nie posiada w punkcie x 0 = 0 stycznej. Uwaga 2.42. Jeżeli w definicji pochodnej istnieją granice jednostronne to granice te nazywamy odpowiedni pochodną lewo lub prawostronną i oznaczamy f (x 0 ) oraz f +(x 0 ). Wniosek 2.43. Jeżeli funkcja f : O(x 0 ) R jest różniczkowalna w punkcie x 0 to istnieją pochodne lewostronna i prawostronna oraz f (x 0 ) = f (x 0 ) = f +(x 0 ). Uwaga 2.44. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a, b) to nazywamy ją różniczkowalną w przedziale (a, b) oraz funkcji przyporządkujemy w tym przedziale funkcję f Pochodne funkcji: wybranych (x). Pochodną funkcji w punkcie x 0 będziemy też oznaczać jako: f (x) x0. Przykład 2.45. Jeżeli = x 2 to f (x) = 2x. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie to mówimy, że funkcja posiada w punkcie Definicja 2.48. Jeżeli istnieje granica h Uwaga 2.47. Z faktu, że funkcja jest ciągła ni Twierdzenie 2.46. Jeżeli funkcja f : O(x0) log a x (a- a x (a-co x c

Uwaga 2.49. W naturalny sposób możemy wprowadzić pochodne niewłaściwe jednostronne. Przykład 2.50. = x Twierdzenie 2.51. Niech funkcje i g(x) będą różniczkowalne na przedziale (a, b). Wtedy dla x (a, b) zachodzi 1) [k ] = k f (x) (k-stałe) 2) [ ± g(x)] = f (x) ± g (x), 3) [ g(x)] = f (x) g(x) + g (x) [ ] 4) g(x) = f (x)g(x) g (x) [g(x)] o ile g(x) 0, 2 5) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x), 6) [ () (g(x))] = () (g(x)) ( ) g (x) ln + g(x) f (x) o ile > 0, Uwaga 2.52. W powyższym twierdzeniu nie dopuszczamy granic niewłaściwych gdyż generowałyby symbole nieoznaczone. Twierdzenie 2.53. Niech f : O(x 0 ) R będzie ciągła i ściśle monotoniczna na O(x 0 ) oraz niech f (x 0 ) 0. Wtedy ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ) gdzie y 0 = f(x 0 ). Przykład 2.54. (ln x) = 1 x. Definicja 2.55. Niech f : O(x 0 ) R będzie różniczkowalna w O(x 0 ), tzn istnieje funkcja f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje granica f (x 0 + h) f (x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy drugą pochodną funkcji w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ). Uwaga 2.56. Druga pochodna funkcji to pochodna z pierwszej pochodnej, czyli f (x) = (f (x)). Uwaga 2.57. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów. Pochodną n tego rzędu (n tą pochodną) oznaczamy jako f (n) (x). Przyjmujemy, że pochodna 0 wego rzędu to f ( 0)(x) =. Zastosowania pochodnych Różniczka funkcji Definicja 2.58. Różniczką funkcji różniczkowalnej w x 0 odpowiadającą przyrostowi argumentu x nazywamy wyrażenie (df)(x 0, x) = f (x 0 ) x. Uwaga 2.59. Różniczkę funkcji można wykorzystać do liczenia przybliżonych wartości funkcji, mianowicie zachodzi f(x 0 + x) f(x 0 ) + (df)(x 0, x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) x. Ponadto błąd przybliżenia, czyli wyrażenie f = f(x 0 + x) f(x 0 ) ma następującą własność f(x 0 ) (df)(x 0, x) = 0. x 0 x Różniczka daje najlepsze liniowe przybliżenie wartości funkcji. Przykład 2.60. 4 16, 03, ln(1.05), ln(1, 2) Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 36 Created by LATEX: 20 kwietnia 2015-12:32

Styczna i normalna Niech dana będzie funkcja różniczkowalna w punkcie x 0. Styczna do wykresu funkcji ma równanie gdzie y 0 = f(x 0 ). Równanie normalnej to y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). Wykresy dwóch funkcji i g(x) różniczkowalnych w punkcie przecięcia, przecinają się pod kątem α takim, że tg α = f (x 0 ) g (x 0 ) 1 + f (x 0 )g (x 0 ). Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt pod jakim przecinają się styczne do wykresów poprowadzone w punkcie przecięcia. Jeżeli w mianowniku powyższego wzoru uzyskujemy 0 to wykresy są prostopadłe. Tw. Rolle a i tw. Lagrange a Twierdzenie 2.61. Niech f : [a, b] R będzie ciągła na [a, b] (a, b R, b > a) oraz niech będzie różniczkowalna w (a, b) i niech f(a) = f(b). Wtedy istnieje c (a, b) takie, że f (c) = 0. Twierdzenie 2.62. Niech f : [a, b] R będzie ciągła na [a, b] (a, b R, b > a) oraz niech będzie różniczkowalna w (a, b). Wtedy istniej c (a, b) takie, że f f(b) f(a) (c) =. b a Reguła de l Hospitala Twierdzenie 2.63. Jeżeli x x g(x) 0 (dopuszczamy x 0 [, ] oraz granice jednostronne) jest symbolem nieoznaczonym typu [ [ 0 0] lub ] (g(x) 0 dla x f S(x0 )) oraz istnieje granica (x) x x g (x) 0 istnieje x x 0 g(x) oraz Przykład 2.64. sin x x 0 x x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x). [ 0] 0 (sin x) cos x == H x 0 x = x 0 1 e x 1 [ 0 0] e x == x 0 2x H x 0 2 = 1 2 Uwaga 2.65. Regułę de l Hospitala można stosować kilkukrotnie. x sin x [ 0 0] Przykład 2.66. x 0 x == = 1 3 H 6. [ 1 1] == 1, (skończona lub nieskończona) to Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 37 Created by LATEX: 20 kwietnia 2015-12:32

f Uwaga 2.67. Jeżeli granica (x) x x g (x) 0 Przykład 2.68. Wzór Tylora nie istnieje to nie można nic wnioskować o granicy x x g(x). 0 x+sin x [ ] (x+sin x) x x == 1 mimo, że 1+cos x x x = x 1 nie istnieje. Niech f : [a, b] R będzie funkcją n + 1 krotnie różniczkowalną w przedziale [a, b] (a krańcach przyjmujemy jednostronną różniczkowalność). Wtedy dla każdego x (a, b) zachodzi: = f(a) + x a f (1) (a) + 1! n (x a) k = f (k) (a) + R n (x, a) k! k=0 gdzie R n (x, a) spełnia warunek R n(x,a) x a (x a) n (x a)2 f (2) (a) +... + 2! (x a)n f (n) (a) + R n (x, a) n! = 0. Funkcja R n (x, a) nazywana jest resztą Peano we wzorze Taylora. W przypadku a = 0, wzór Taylora nazywany jest wzorem Maclaurina. Reszta w postaci Lagrange a: istnieje takie ξ [a, x] dla x > a lub ξ [x, a] dla x < a, że R n (x, a) = Przykład 2.69. Obliczyć ln(1, 2) z dokładnością do 0.001. Obliczyć sin 1 z dokładnością do 0.0002. Monotoniczność i ekstrema (x a)n+1 f (n+1) (ξ). (n + 1)! Twierdzenie 2.70. Niech f : [a, b] R będzie różniczkowalna na [a, b]. Wtedy 1) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) = 0 to jest stała na [a, b], 2) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) > 0 to jest rosnąca na [a, b], 3) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) < 0 to jest malejąca na [a, b], Uwaga 2.71. Jeżeli dostajemy nierówności nieostre to mówimy odpowiednio o funkcjach nierosnących i niemalejących. Definicja 2.72. Funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne właściwe, gdy δ>0 f(x 0) >. x S(x 0,δ) Definicja 2.73. Funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne właściwe, gdy δ>0 f(x 0) <. x S(x 0,δ) Uwaga 2.74. Jeżeli w powyższych definicjach znaki nierówności staną się nieostre to dostajemy maksima i minima lokalne niewłaściwe. Uwaga 2.75. Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi. Twierdzenie 2.76 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f posiada w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe, oraz jest różniczkowalna w tym punkcie to f (x 0 ) = 0. Przykład 2.77. Funkcja = x 3 jest różniczkowalna i f (0) = 0 ale w x 0 = 0 funkcja nie posiada ekstremum. Przykład 2.78. Funkcja = x ma minimum w x 0 = 0 mimo, że f (0) nie istnieje. Definicja 2.79. Mówimy, że punkt x 0 D f jest punktem krytycznym funkcji jeżeli f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie istnieje. Twierdzenie 2.80 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f : [a, b] R jest różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz istnieje punkt x 0 taki, że f (x 0 ) = 0 oraz f (x) zmienia znak w punkcie x 0 to funkcja posiada w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe. Jeżeli f (x) zmienia znak z + na tzn. istnieje δ > 0 taka, że f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to w punkcie x 0 jest maksimum lokalne właściwe. Natomiast jeżeli f (x) zmienia znak z na + tzn. istnieje δ > 0 taka, że f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to w punkcie x 0 jest minimum lokalne właściwe. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 38 Created by LATEX: 20 kwietnia 2015-12:32

Twierdzenie 2.81 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f : [a, b] R jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz istnieje punkt x 0 taki, że f (x 0 ) = 0 oraz f (x 0 ) 0 to w x 0 jest ekstremum lokalne. Dokładniej mówiąc gdy f (x 0 ) > 0 to minimum a gdy f (x 0 ) < 0 to maksimum lokalne właściwe. Twierdzenie 2.82 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f : [a, b] R jest n krotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz istnieje punkt x 0 taki, że f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) = 0,..., f (n 1) (x) = 0 oraz f ( n)(x 0 ) 0 to w x 0 jest ekstremum lokalne. Dokładniej mówiąc gdy n jest parzyste i f (n) (x 0 ) > 0 to minimum a gdy f (n) (x 0 ) < 0 to maksimum lokalne właściwe a gdy n jest nieparzyste i f (n) (x 0 ) > 0 to maksimum a gdy f (n) (x 0 ) < 0 to minimum lokalne właściwe Uwaga 2.83. Jeżeli funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie x 0 to x 0 jest punktem krytycznym funkcji. Aby znaleźć ekstrema lokalne funkcji należy wyznaczyć jej dziedzinę, znaleźć wszystkie punkty krytyczne a następnie w punktach krytycznych w których funkcja jest różniczkowalna sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremów a w punktach krytycznych w których funkcja nie jest różniczkowalna sprawdzić definicję ekstremum lokalnego. Przykład 2.84. Zbadać istnienie ekstremów lokalnych dla funkcji = 3 x 2 x. Definicja 2.85. Funkcja f : D f R ma w punkcie x 0 minimum globalne właściwe, gdy x D f f(x 0 ) <. Definicja 2.86. Funkcja f : D f R ma w punkcie x 0 maksimum globalne właściwe, gdy x D f f(x 0 ) >. Uwaga 2.87. Jeżeli w powyższych definicjach znaki nierówności staną się nieostre to dostajemy maksima i minima globalne niewłaściwe. Uwaga 2.88. Minima i maksima globalne są zbiorczo nazywane ekstremami globalne. Uwaga 2.89. Aby wyznaczyć ekstrema globalne należy wyznaczyć ekstrema lokalne, wartości funkcji na krańcach dziedziny a następnie wybrać największą i najmniejszą z tych wartości. Przykład 2.90. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji = x 3 + 2x 2 4x + 12 dla x [ 3, 1]. Wypukłość i punkty przegięcia Definicja 2.91. Funkcę f : [a, b] R nazywamy ściśle wypukłą (czasem mówimy ściśle wypukłą w dół) gdy ( ) x1 + x 2 f < f(x 1) + f(x 2 ). x 1,x 2 [a,b] 2 2 x 1 x 2 Definicja 2.92. Funkcę f : [a, b] R nazywamy ściśle wklęsłą (czasem mówimy ściśle wypukłą w górę) gdy ( ) x1 + x 2 f > f(x 1) + f(x 2 ). x 1,x 2 [a,b] 2 2 x 1 x 2 Uwaga 2.93. Jeżeli w powyższych definicjach mamy nierówności słabe to dostajemy pojęcia wypukłości i wklęsłości słabych. Twierdzenie 2.94. Niech f : [a, b] R będzie dwukrotnie różniczkowalna na [a, b]. Wtedy 1) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) = 0 to jest liniowa na [a, b], 2) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) > 0 to jest wypukła na [a, b], 3) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) < 0 to jest wklęsła na [a, b], Definicja 2.95. Funkcja f : [a, b] R, ciągła w punkcie x 0 (a, b) ma w punkcie x 0 punkt przegięcia gdy funkcja jest wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x 0 oraz jest wklęsła w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x 0 lub odwrotnie. Inaczej mówiąc punkt przegięcia to punkt zmiany wypukłości. Twierdzenie 2.96 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia). Jeżeli funkcja f posiada w punkcie x 0 punkt przegięcia, oraz jest dwukrotnie różniczkowalna w tym punkcie to f (x 0 ) = 0. Uwaga 2.97. Funkcja może mieć punkt przegięcia w punkcie w którym druga pochodna nie istnieje. Przykładem może być funkcja = x x. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 39 Created by LATEX: 20 kwietnia 2015-12:32

Twierdzenie 2.98 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f : [a, b] R jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz istnieje punkt x 0 taki, że f (x 0 ) = 0 oraz f (x) zmienia znak w punkcie x 0 to funkcja posiada w punkcie x 0 punkt przegięcia. Twierdzenie 2.99 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f : [a, b] R jest trzykrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz istnieje punkt x 0 taki, że f (x 0 ) = 0 oraz f (x 0 ) 0 to w x 0 jest punkt przegięcia. Przykład 2.100. Funkcja = x 4 jest różniczkowalna i f (0) = 0 ale w x 0 = 0 funkcja nie posiada punktu przegięcia. Przebieg zmienności funkcji Elementy składające się na przebieg zmienności funkcji: 1) Dziedzina funkcji, 2) Punkty przecięcia z osiami, 3) Parzystość, nieparzystość, okresowość, 4) Asymptoty i granice na krańcach dziedziny, 5) Ciągłość, 6) Monotoniczność i ekstrema (pochodna funkcji i dziedzina pochodnej) 7) Wypukłość i punkty przegięcia (druga pochodna funkcji i dziedzina drugiej pochodnej) 8) Tabela przebiegu zmienności, 9) Wykres. Przykład 2.101. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcji 1) = 3 x2 2 x, 2) = 3 x 2 x. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 40 Created by LATEX: 20 kwietnia 2015-12:32