Metody numeryczne I Równania nieliniowe
|
|
- Zbigniew Krajewski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66
2 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem Metoda bisekcji Regula falsi i metoda siecznych Metoda Newtona Rząd metod przybliżonego obliczania pierwiastków 2. Pierwiastki wielokrotne 3. Równania algebraiczne Liczba pierwiastków rzeczywistych Lokalizacja pierwiastków rzeczywistych 4. Układy równań nieliniowych Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.2/66
3 Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem Szukamy przybliżonych rozwiązań równania - funkcja ciągła na pewnym przedziale Definicja Jeżeli w rozważanym przedziale równanie funkcja ma tylko jeden pierwiastek przedziałem izolacji pierwiastka, to przedział ten nazywamy Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.3/66
4 f(x) x Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.4/66
5 Metoda bisekcji Zakładamy, że funkcja 1. jest ciągła na przedziale, 2. spełnia warunek, 3. posiada w przedziale równania tylko jeden pierwiastek Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.5/66
6 f(x) m k+1 a k 1 m k b k 1 x (a,b ) k k (a,b ) k 1 k 1 Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.6/66
7 w Wyznaczamy ciąg następujący sposób:, 1. znajdujemy środek przedziału znaleźliśmy pierwiastek, to 2. jeśli 3. jeśli jeśli jeśli Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.7/66
8 po krokach otrzymamy przedział o długości wartość przybliżona pierwiastka Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.8/66
9 Zalety: Wady: prostota kontynuujac podziały odpowiednio długo otrzymamy ZAWSZE wynik z żądaną dokładnościa po każdym podziale zyskujemy jedną dokładną cyfrę dwójkową (wolna zbieżność) jedną cyfrę dziesiętną zyskuje się średnio co 3,3 kroków Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.9/66
10 Regula falsi Zakładamy, że funkcja 1. jest ciągła na przedziale, 2. spełnia warunek, 3. posiada w przedziale pojedynczy 4. jest klasy mają stały znak w równania tylko jeden pierwiastek, przy czym jej pierwsza i druga pochodna Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.10/66
11 f(x) f (x)<0 f(x) f (x)>0 f (x)>0 f (x)>0 0 a b x 0 a b x f(x) f (x)<0 f(x) f (x)<0 f (x)>0 b 0 0 a x a f (x)<0 b x Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.11/66
12 Niech i f(x) f(b) B 0 a x x 1 2 b x f(x ) 1 C D f(a) A Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.12/66
13 Równanie cięciwy : Stąd wynika W przypadku ogólnym (o ile wcześniej nie trafimy w pierwiastek): Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.13/66
14 Ciąg jest rosnący i ograniczony z góry jest zbieżny Niech Z równania rekurencyjnego wynika ciąg jest zbieżny do pierwiastka równania Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.14/66
15 Z twierdzenia Lagrange a o przyrostach, wynika Ze wzoru rekurencyjnego otrzymamy Z twierdzenia Lagrange a Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.15/66
16 : Dodajemy obustronnie W niewielkim otoczeniu pierwiastka Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.16/66
17 Własności metody: zbieżna dla funkcji ciągłej na, jeśli spełniony jest warunek pierwiastka jest ograniczona i różna od zera w otoczeniu jeśli którym ma stały znak w jest punktem stałym iteracji, to ten punkt skrajny, w wolna zbieżność Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.17/66
18 Metoda siecznych Zakładamy, że funkcja 1. jest ciągła na przedziale 2. spełnia warunek 3. posiada w przedziale pojedynczy 4. jest klasy mają stały znak w równania tylko jeden pierwiastek, przy czym jej pierwsza i druga pochodna Natomiast nie wymagamy, aby funkcja miała w punktach wytyczających następną cięciwę różne znaki Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.18/66
19 f(x) a b x x 1 0 obowiązuje! dla pierwszej cięciwy warunek Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.19/66
20 Własności: zbieżność na ogół szybsza niż dla regula falsi gdy jest tego samego rzędu, co oszacowanie błędu, następne przybliżenie może już być błędne gdy początkowe przybliżenia nie leżą dostatecznie blisko pierwiastka, metoda może nie być zbieżna jeżeli w trakcie obliczeń odległości między kolejnymi przybliżeniami zaczynają wzrastać, należy je przerwać i zawężyć przedział izolacji Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.20/66
21 Przykład Chcemy znaleźć dodatni pierwiastek równania 5 f(x) x Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.21/66
22 Z wykresu funkcji wynika, że przedziałem izolacji pierwiastka dodatniego jest np. obie pochodne są dodatnie w tym przedziale Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.22/66
23 Regula falsi Metoda siecznych , , , , , , , ,00615 Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.23/66
24 Metoda Newtona Ponownie zakładamy, że funkcja 1. jest ciągła na przedziale 2. spełnia warunek 3. posiada w przedziale pojedynczy 4. jest klasy mają stały znak w równania tylko jeden pierwiastek, przy czym jej pierwsza i druga pochodna Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.24/66
25 f(x) f(b) B f(x ) 1 0 a x 2 C x 1 b x f(a) A styczną do wykresu prowadzimy od końca przedziału, w którym Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.25/66
26 Z równania stycznej otrzymamy Stąd Jeśli i, to Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.26/66
27 Ze wzoru Taylora wynika czyli leży rzeczywiście bliżej niż ciąg generowany przez wzór Newtona jest malejący i ograniczony przez ciąg ten jest zbieżny Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.27/66
28 Niech ciąg jest zbieżny do Ponieważ więc Ze wzorów Taylora i Newtona wynika Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.28/66
29 Stąd Dla dostatecznie bliskich Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.29/66
30 -4 24 Przykład 5, , , ,00095 Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.30/66 3 0, , ,000008
31 Twierdzenie Jeżeli mamy przedział taki, że: (i) i mają przeciwne znaki, (ii) jest ciągła i nie zmienia znaku na, (iii) styczne do krzywej odciętych, i przecinają oś poprowadzone w punktach o wewnątrz przedziału wówczas równanie w przedziale dowolnego punktu startowego ma dokładnie jeden pierwiastek i metoda Newtona jest zbieżna do. dla Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.31/66
32 Przykład Obliczanie pierwiastka kwadratowego z liczby dodatniej : Ze wzoru Newtona otrzymujemy (dla ): metoda zawsze zbieżna w przedziale takim, że Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.32/66
33 Rzad metod przybliżonego obliczania pierwiastków Definicja Mówimy, że metoda jest rzędu, jeżeli istnieje stała taka, że dla dwu kolejnych przybliżeń nierówność i zachodzi Metoda Rząd bisekcji 1 regula falsi 1 siecznych Newtona 2 Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.33/66
34 Pierwiastki wielokrotne Definicja Liczbę równania nazywamy krotnym pierwiastkiem, jeżeli Krotności nieparzyste: warunek spełniony można stosować wszystkie metody rząd metody Newtona i siecznych obniża się Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.34/66
35 Krotności parzyste: warunek nie jest spełniony można stosować metodę Newtona, jeśli tylko istnieje odpowiednie lewo- lub prawostronne sąsiedztwo szukanego pierwiastka, w którym znak rząd metody obniża się i pozostaje stały Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.35/66
36 Jeżeli krotność pierwiastka jest znana, metodę Newtona można zmodyfikować w sposób następujący: Jeżeli krotność nie jest znana, zakładamy, że pochodną ciągłą w otoczeniu pierwiastka ma tą o krotności : Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.36/66
37 Ze wzoru Taylora wynika i leżą w przedziale między i przy czym Niech ma pierwiastek pojedynczy równanie Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.37/66
38 Metoda Newtona: Metoda siecznych: Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.38/66
39 Równania algebraiczne równanie ma dokładnie pierwiastków jeśli współczynniki,,..., są rzeczywiste, to ewentualne pierwiastki zespolone występuja w parach sprzężonych Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.39/66
40 Liczba pierwiastków rzeczywistych Definicja Ciąg,,..., rzeczywistych nazywamy ciągiem Sturma, jeśli wielomianów 1. ma tylko pojedyncze zera 2. dla wszystkich rzeczywistych zer wielomianu 3. dla jeśli jest zerem rzeczywistym wielomianu 4. ostatni wielomian nie zmienia swojego znaku Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.40/66
41 Algorytm Euklidesa: : dowolne stałe dodatnie dla wygody najlepiej jest je dobierać tak, aby wielomian miał całkowite współczynniki Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.41/66
42 Stopień wielomianów maleje z ciąg przerywa się najpóźniej po ) krokach ( - stopnień wielomianów jest największym wspólnym podzielnikiem i ma tylko zera pojedyncze jest stałą różną od zera spełniony jest warunek 4 definicji ciągu Sturma Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.42/66
43 Jeśli, to Gdyby, to musiałoby być również sprzeczność z spełniony jest warunek 3 definicji ciągu Sturma Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.43/66
44 Twierdzenie (Sturma) Liczba rzeczywistych zer wielomianu w przedziale jest równa przy czym Sturma,... jest liczbą zmian znaku, w punkcie., w ciągu Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.44/66
45 Przykład Chcemy określić liczbę pierwiastków rzeczywistych równania Budujemy ciąg Sturma: Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.45/66
46 równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.46/66
47 Twierdzenie Sturma pozwala ściśle określić liczbę zer rzeczywistych w dowolnym zadanym przedziale, ale... wymaga ono uciążliwych rachunków Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.47/66
48 Niech - ciąg pochodnych wielomianu - liczba zmian znaku w tym ciągu Twierdzenie (Fouriera) Jeżeli określonym w przedziale oraz wielomianu w tym przedziale wynosi jest wielomianem stopnia, to liczba zer lub jest od tej liczby mniejsza o liczbę parzystą. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.48/66
49 Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.49/66 Przykład Tworzymy ciąg pochodnych:
50 równanie ma jeden lub trzy pierwiastki rzeczywiste Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.50/66
51 Ponadto równanie ma trzy pierwiastki, po jednym w każdym z przedziałów, i Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.51/66
52 Lokalizacja zer rzeczywistych Twierdzenie Niech wielomianu będzie kresem górnym dodatnich zer. Jeżeli wprowadzimy równania pomocnicze dla których kresy górne zer dodatnich są odpowiednio równe i, to wszystkie dodatnie zera wielomianu leżały w przedziale będą, a wszystkie zera ujemne w, przedziale. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.52/66
53 Twierdzenie (Lagrange a) Niech i ( pierwszym ujemnym współczynnikiem wielomianu ) będzie Wszystkie dodatnie zera tego wielomianu są mniejsze niż gdzie oznacza maksimum modułu ujemnych współczynników wielomianu. Jeżeli wszystkie współczynniki są nieujemne, to wielomian nie posiada zer dodatnich. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.53/66
54 Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.54/66 Przykład Pierwszy ujemny współczynnik to Stąd
55 Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.55/66 dodatnie zera leżą w przedziale ujemne w przedziale
56 Układy równań nieliniowych Szukamy rozwiązań równania przy czym W szczególnym przypadku uzyskujemy układ równań liniowych Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.56/66
57 Ogólne metody iteracyjne Definicja Metodę iteracyjną nazywamy metodą stacjonarną punktową, jeżeli dla ciągu punktów zbieżnego do rozwiązania układu można wskazać odwzorowanie takie, że Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.57/66
58 Definicja Niech. Punkt nazywamy punktem przyciągania metody iteracyjnej, jeżeli istnieje takie otoczenie,...,,..., zbieżny do tego punktu, że obierając punkty z tego otoczenia uzyskamy ciąg punktów., Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.58/66
59 Definicja Odwzorowanie różniczkowalnym w sensie Frécheta w punkcie taka macierz, że nazywamy, jeżeli istnieje przy dowolnym sposobie wyboru wektorów nazywamy pochodna Frécheta odwzorowania oznaczamy ją przez.. Macierz w punkcie i Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.59/66
60 Twierdzenie Jeżeli pochodna Frécheta odwzorowania w punkcie oraz przyciągania metody iteracyjnej ma promień spektralny, to jest punktem. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.60/66
61 Metoda Newtona Twierdzenie Niech Frécheta w pewnym otoczeniu. Załóżmy, że jest nieosobliwe. Wówczas iteracyjnej Newtona, będzie różniczkowalne w sensie punktu jest ciągłe w punkcie Ponadto, jeżeli ciągłość pochodnej w punkcie Höldera, tzn., w którym, a jest punktem przyciągania metody jest typu to Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.61/66
62 Własności: wymaga silnych założeń dotyczących funkcji szybka zbieżność lokalna dla dużych uciążliwe obliczanie pochodnych staje się Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.62/66
63 Metoda siecznych przybliżamy odwzorowaniem afinicznym tak, aby przyjmujemy za przybliżenie układu równań rozwiązanie liniowego Niech - macierz o kolumnach,..., - macierz o kolumnach,..., Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.63/66
64 Rozwiązaniem układu równań będzie punkt punktowa metoda siecznych: 1. wybieramy,,..., ; kładziemy 2. obliczamy oraz przyjmując Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.64/66
65 3. wyznaczamy ze wzoru 4. zwiększamy o jeden i wracamy do kroku 2 Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.65/66
66 metodę można stosować, jeśli macierz osobliwa nie jest jeśli punktów jest osobliwa, konieczny jest inny wybór, np. według wzoru gdzie jest pewną stałą, a to wektory przestrzeni Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.66/66
Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoZagadnienia - równania nieliniowe
Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.
Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoWybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych
Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Numeryczne
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoKubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)
Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoWyznaczanie miejsc zerowych funkcji
Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Piotr Modliński 6 października 010 Spis treści 1 Wstęp 1 Metody iteracyjne 1.1 Zbieżność metody............ Lokalizacja zer.............3 Metody odnajdywania zer.......3.1
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
7. Równania nieliniowe (non-linear equations) Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Dawid Prokopek
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Równania nieliniowe Równania nieliniowe W tych równaniach jedna lub więcej zmiennych występuje nieliniowo, np równanie Keplera x a sin x = b. Zajmiemy się teraz lokalizacją pierwiastków
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoPRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoRys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 5. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy Wykład 5 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji Algorytm Euklidesa Liczby pierwsze i złożone Metody
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoWyznaczanie miejsc zerowych funkcji
Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Piotr Modliński 31 października 010 Spis treści 1 Wstęp 1 Metody iteracyjne 1.1 Zbieżność metody............ Lokalizacja zer.............3 Metody odnajdywania zer.......3.1
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoLab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur.
Języki i paradygmaty programowania 1 studia stacjonarne 2018/19 Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur. 1. Identyfikator funkcji,
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoWstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Procedury wyższych rzędów 1 Procedury wyższych rzędów jako abstrakcje konstrukcji programistycznych Intuicje Procedury wyższych rzędów
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski
Równania nieliniowe LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. funkcja fplot fplot ( f, granice ) fplot ( f, granice, n, linia, tol ) [ x, y ] = fplot ( )» fplot ( sin(x*x)/x, [ 0 4*pi ] )» fplot ( sin(x*x)/x,
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005
kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowo