Płaska fala monochromatyczna

Transkrypt

1 Płaska fala onochroatcna Fala płaska propagująca się w owoln kierunku s Σ P s s Σ - fragent coła fali płaskiej propagującej się w kierunku efiniowan pre wersor s O r,, prawoskrętn ukła współręnch kartejańskich pocątkie ukłau w punkcie O r wektor położenia owolnego punktu P coła Σ

2 Płaska fala onochroatcna c O Ale r Σ s P π π k n kn s r s Równoważne równanie falowe s Równanie fali płaskiej la ośroka o współcnniku ałaania n Znak onaca ilocn skalarn V Σ V Σ ep i [( t ks ] V V ep i Σ Σ s roga w kierunku wersora s V Σ stała aplitua na cole Σ Kołowa licba falowa k w ośroku k w próżni [( t k r ] Ilocn skalarn wóch wektorów

3 Σ P s s V Σ V Σ ep i [( t k r ] k - wektor propagacji O k r r Mouł wektora propagacji ( + s s k n s + Wersor k s wnaca kierunek propagacji k π π k n kn Skłaowe wektora r(,, s,, kosinus kierunkowe wersora s pr c ( ( ( s + s + s

4 Kosinus kierunkowe s cosβ β β β s s s cosβ cosβ Wgoniejse jest stosowanie kątów opełniającch

5 Ropatr la prostot falę cołe Σ i wersore s leżąc w płascźnie β k r α Σ s W t prpaku β 9 s cosβ Ponieważ la coła Σ a a ponato +α 9 ( + s+ s kncosβ kn α kn s sin Rokła na cole β więc V V ep( ik n sin ep( i t fali Σ Σ Σ α Ogólne równanie fali w płascźnie, ( V Σ [ ik n( sinα cosα ] ep( i t V Σ ep V Σ stała aplitua na cole Σ

6 Dla owolnie skierowanego wersora s Kąt α jest kąte opełniając o kąta β a α o kąta β O α α s k r i wte la k ( α + α n sin sin Równanie fali płaskiej propagującej się w kierunku wersora s (propagacja fali płaskiej w prestreni V Σ [ ik n( sinα + sinα sinα ] ep( i t V ep

7 Rokła fali onochroatcnej na fale płaskie Prpaek jenowiarow Niech bęie an rokła V( la V( Transforata Fouriera tego rokłau ( V( ep( i jest aplituą haronicnej o kołowej cęstości prestrennej Pojęcie kołowej cęstości prestrennej wprowaone pre analogię o kołowej cęstotliwości la funkcji iennch w casie V(t πν ν T ν T - cęstość prestrenna - okres prestrenn haronicnej

8 Prkła fali płaskiej D: o rokłau intenswności cosinus o superpocji wu fal płaskich

9 Prpaek jenowiarow Z owrotnej transforacji Fouriera ożna napisać V π ( ( ep( i ( ν ep( iπν ν Funkcja V( jest suą haronicnch ( ν ep( iπν V Σ n V( α Σ s o różnch cęstościach prestrennch ν Równanie fali płaskiej la V Σ V Σ V Σ ep π ep i ( ik nsinα nsinα Haronicne są falai płaskii Równanie prestawia rokła pola V( na fale płaskie

10 Prpaek jenowiarow c V Σ V ( ( ν ep( iπν ν n V( α Σ s Z porównania kąt propagacji haronicnej Aplitua skłaowej fali płaskiej, gie V Σ ( ν V ( ep( iπν Rokła na fale płaskie π V Σ V Σ ep i nsinα sinα n ν T ( ν - ługość fali w ośroku o współcnniku ałaania n T okres prestrenn haronicnej

11 Prpaek wuwiarow W płascźnie, an rokła ρ Dla prostot apisu ρ V ( ρ V(, V Transforata Fouriera tego rokłau la wektorowego apisu ( V( ρ ep( iρ ρ jest aplituą haronicnej o kołowej cęstości prestrennej (, Owrotna transforata Fouriera ropisana na skłaowe (, ( ν [ ( ], ν ep πiν +ν νν Funkcja V(, jest suą wuwiarowch haronicnch ( ν, ν ep[ πi( ν + ν ]

12 Porównanie równania haronicnej równanie fali płaskiej Tak jak la jenowiarowego prpaku V ( ν, ν ep[ πi( ν + ν ] [ ik n( sinα + α ] Σep sin aplitua fali V ( ν ν Σ, kąt propagacji haronicnej sinα ν sinα ν - ługość fali w ośroku o współcnniku ałaania n O α α s s kierunek propagacji haronicnej o cęstości prestrennej ν(ν,ν jako fali płaskiej

13 Posuowanie V(t Funkcja ienna w casie t T Wio tej funkcji ( ν Vt ( ep( iπνt t (ν aplitua haronicnej o cęstotliwości ν (ν ouł ν T ν O ν

14 V Σ Posuowanie funkcja ienna w prestreni Prpaek jenowiarow V( α Σ s Ma rokła V( Wio prestrenne tego rokłau Ponieważ ν sinα ν cęstość prestrenna ( ν V ( ep( iπν aplitua fali płaskiej propagującej się po kąte α Rokła V( jest równoważn biorowi fal płaskich propagującch się po różni kątai α

15 Haronicna prestrenna o cęstości prestrennej ν rsunek pogląow T /ν α Kierunek propagacji haronicnej o cęstości ν Kierunek propagacji haronicnej o cęstości -ν (ν

16 Posuowanie Prkła prpaku jenowiarowego ( (ν (α Σ a ν sinα Wio prestrenne ν a ( ν V Π( ep( iπν av sinc( πaν a Σ Σ

17 Prpaek wuwiarow W płascźnie, an rokła V ( ρ V, ( ρ Funkcja V(, jest suą wuwiarowch haronicnch Transforata Fouriera tego rokłau ν, ν V, ep[ iπν + ν ] ( ( ( jest aplituą haronicnej o cęstości prestrennej ν, ν ( ν, ν ep[ πi( ν + ν ] suą fal płaskich o aplituach propagującch się po kątai sinα ν sinα ν α s α

18 Prkła jenowiarowej siatki frakcjnej Periocn biór jenakowch eleentów V( Prkła eleentów Σ stała (okres siatki Zbiór scelin Zbiór eleentów faowch Niech na siatkę paa fala płaska cołe fali Σ Pole V( bepośrenio a siatką jest periocn biore eleentów V Σ T e ( V Σ - aplitua fali T e ( transitancja eleentu

19 Ponieważ T e ( δ( a T ( a fakt periocności ożna apisać jako e - operator splotu ( V T ( V T ( δ( V III( Σ e Σ e Zbiór fal płaskich wnacan pre transforację Fouriera funkcji V( Ale FT ( V( ep( i FT [ V( ] gż FT [ f g] FT [ f] FT [ g] ( V FT [ T ( ] FT δ( δ Σ e ( δ( gie π

20 ( ( ( δ Σ e t V π więc ( ( ( δ Σ e t V gie ( ( [ ] T t e e FT albo jest transforatą Fouriera jenego eleentu a skretn biór fal płaskich ( ( π Σ Σ e e t V t V Ponieważ ( ( a f(a a ( f δ δ którch aplitua jest proporcjonalna o transforat Fouriera t e jenego eleentu la arguentu

21 Kąt α propagacji fali płaskiej n α s sinα T π π π Σ Ostatecnie Σ α - - sinα, ±, ±,... Kierunki propagacji fal płaskich pre siatkę frakcjną Mówi się o ręach frakcjnch

22 s Roważ la prostot siatkę frakcjną jako biór scelin o serokości s Transitancja jenego eleentu Te( ( gż π t e gie funkcja prostokątna (brakująca la.5s ( s la >.5s ( FT [ T ( ] ssinc(.5 s ssinc π e Wio fal płaskich la siatki frakcjnej w postaci bioru scelin s π ( V ( Σ sinc s s V gie ( Σ s s sinc π s

23 Rokła aplitu fal płaskich w ręach la 4s Serokość scelin.5 okresu siatki ( ( sinc(.5π Dla siatki frakcjne jako bioru scelin o serokości s /4 Owrócona faa brak jest ręów ±4, ±8, it Uwaga: skretn rokła fal płaskich tlko la nieograniconej siatki frakcjnej

24 Rokła obciętej fali płaskiej na fale płaskie Σ a Niech fala płaska cołe fali Σ paa na prsłonę o serokości a Σ Za prsłoną a rokła pola V( V ( Wio fal płaskich la obciętej fali ( FT [ V( ] av sinc( a Σ a π Ponieważ sinα ( avσ sinc asinα π sinc asinα albo ( ( α π av gie ( Σ

25 Rokła obciętej fali płaskiej na fale płaskie c Dla a >> nacące wartości aplitu (α achoą la ałch kątów α i wte sin(α α więc π ( α ( sinc aα ( (α Σ α α α Miara kąta robieżności fal płaskich serokość głównego aksiu α a

26 Wpłw ograniconego wiaru siatki frakcjnej na wio fal płaskich Rokła fal płaskich la nieograniconej siatki frakcjnej bł skretn ( V t ( FT δ( Σ gż la (-, e Tera licba eleentów skońcona, więc δ ( a FT FT a ( δ( FT ( FT δ( gż a [ fg] FT [ f] FT [ g] sinc a ( a δ(

27 sin α π π Ponieważ ( + α π + α π Σ e a sin sinc sin t V a Gb a nieogranicon wiar siatki frakcjnej wrażenie a sens tlko la.,..,, sin ± ± α skretn rokła fal płaskich ( ( ( ( δ Σ e a sinc t V a Wpłw ograniconego wiaru siatki frakcjnej c ( ( ( [ ] Σ e a sinc t V a ( ( ( a T a T e e δ więc

28 Wpłw ograniconego wiaru siatki frakcjnej c ( a V Σ t e π sin α + sinc π sin α + a wpłw na aplituę fali płaskiej kstałtu eleentu G a a wartości skońcone, pr c a >> wpłw obcięcia a a rot biór fal płaskich w akresach α sinc a końcone wartości la innch kątów niż Onacając pre b sinα + serokość głównego aksiu funkcji sinc b a b b αcosα α sinα α Każ ręów frakcjnch a inn kąt robieżności α bioru fal płaskich acosα

29 Wpłw ograniconego wiaru siatki frakcjnej c a α α, - - α acosα Kąt robieżności bioru fal płaskich w każ ręie frakcjn jest więks la niejsego wiar siatki a la więksego kąta α wżsego ręu frakcjnego Gb na siatkę paała fala gaussowska wiąki ugięte błb również wiąkai gaussowskii

30 Prkła wia siatki frakcjnej su 8u T3 T( FT( T( ( cob( / ( / s ( / T Ccob [ ( f sinc( sf ] sinc( Tf

31 Wnacenie rokłau pola w prestreni la nieograniconej siatki frakcjnej V M Do punktu M( M, M, gie chce wnacć aplituę espoloną, ocierają wie fale płaskie cołai fal Σ i Σ - ( ( ikr s + V ep ikr V s, ep M, M gie wersor s (, i s -(sinα, cosα V M s - r M α M s Σ Σ - a więc ( ik + V ep[ ik( sinα cosα ] V, ep M, Dla prostot ropatruje tlko wa rę frakcjne i - Dla bioru fal płaskich rokła pola V M V, ep M ( ikr s M M

32 Wnacenie propagacji pola w wolnej prestreni - posuowanie Prpaek jenowiarow V( α V (? Znane V( naleźć V ( Aplitu espolone prestrennch haronicnch (fal płaskich ( V ( ep( i FT [ V ( ] propagującch się po kąte α Ponieważ V' V' sinα ν π ( ( [ ( ] ' ν epik'sinα sin α ( ( [( ] ' ν epi' + k sin α

33 Wnacenie propagacji pola w wolnej prestreni - c V' V' ( ( [( ] ' ν epi' + k sin α ν ( ( ( ' ep ik sin α ep( i' ( [ ( ( ] ' ' π ν ep ik sin V' α gie albo sinα k

34 Wnacenie propagacji pola w wolnej prestreni prpaek jenowiarow biór worów V( V ( ( FT [ V ( ] V' ' ( ' πft ν( ep ik k

35 Wniki obliceń propagacji płaskiej fali Σ pre otwór o serokości a Σ a

36 Funkcja prenosenia la ukłau liniowego Funkcja Prenosenia efiniuje achowanie ssteu la ukłau, któr ofikuje sgnał wejściow jenakowo nieależnie o położenia PSF point sprea function X X h( I ( ' I( ' h( Ukła liniow charakterowan pre PSF: h( point sprea function

37 Funkcja prenosenia la ukłau liniowego Funkcja prenosenia efiniuje w jaki sposób ofikowane są sgnał o anej cęstości pre an ukła X X Definicja funkcji prenosenia H(f H ( f M'( f M( f M(f M (f Funkcja prenosenia jest transforatą Fouriera h( PSF [ ] [ ] I( ' FT I( ' h( FT [ I( ] H( f I( f H( f FT ~

38 Funkcja prenosenia wolnej prestreni la prostot prpaek jenowiarow V( α π π V ( Dla nanego rokłau V( ożna naleźć V ( w oległości suując wsstkie haronicne prestrenne (fale płaskie Dla haronicnej propagującej się po kąte α V h ( ν ep[ ik( sinα + cosα ] gie (ν jest aplituą haronicnej o cęstości prestrennej ν V h pr c ( ν sinα ν ep iπ ν + ν

39 Funkcja prenosenia wolnej prestreni c Jeżeli nie na rokłau pocątkowego operowanie pojęcie funkcji prenosenia Wnioski: la ν t ( ν la Vh V ν (, ( ep πi ν, h < ouł t( ν > tν faa aleje o wartości ep π ν ( k la ν o la ν / haronicne o tch cęstościach są tłuione

40 Fala anikająca eanescent wae s - α Propagacja fali płaskiej po kąte α V Vep [ ik( sinα + cosα ] ep( i t la ręu frakcjnego - sinα Wra e wroste ręu rośnie kąt α i la ostatecnie użego, takiego że < bęie sinα > Co to onaca?

41 Fala anikająca c s - V [ ik( sinα + cosα ] ep( i t Vep α Ponieważ sinα >Nie oże ówić o kątach V Ale cosα i ν pr c ν > sinα ν fenoenologicn wbór naku inus Vep k ν ep aplitua fali [( itkν ] Fala silnie tłuiona Praktcnie suuje się fale la sinα < t ( ν ep π ν

42 Wnacenie propagacji pola w wolnej prestreni frakcja Fresnela prpaek jenowiarow biór worów V( α V ( Kąt α ałe i ał sinα k i wte ( FT [ V ( ].5 k k V' '.5 ( ' πep( ik FT ν( ep i π V'( ' ( ik FT ep ik V( ep ( ' i ± i f a a [ ] ± iπa ep iπ

43 Wnacenie propagacji pola w wolnej prestreni frakcja Fresnela c. V'( ' ( ik ep ik V( ep ( ' i Dfrakcja Fresnela - postać splotowa V '( ' V( h( ' gie ( ik ep h( ik ep i Dfrakcja Fresnela etoa Transforat Fouriera V'( ' ( ik ep ik ik ik ep ' V( ep ep ' i

44 Wnacenie rokłau w aleki polu frakcja Fraunhofer a V'( ' ( ik ep ik ik ik ep ' V( ep ep ' i V'( ' I( ' Dla użego k >> a( ( ik Otruje rokła aplituow pola ep ik ik ep ' V( ep ' i Otruje rokła intenswności pola ( ep ik V [ V( ] I( ' FT ' Gie cęstości f

45 Wajność sinusoialnch siatek Dfrakcjnch w Siatka ouluje aplituę albo faę wiąki Transitancja siatki aplituowej t A (, + cos(πf Transitancja siatki faowej rect( w rect( w t f (, ep j sin(πf rect( w rect( w

46 Wajność siatki aplituowej ( ( cos(, ( A w rect w rect f t + π [ ] ( ( [ ] ( sinc ( sinc sinc sinc, ( f f w f f w wf wf C t FT A ( sin 4 ( sin 4 sin sin, ( f u w c f u w c wu c w c f A u I Transforata Fouriera rokłau siatki Rokła intenswności w polu Frounhofera

47 Wajność siatki aplituowej Rokła intenswności w polu Frounhofera ( sin 4 ( sin 4 sin sin, ( f u w c f u w c wu c w c f A u I Wajność frakcjna anego ręu: stosunek energii skierowanej o anego ręu oniesionej o energii całkowitej 6.5 η + η η Maksalna ilość energii la kontrastu -,+ to 6.5% Rokła pola Frounhofera la siatki aplituowej sinusoialnej

48 Wajność siatki faowej t f (, ep j sin(πf rect( w rect( w Transforata Fouriera rokłau siatki I( u, A J q sinc q ( wf sinc[ w( f qf ] Rokła intenswności w polu Frounhofera I ( q A u, J f q sinc w w sinc ( uqf

49 I A u, J f q Wajność siatki faowej Rokła intenswności w polu Frounhofera ( q sinc w w sinc ( uqf Wajność frakcjna: η q J q ( / J q (/ (b.8 q.6 (a.4 q q. / Wajność frakcjna la trech wart. q Rokła pola Frounhofera la siatki faowej sinusoialnej Maalna wajność frakcjna ręu +- wnosi 33.8% (3.8

50 Cienkosocewkowa analia ukłaów optcnch (TEA thin eleent approiation Płascna sgnału wejściowego Płascn pośrenie Płascna sgnału wjściowa Wolna prestreń Wolna prestreń Wolna prestreń Optka refrakcjna Optka frakcjna

51 Analia cienkich ukłaów optcnch (TEA - thin eleent approiation Eleent cienki jako eleent transforując faę pola optcnego U (, U' (, - (, Ziana fa powoowana pre prejście pre eleent cienki (, φ(, kn (, + k( (, Dlatego wpłw eleentu cienkiego na pole optcne ożna apisać a poocą funkcji faowej: T TEA (, ep{ ik }ep{ ik( n (, } Stą rokła pola a eleente jest wrażon U '(, T TEA (, U(,

52 3 R R (, R R (, R R, (, (, (, ( Grubość socewki poielona na tr eleent (, ( R R R R Gie ( , ( R R R R Analia cienkich ukłaów optcnch - socewka

53 3, ( R R R R Zależność na funkcję grubości socewki Analia cienkich ukłaów optcnch - socewka Stosując prbliżenie prosiowe R R + Zależność na funkcję grubości socewki la prb. prosiowego +, ( R R Dlatego stosując ależność onosącą się o anali ukłaów cienkich otruje } ( }ep{ ep{, ( + + R R n jk ikn T TEA Wprowaź + ( R R n f ogniskową socewki

54 Analia cienkich ukłaów optcnch - socewka Końcowa ależność na transitancję socewki wnosi k T TEA (, ep{ i ( + f } Efekt socewki bieżnej i robieżnej na falę płaską* * J. Gooan: Introuction to Fourier Optics

55 Wiąka oświetlająca Optcne pretwaranie inforacji realiacja (, U I ( optcnej transforat Fouriera Płascna socewki (u u, Płascna wjściowa (, f f rokła pola pre socewką pre socewką la prbliżenia prosiowego (frakcja Fresnela ( ikf ep ik ik ik U( u ep u UI( ep ep u if f f f Rokła pola a socewką ( ikf ik ik ep U( u UI( ep ep u if f f

56 Optcna transforata Fouriera Rokła pola a socewką ik ik U( u c UI( ep ep u f f gie c ep if ( ikf Rokła pola w płascźnie wjściowej U( ' Dlatego ik ik ik cep ' U( uep u ep u' u f f f ik ik ik U( ' c ep ' UI( ep ep u f f f ik ik ep u ep u' u f f Ale całkując po u ik ep f u ep ik f u( + ' u iπ ep u f + ' ep πiu u f

57 iπ ep u f Z tablic transforat Gie f [ f, f] Dlatego iπ ep u f U( ' Optcna transforata Fouriera + ' ep πiu u f FT f ep iπ a [ ] ep{ iπ( a } a otruje + ' ep πiu u f f ( ' + ep iπ f ( ' ik ik + fc ep ' UI( ep ep iπ f f f Co aje wrażenie na optcną transforację Fouriera U( ' ( ikf ' UI( ep iπ ep f f