Różne reżimy dyfrakcji

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Różne reżimy dyfrakcji"

Aleksandra Antczak
4 lat temu
Przeglądów:

1 Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne

2 Różne reżimy dyfrakcji Pole dalekie (płaskie fronty falowe) d λ Pole bliskie (parabolicznee fronty falowe) Pole ewanescentne (fala powierzchniowa) d <λ d λ - elementy dyfrakcyjne - kryształy fotoniczne, (DOE), siatki dyfrakcyjne, DBR, siatki odbiciowe hologramy - dyfrakcja fal ewanescentnych - nadzwyczajna transmisja - plazmonika Dyfr. Fraunhofera, Dyfr. Fresnela, Dyfr. Rayleigha-Sommerfelda, Równ. Maxwella Opis skalarny Opis wektorowy

3 Przykłady numerycznego wyznaczania dyfrakcji w polu dalekim Dyfrakcja Fraunhofera: i k0 n z E (v t ', z)= vt ' = e rt ' z/n i π λ z v t ' / n e i λ z/ n E( r t, z=0) exp ( π i r t v t ' ) d r t

4 Dyskretna transformata Fouriera Ciągła transformata Fouriera: v ' h r exp i r v d r h Dyskretyzacja (przyp. 1-wymiarowy): h l mod N =h l x k v = h h =h k mod N Dyskretna transformata Fouriera : Zapis w postaci sumy: h^k l =0 Szybka transformata Fouriera (FFT): F h Zapis macierzowy: h= F= F1 F F lg N N 1 k x N v= 1 N r h l exp ( π i k l / N ) [ F ]k, l exp i k n / N Fi są macierzami rzadkimi (po N elementów) Liczba mnożeń: N N lg N

5 Dyskretna transformata Fouriera Ciągła transformata Fouriera: v ' h r exp i r v d r h Dyskretna transformata Fouriera : Zapis w postaci sumy: h k Δ r Δ v =N 1 Gęstości próbkowania obrazu i widma N 1 l=0 h l exp i k l / N (N Δ r ) (N Δ v)= N Szerokości obrazu i widma

6 Tw. o przesunięciu Apertura kołowa Rozkład natężenia w polu dalekim Szum numeryczny związany z dyskretyzacją (zaburzona symetria obrotowa!) circ(r) J 1 ( π v )/ v f (r r 0 ) exp( π ir 0 v ) F (v )

7 Tw. o przesunięciu Apertura Pole dalekie część rzeczywista

8 Tw. o przesunięciu dla dyskretnej T.F. Apertura Pole dalekie natężenie

9 Tw. o skalowaniu Apertura Rozkład natężenia w polu dalekim f r/ s s n F s v f x / sx,y /sy sx sy F sx v x,sy v y

10 Tw. o skalowaniu (jeden wymiar) Apertura Rozkład natężenia w polu dalekim f x / sx,y / sy sx sy F sx v x,sy v y

11 Symetria Apertura Rozkład natężenia w polu dalekim - T.F. Funkcji rzeczywistej jest hermitowska (rozkład natężenia ma symetrię środkową ) f r ℝ F v =F v - obrót apertury obraca obraz dyfrakcyjny - wąsy (wysokie cz. przestrzenne) w kierunku prostopadłym do brzegów apertury

13 Tw. o splocie Apertura Kształt piksela Rozkład natężenia w polu dalekim f r =f 1 r f r = f 1 r ' f r r ' d r ' F v =F1 v F v Kształt obwiedni

14 DOE znaczenie kształtu pikseli f 1 r = r r0 r r0 f r =rect x rect y f r =circ r Apertura Kształt piksela Rozkład natężenia w polu dalekim i v r 0 i v r 0 F 1 v =e e =cos v r0 F x,y =sinc x sinc y sin x sin y = x y F v = F v =F 1 v F v J 1 v v

15 Siatka sinusoidalna f 1 r =cos r v 0 f r =rect x rect y f r =circ r Kształt apertury Funkcja rozmycia F 1 v = v v 0 v v 0 F x,y =sinc x sinc y F v = F v =F 1 v F v J 1 v v

16 Rodzaje siatek dyfrakcyjnych f r =exp i r v 0 f r =cos r v 0 Binarna fazowa Binarna Sinusoidalna Fazowa f r =H cos r v 0 f r =sgn cos r v 0 f r = an exp i nr v 0 n= v 0 =1/ F v = v v 0 F v = v v 0 v v 0 F v = an v v 0 n= +

17 Gęstość próbkowania i nachodzenie widma (ang. aliasing) x'= x Apertura 18x18 x N ' /N 51x51 x ' = x 51x51 Gęstsze próbkowanie zanurzenie w macierzy zer Szerszy zakres widma Gęstsze próbkowanie widma Rozkład natężenia w polu dalekim Aliasing! Aliasing! v= 1 N x v ' = v v '= v N ' /N

18 Elementy dyfrakcyjne - idea d1 Wiązka padająca DOE (diffractive optical element) d t(x, y ) U i (x, y ) Oczekiwany obraz dyfrakcyjny Transmitancja amplitudowa cienkiego elementu dyfrakcyjnego U o (x, y ) Projektowanie (duże uproszczenie): U i (x, y ) d1 U 'i ( x, y ) U o '( x, y) t(x, y ) d U o (x, y ) Uo ' = A(x, y ) exp(i k0 (n 1) d(x, y )) U i'

19 Związek dyfrakcji z filtracją liniową podejście oparte na filtracji widma przestrzennego 1. Rozkład pola na częstości przestrzenne: k, z=0 = d r E r, z=0 exp i k r E t t t t t. Filtracja przestrzenna k, z=d = E k, z=0 h k E t t d t h z =exp i z k 0 n k x k y 3. Rekonstrukcja pola E r t, z=d d k t E k t, z=d exp i k t r t

20 Związek dyfrakcji z filtracją liniową podejście oparte na obliczaniu całek splotowych Odpowiedź impulsowa przestrzeni swobodnej w przybliżeniu Fresnela: [ ] exp i k 0 n z r t h z r t = exp i z/n i z/ n Obraz dyfrakcyjny otrzymujemy obliczając splot pola w płaszczyźnie wejściowej z odpowiedzią impulsową przestrzeni: E ( r t ', z )= E( r t, z=0) h z ( r t ' r t ) d r t

21 Związek dyfrakcji z przekształceniem Fouriera podejście wykorzystujące transformatę Fouriera do wyznaczenia obrazu dyfrakcyjnego Dyfrakcja Fresnela: E vt ', z = e i k0 n z e i z /n vt ' i z/ n [ E r t, z=0 exp ] r t i z/n exp i r t vt ' d rt Dyfrakcja Fraunhofera: E (v t ', z)= vt ' = i k0 n z e i π λ z / n vt ' e i λ z /n E (r t, z=0) exp ( π i rt v t ' ) d r t rt' λ z/n Warunek stosowalności przybliżenia Fraunhofera: N F = r t / z 1 + N F n r t / 4z 1

22 Cienkie elementy DOE - idea d1 U i (x, y ) DOE (diffractive optical element) t(x, y ) t(x, y ) Problemy: d U o (x, y ) Uo ' = A(x, y ) exp(i k0 (n 1) d(x, y )) U i' - zależność t(x,y) od długości fali - zakres wartości t(x,y) oraz osobliwości i nieciągłości fazy - dyspersja transmitancji niebinarnych DOE - ograniczona dziedzina kodowania - ograniczona rozdzielczość i apertura - ograniczona liczba stopni swobody (liczba pikseli) - znaczenie kształtu i regularnego ułożenia pikseli - dowolność rozkładu fazy w obrazie (niejednoznaczność definicji) - symetria odpowiedzi impulsowej np. dla kodowania amplitudowego -ograniczenia modelu polaryzacja, częściowa koherencja, uproszczony obraz wpływu elementu na zmianę kształtu frontu falowego

23 IFTA algorytm iterowanej transformaty Fouriera (wersja algorytmu Gerchberga & Saxtona) Element DOE Obraz dyfrakcyjny

Podobne dokumenty

Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja)

Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja) Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne Propagacja