Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a

Transkrypt

1 Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W tch worach onaca moduł sprężstości podłużnej moduł Younga moduł sprężstości poprecnej moduł Kirchoffa aś współcnnik Poissona ZADANI Wewnątr nieodkstałcanego seścianu o krawędi umiescon jest odkstałcan prostopadłościan wkonan jednorodnego materiału o danch parametrach i Na podstawach prostopadłościanu prłożono równomierne ciśnienie Zakłada się że tarcie o ścianki nie wstępuje Obicć naprężenia na płascnach nieodkstałcanego seścianu ora mianę objętości wewnętrnego prostopadłościanu nieodkstałcan seścian / / odkstałcan prostopadłościan Rowiąanie Zewnętrn seścian jest nieskońcenie stwn atem wdłużenia wewnętrnego prostopadłościanu w kierunku i są równe eru Stan odkstałcenia jest jednorodn

2 Podstawiam do worów a: ] ] Wewnętrn prostopadłościan jest ściskan ciśnieniem atem naprężenie Podstawiając ten wiąek do równań otrmujem: Odkstałcenie objętościowe wgędn prrost objętości wraża się worem: ϑ Wrażając odkstałcenia pre naprężenia a pomocą worów a otrmujem: K Ε Ε ϑ ; K gdie wiekość K jest modułem ściśiwości Hemhota Zauważm że jeżei / to K co onaca że materiał jest nieściśiw brak mian objętości Da mam min / K K a materiał taki nawam ideanie ściśiwm najwięksa miana objętości Obicam: ϑ Odpowiedź Naprężenia w prostopadłościanie wnosą: ściskanie Zmiana objętości prostopadłościanu pod wpłwem prłożonego obciążenia wnosi: ϑ ubtek objętości

3 ZADANI Stan odkstałcenia w pewnm punkcie ciała jest okreśon następująco: Obicć składowe stanu naprężenia jeśi stałe sprężstości da iotropowego iniowosprężstego materiału wnosą: Pa 6 Rowiąanie Składowe stanu naprężenia najdujem równania wiążącego naprężenia i odkstałcenia uogónionego prawa Hooke a które w apisie wskaźnikowm i konwencji sumacjnej ma postać: gdie µ ora λ są stałmi Lame go: ora kk µ λ ij µ Podstawiam dane icbowe Obicam stałe Lamego: ij kk δ ij λ da i j δ ij deta Kroneckera da i j Pa Pa µ 877 Pa λ Pa 6 a następnie składowe stanu naprężenia: 877 kpa kpa kpa λ 877 kpa kpa 6 kpa λ 877 kpa kpa kpa λ 877 kpa 8 kpa 877 kpa 877 kpa Uwaga: składowe stanu naprężenia można również obicć korstając e worów b Odpowiedź: Stan naprężenia w punkcie jest okreśon następująco: kpa]

4 ZADANI Cienka kwadratowa tarca pokaana na rsunku wkonana materiału sprężstego jest rociągana w dwóch kierunkach tak że mam i Znane są też odkstałcenia - i 9 - Ie wnosi ora da materiału tarc? Jakie powstanie odkstałcenie postaciowe jeśi wwołam naprężenia stcne 8? Y X Rowiąanie W tarc wstępuje płaski stan naprężenia Odkstałcenia i wrażają się worami: ] ] 9 Dieąc stronami powżse wrażenia i podstawiając wartości icbowe otrmujem: Podstawiając / do równania mam: ; ; 68 Obicam tera moduł Kirchoffa: 68 ora kąt odkstałcenia postaciowego: 8

5 ZADANI Cienką płtkę o wmiarach h umiescono w sceinie o serokości h Prjmuje się że krawędie scein są nieodkstałcane a tarcie nie wstępuje Na bregach swobodnch diała obciążenie które wwołuje naprężenia Powierchnie płtki g g grubość płtki są wone od naprężeń Obicć ora i h Rowiąanie Z warunku podparcia na bregach h / wnika że h h Stan odkstałcenia jest jednorodn Obicam naprężenie : Obicam poostałe odkstałcenia: ] ] ] < ] ] > Ropatrm nase adanie jeśi mienia się temperatura o T pr niemienionch poostałch warunkach sformułowanch w popredniej cęści adania Z warunku podparcia bregów wnika że ] T α α T Poostałe odkstałcenia wnosą: ] α T α T ] α T α T ] ] α T α T α T α T Obicm dodatkowo wgędną mianę objętości płtki Korstam e woru: V ϑ V Datacja wgędna miana objętości uwgędnieniem mian temperatur wnosi: ϑ α T α T α T

6 6 ZADANI Stan naprężenia w pewnm punkcie ciała opisan jest następująco: Parametr materiałowe wnosą: moduł Younga Pa i współcnnik Poissona Zapisać macier podatności materiału ora obicć składowe stanu odkstałcenia w danm punkcie Rowiąanie W trójwmiarowm stanie naprężenia składowe stanu odkstałcenia obicam uogónionego prawa Hooke a które w apisie macierowm ma postać: ub krócej: C gdie C jest macierą podatności będącą odwrotnością macier stwności Podstawiając wartości icbowe otrmujem Pa

7 7 ZADANI 6 Da materiału o parametrach Pa modułu Younga i współcnnik Poissona apisać macier stwności Da składowch stanu odkstałcenia obicć składowe stanu naprężenia Rowiąanie W trójwmiarowm stanie odkstałcenia składowe tensora naprężenia obicam uogónionego prawa Hooke a które w apisie macierowm ma postać: ub krócej: c gdie c jest macierą stwności Podstawiając wartości icbowe otrmujem Pa