J. Szantyr Wykład nr 27 Przepływy w kanałach otwartych I

Transkrypt

1 J. Szantyr Wykład nr 7 Przepływy w kanałach otwartych Przepływy w kanałach otwartych najczęściej wymuszane są działaniem siły grawitacji. Jako wstępny uproszczony przypadek przeanalizujemy spływ warstwy cieczy nielepkiej o grubości h i jednostkowej szerokości po nachylonej płaszczyźnie, pomijając wpływ ścian bocznych kanału. Jest to możliwe przy zaniedbaniu sił tarcia cieczy o powierzchnię kanału. Wprowadzamy dwa układy współrzędnych, układ O x z jest związany z nachyloną płaszczyzną.

2 W tym przypadku równanie zachowania pędu ma postać: p ρg cosα z du ρuh ρghsinα dp h w kierunku w kierunku Z pierwszego otrzymujemy: ρ ( ) α p z x p p + g h z gdzie: - ciśnienie na swobodnej powierzchni du Po wstawieniu do drugiego mamy: ρq ρghsin q u h 1 cos α ρghcosα gdzie: - objętościowe natężenie przepływu w warstwie co prowadzi do: q 1 h ghsinα gh cosα

3 Można to przekształcić do postaci: Widać, że istnieje osobliwość przy wartości ytycznej h równej: q h g cosα gh sinα q 1 cosα cosα Wyrażenie w mianowniku można zapisać w innej formie: Czyli: q u h gh cos α gh cos α sinα Fr 1 cosα 1 Fr u gh cos α ( ) ( ) cosα Fr gdzie spadek niwelacyjny Dla Fr1 mamy prędkość ytyczną: u gh cosα Możliwe przypadki spływu warstwy cieczy można podzielić na podytyczne (Fr<1) czyli ruch spokojny i nadytyczne (Fr>1) czyli ruch rwący.

4 W zależności od rodzaju przepływu inaczej zmienia się grubość warstwy cieczy wzdłuż pochylonej płaszczyzny: Spadek dna Ruch spokojny Ruch rwący Fr <1 Fr > 1 Pochylenie zstępujące Pochylenie wstępujące α > α < Wzrost h > Spadek h < Spadek h < Wzrost h >

5 Analiza równania energii dla przypadku spływu warstwy cieczy o jednostkowej szerokości po nachylonej płaszczyźnie prowadzi do następującej zależności dla tzw. energii właściwej: u q E w + ghcosα + ghcosα h Warunek zachowania energii właściwej: cosα g sinα de d u w + gh Z postaci tej zależności wynika, że dla przepływu o nachyleniu zstępującym energia właściwa zawsze rośnie, a dla przepływu o nachyleniu wstępującym zawsze maleje. Energia właściwa osiąga minimum przy ytycznej grubości warstwy cieczy odpowiadającej Fr1.

6 Laminarny przepływ cieczy rzeczywistej (lepkiej) W takim przypadku możliwe jest uzyskanie rozwiązania analitycznego równania zachowania pędu, które ma postać: u g sinα + υ Warunki brzegowe: u dla: z u z dla: z h Rozwiązanie prowadzi do następujących zależności: 1 g Profil prędkości: u z sinα z h z υ h ~ 1 1 gh sinα Prędkość średnia: u u( z ) dz h υ Prędkość maksymalna: ( ) ( ) 1 gh sinα u u~ max > υ z

7 Wniosek: prędkość przepływu jest proporcjonalna do kwadratu grubości warstwy cieczy, czyli: prędkość przepływu w kanale otwartym rośnie ze wzrostem stopnia napełnienia kanału. Ważność rozwiązania dla przepływu laminarnego jest ograniczona do zaesu wartości liczby Reynoldsa poniżej około, czyli: u h υ max 1 gh sinα < υ h <,74 1 sinα Z powyższego wzoru wynika, że przepływ laminarny w warstwie spływającej po ścianie pionowej wystąpi przy grubościach warstwy mniejszych od,74 [mm], a na ścianie prawie poziomej (nachylonej pod kątem 1 stopnia) przy grubościach mniejszych od,85 [mm]. W rzeczywistych ciekach z reguły występują przepływy turbulentne o w pełni rozwiniętym profilu prędkości.

8 Turbulentny przepływ cieczy rzeczywistej (lepkiej) W przypadku w pełni rozwiniętego przepływu turbulentnego w kanale o stałym nachyleniu parametry przepływu nie zmieniają się wzdłuż strumienia. Energia potencjalna cieczy jest zamieniana na energię wewnętrzną (cieplną) cieczy na skutek działania sił tarcia cieczy o ścianki kanału. Nie ma natomiast zamiany energii potencjalnej na energię kinetyczną płynącej cieczy. Energia właściwa jest stała wzdłuż przepływu. p τ l gs sin p C E w const ρ α τ e e 1 e ρ gdzie: l długość odcinka pomiędzy przeojami 1 i p τ - naprężenia lepkościowe na ściance kanału R H S C - promień hydrauliczny kanału W takiej sytuacji istnieje związek pomiędzy spadkiem niwelacyjnym (który jest równy w tym przypadku spadkowi hydraulicznemu) a naprężeniami lepkościowymi: R H H pτ ρgr H

9 Wyznaczanie oporów tarcia w kanałach Z analizy przepływu w kanale o chropowatych ściankach można wyprowadzić przybliżoną zależność na średnią prędkość przepływu: u~ C g R C H R H [ ] gdzie: C m s - wymiarowy współczynnik, oeślony np. według zależności: C R H n n,9 dla powierzchni gładkich (glazura) n,1 dla rur czystych i wygładzonego betonu n,14 dla ściany z betonu n,18 dla kanału ziemnego z warstwą ilastą n,4 dla kanału ziemnego bardzo źle utrzymanego

10 Przykład 1 Objętościowe natężenie przepływu w prostokątnym kanale betonowym (n,14) o szerokości B4, [m] wynosi Q5, [m**/s]. Obliczyć ytyczne parametry przepływu w tym kanale Warunek przepływu ytycznego ma postać: gh q 1 cosα A B Q g h Q B g 5, 4, 9,81,54 [ m] gdzie A pole przeoju przepływu: Q B h A 5, B Prędkość ytyczna: u, [ m s] Krytyczny spadek hydrauliczny: u C R H h 1 4,,54 1 n R 1 6 H R H u ( R ) H n 4,

11 Przykład Niecałkowicie wypełnionym kołowym kolektorem o promieniu r1,5 [m] płynie grawitacyjnie woda. Kolektor zbudowano z tworzywa sztucznego o chropowatości k,5 [mm] i spadku,4 [promile]. Sporządzić zywą natężenia przepływu i zywą prędkości wody w zależności od poziomu napełnienia kolektora. Przyjąć kinematyczny współczynnik lepkości wody: ν 1, 1 [ m s] 6 Objętościowe natężenie przepływu w niecałkowicie wypełnionym przewodzie obliczyć wg wzoru Darcy ego-weisbacha: Q υ A 8 g R λ A

12 Przy napełnieniu kolektora do głębokości h parametry przepływu są następujące: - pole przeoju poprzecznego strumienia gdzie: ϕ β A π r + a 6 6 ( h r) + a ( h r) ϕ 18 - obwód zwilżony kolektora L π r β arcsin a r cos β h r r - promień hydrauliczny R A L g R - prędkość przepływu υ 8 λ Współczynnik oporu liniowego zależy od chropowatości względnej i liczby Reynoldsa. Można go wyznaczyć metodą kolejnych przybliżeń według poniższego schematu: - zakładamy wartość współczynnika oporu liniowego λ - obliczamy prędkość przepływu wody wg wzoru Darcy ego-weisbacha g R υ 8 λ

13 υ 4 R - obliczamy wartość liczby Reynoldsa Re ν - dla znanej chropowatości względnej k/(4r) i liczby Reynoldsa obliczamy współczynnik λ z zależności Colebrook a White a: ( 4 ) 1,51 k log + R λ Re λ,71 - jeżeli założona wartość współczynnika oporu liniowego nie zgadza się z obliczonym, powyższa procedura jest powtarzana, z przyjęciem wartości obliczonej jako kolejnego założenia Poniżej dla przykładu obliczono natężenie przepływu i prędkość średnią przepływu w kolektorze dla głębokości wody h,8 [m] A ϕ r 6 π + a ( h r) gdzie: h r,8 1,5 sin β,469 β 7,818 a r cos β 1,5 cos 7,818 1,7 r 1,5 [ m]

14 ( 7,818 ),14 ( 1,5) + 1,7 (,8 1,5) 1,51[ m ] 18 + A 6 ϕ 18 + β 18 7,818 L π r π r,14 1,5, A 1,51 R, 465 L,56 [ m] Obliczenie współczynnika oporu liniowego według ww. procedury iteracyjnej daje wynik λ,15. Średnia prędkość przepływu wynosi wobec tego: [ m] υ 8 g R λ 8 9,81,465,4,15,98 [ m s] Objętościowe natężenie przepływu wynosi: Q υ A,98 1,51 1,48 [ m s]

15 Po przeprowadzeniu obliczeń dla wszystkich wybranych wartości głębokości wody wyniki można przedstawić graficznie: