Fotonika. Plan: Wykład 3: Polaryzacja światła

Transkrypt

1 Fotonika Wykład 3: Polaryzacja światła Plan: Równania Maxwella w ośrodku optycznie liniowym Równania Maxwella dla fal monochromatycznych Polaryzacja światła Fala płaska spolaryzowana Polaryzacje liniowe, kołowe i eliptyczne Wektory Jonesa, macierze Jonesa Elementy optyczne zmieniające stan polaryzacji

2

3 Równania Maxwella w materii Prawo Gaussa: Prawo Faraday'a: D= E= B/ t B= Prawo Ampère'a Maxwella: Równanie ciągłości: H= J D/ t ρ J + = t Natężenie pola elektrycznego: E [V /m] Natężenie pola magnetycznego: H [ A/m] Indukcja magnetyczna: B[T ] Indukcja elektryczna: D [C / m2 ] 7 2 Przenikalność magnetyczna próżni: μ =4 π 1 N / A Prędkość światła w próżni: c= m/ s Przenikalność elektryczna próżni: ϵ =1/(μ c 2 ) Definicje pól pomocniczych: D=ϵ E+ P 1 H=μ B M 2 Gęstość prądu: J [ A/ m ] Gęstość ładunku: ρ[ C /m 3 ]

4 Optyka liniowa Równania materiałowe dla ośrodka liniowego bez prądów i ładunków swobodnych: D=ϵ E+ P =ϵ (1+ χ e ) E=ϵ ϵ E H=μ B M=μ (1+ χ m ) B=μ μ B J =σ E (Prawo Ohma) Przewodność elektryczna właściwa: Opór elektryczny właściwy: Podatność magnetyczna: Podatność elektryczna: Względna przenikalność elektryczna: [ 1 m 1 ] r =1 / [ m] m e ϵ Względna przenikalność magnetyczna: 1 Współczynnik załamania: n= ϵ μ

5 Równania Maxwella w ośrodku liniowym Prawo Gaussa: ρ (ϵ E)= ϵ Prawo Faraday'a: E= μ (μ H) t (μ H )= Prawo Ampère'a H=σ E+ ϵ (ϵ E) Maxwella: t Równanie ciągłości: ρ σ E+ = t

6 Równania w zapisie zespolonym Dla wybranej częstości: i ω t U t =Re (U e ) ϵ/ t μ / t σ/ t Równania Maxwella: ρ (ϵ E)= ϵ ρ (ϵ E)= ϵ E= μ (μ H) t (μ H )= H=σ E+ ϵ (ϵ E) t ρ (σ E)+ = t U t / t ±i ωu E=±μ i ω μ H (μ H )= σi H=σ E i ω ϵ ϵ E= i ω ϵ (ϵ±ω ϵ ) E (σ E) i ωρ= ( ) σe ρ i ω ϵ = ϵ

7 Zespolona przenikalność elektryczna Wprowadzamy zespoloną przenikalność elektryczną: e i ω t σi ϵ (ω) ϵ± ω ϵ Ostatecznie otrzymujemy następującą postać równań Maxwella w stanie ustalonym dla ośrodków liniowych i fal monochromatycznych: ( ϵ E)= E=±i ωμ μ H (μ H )= H= i ω ϵ ϵ E (będziemy dalej pomijać daszek)

8 Zespolony współczynnik załamania Współczynnik załamania σi ϵ ϵ± ω ϵ n Znak części urojonej zależy od konwencji z =( z) Współczynnik ekstynkcji κ=±im (n)

9 Polaryzacja fali płaskiej Równanie Helmholtza (Jednorodny ośrodek izotropowy ) ( +n k ) E= Rozwiązania w postaci superpozycji fal płaskich: E (r )= k E ( k) exp(i k r) d k Kierunek polaryzacji (Zespolony) wektor falowy 2 k =k 2 n 2

10 Nabla w działaniu na funkcję wykładniczą e i k r = e = i k x x+ i k y y+ i k z z =k i e ( a e i k r i k r =( i k x e i k x x+i k y y+i k z z,i k y e i k x x+i k y y+i k z z,i kze )=( e ) a=( k a)i e i k r i k r ( f A)=( f ) A+ f ( A) ( a e i k r )=( e ) a=(k a)i e i k r ( f A)=( f ) A+ f ( A) i k r i k x x +i k y y+ i k z z )

11 Polaryzacja fali płaskiej Rozwiązania w postaci superpozycji fal płaskich: i ω t E=E exp (i k r ) e Prawo Gaussa: (ϵ E)= Prawo Faradaya: i ωμ μ H = E (ϵ E ) k= ϵ E k k E B=μ μ H= ω exp (i k r)= B exp (i k r) B k D=ϵ ϵ E 1 H=μ 1 μ B def. B E S(r, t )=E (r, t) H (r, t)=re (E e i ω t ) Re( H e i ω t ) 1 S t= S (r, t) t = Re( E H ) 2

12 Polaryzacja liniowa E B k

13 Fala płaska E ( x, y, z, t )=Re (E e [] ax E = a y i(k z ωt ) [] k=k n 1 )

14 Polaryzacja kołowa jako wynik złożenia polaryzacji liniowych

15 Wektor Jonesa [] ax E t (z, t)= Re a y exp (i[ k z ω t ]) [] Wektor Jonesa: j a x ay - B. Saleh, M. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, 27

16 Notacja Jonesa opisu stanu polaryzacji Polaryzacja liniowa w kierunku x Polaryzacja liniowa pod zadanym kątem do kierunku x Prawoskrętna polaryzacja kołowa Lewoskrętna polaryzacja kołowa

17 Notacja Jonesa opisu stanu polaryzacji Wektor Jonesa: Przykłady baz: j [] ax ay Polaryzacje liniowe {[ ] [ ]} 1, 1 Natężenie: I= j 2 = a x 2 a y 2 Przesunięcie fazowe: =arg a y arg a x Polaryzacje kołowe { [ ] [ ]} 1 1, i 2 i

18 Przykład: opis macierzowy stanu polaryzacji światła w układzie P j we M1 Px LC M2 j we, j wy Mn Wektory Jonesa (lub Stokesa) M P, M P, M P, M LCD x V Py y M wyp =M n M n 1 M 1 Macierze Jonesa (lub Muellera) j wy

19 Składanie operatorów liniowych L1 u we L2 L3 Ln u wy u wy=(l n L 3 L 2 L 1) u we L wyp u we u we, u wy Sygnał optyczny np. rozkład pola bądź natężenia, stan polaryzacji itp. Li Operatory liniowe reprezentujące działanie kolejnych elementów układu optycznego L wyp Operator wypadkowy reprezentujący działanie całego systemu

20 Macierze Jonesa Ćwierćfalówka = / 2 półfalówka = Płytka opóźniająca: [ 1 M = exp i ] Polaryzator liniowy (x): [ ] 1 Px= Polaryzator liniowy Obrót elementu: M R M = R [ cos sin R = sin cos Więcej : ]

21

22 Przykład: prawo Malusa Zmiana natężenia liniowo spolaryzowanego światła po przejściu przez polaryzator: Wejściowy stan polaryzacji: Wyjściowy stan polaryzacji: [] j o= P ji = R P x R j i j i= 1 Natężenie wejściowe: Natężenie wyjściowe: I o= j o 2 2 I i= j i Prawo Malusa: 2 o i I = I cos

23 Dwa skrzyżowane polaryzatory

24 Układ 3 polaryzatorów

25 Przykład: ciąg polaryzatorów Py Px I wy / I we Liczba polaryzatorów

26 Przykład: elementy ciekłokrystaliczne Klasyfikacja faz ciekłych kryształów: Nematyk Smektyk Cholesteryk

27 Wyświetlacze LCD, modulatory SLM Komórka LC ze skręconym nematykiem (TN): Model warstwowy komórki:

28 Modulacja natężenia światła Polaryzator Y Płytka opóźniająca Polaryzator X M α = P x R π/ 4 M Γ R π / 4 P y

29 Wyświetlacze LCD, modulatory SLM Salech, Teich, Fundamentals of Photonics i/liquid_crystal_display (w nowszych wyświetlaczach, obie elektrody znajdują się na wewnętrznej okładce, ang. IPS- in-plane switching)

30 Macierz Jonesa komórki ze skręconym nematykiem Model warstwowy komórki: Macierz Jonesa jednej warstwy: [ exp i z/ 2 T r =exp i z exp i z /2 Macierz Jonesa całej komórki: T R T = n R r n n ]

31 LCD ze skręconym nematykiem

32 Ferroelektryczne (binarne) LCD ze smektykiem