Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe

Transkrypt

1 Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe

2 Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński I.Nabiałek W.Żakowski; Matematka dla studiów espermentalnch; WNT Warsawa 1981 W.Stankiewic; Zadanie matematki dla wżsch ucelni technicnch c II; PWN Warsawa 1983

3 Pole skalarne Definicja 1. Polem skalarnm (polem skalarów) nawam funkcję która każdemu punktowi pewnego obsaru prporądkowuje określon skalar. Pole skalarne jest matematcnm abstraktem takich wielkości ficnch które w każdm punkcie obsaru charakterują się tlko licbą. Prkład

4 Pole wektorowe Definicja. Polem wektorowm (polem wektorów) nawam funkcję która każdemu punktowi pewnego obsaru prporądkowuje określon wektor. Pole skalarne jest matematcnm abstraktem takich wielkości ficnch które w każdm punkcie obsaru charakterują się licbą i skierowaniem tj. kierunkiem i wrotem. Prkład

5 Pole wektorowe na płascźnie i w prestreni Definicja 3. a) Polem wektorowe na obsare DR nawam funkcję wektorową określoną worem F F P gdie D b) Polem wektorowe na obsare VR 3 nawam funkcję wektorową określoną worem P R gdie V

6 Pole potencjalne Definicja 4. Polem wektorowe F określone na obsare D nawam potencjalnm gd istnieje funkcja U:DR taka że F gradv Funkcję U nawam potencjałem pola wektorowego F

7 Uwaga Dla pola wektorowego na płascźnie warunek ten ma postać Podobnie dla pola wektorowego w prestreni Pole potencjalne P F U U P P R F U R U U P

8 Pole potencjalne Prkład Sprawdić c podane funkcje są potencjałami wskaanch pól wektorowch a) U 10 F gdie R b) U F gdie R 3

9 Pole potencjalne Prkład Wnacć potencjał podanch pól wektorowch a) F 3 6 b) F c) F d) F

10 Pole potencjalne Twierdenie 1. (krterium potencjalności) a) Niech pole wektorowe F P będie różnickowalne w sposób ciągł na obsare wpukłm DR. Wówcas pole wektorowe F P jest potencjalne na D wted i tlko wted gd P D

11 Twierdenie 1. (krterium potencjalności) b) Niech pole wektorowe będie różnickowalne w sposób ciągł na obsare wpukłm VR 3. Wówcas pole wektorowe jest potencjalne na V wted i tlko wted gd Pole potencjalne R P F R P F R R P P V

12 Operator Hamiltona Definicja 5. Operator Hamiltona (nabla) określan jest worem i j k

13 Gradient funkcji Definicja 6. Niech funkcja f ma pochodne cąstkowe I rędu na obsare VR 3. Gradient funkcji f jest określon worem grad f f f f f

14 Gradient funkcji Prkład Wnacć gradient podanch funkcji a) f b) f arctg

15 Rotacja pola wektorowego Definicja 7. F P R Niech będie różnickowalnm polem wektorowm na obsare VR 3. Rotację pola wektorowego F określam worem i j k rot F F P R

16 Rotacja pola wektorowego Prkład Wnacć rotację wskaanch pól wektorowch a) F 3 b) F 5 34

17 Twierdenie 1. (krterium potencjalności) b) Niech pole wektorowe będie różnickowalne w sposób ciągł na obsare wpukłm VR 3. Wówcas pole wektorowe jest potencjalne na V wted i tlko wted gd Pole potencjalne - prpomnienie R P F R P F R R P P V

18 Rotacja pola wektorowego Fakt (krterium potencjalności) Pole wektorowe F P R jest potencjalne na obsare wpukłm VR 3 wted i tlko wted gd rot F 0

19 Dwergencja pola wektorowego Definicja 8. Niech pole wektorowe F P R będie polem wektorowm różnickowalnm w sposób ciągł na obsare VR 3. Dwergencję pola wektorowego F określam worem div F F P R

20 Dwergencja pola wektorowego Prkład Wnacć dwergencję podanch pól wektorowch a) F b) F c) F ln e arctg e cos sin

21 Definicja 9. Laplasjanem funkcji f mającej drugie pochodne cąstkowe ciągłe onacam smbolem lub nawam funkcję określoną w układie kartejańskim OXYZ równością Operator Laplace a Laplasjan f f f f f f f

22 Element anali wektorowej c I Pole wektorowe