Przestrzeń liniowa R n.

Transkrypt

1 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c n. L [, L, ] [,, L, ] [,, ],, n n L n n n Prestreń R n tak definiowanmi diałaniami nawam prestrenią liniową lb wektorową. Element a a... a k k nawam kombinacją liniową elementów,,..., k R n, gdie o współcnnikach a, a,..., a k R. i i i [,, ] i L, n Wektor n,,..., k R są liniowo nieależne jeśli wektor erow nie może bć ich kombinacją liniową o nieerowch współcnnikach tn. równości a a... a k wnika, że a a... a, ( w preciwnm prpadk k k element te są liniowo ależne). Nieskońcon kład wektorów jest liniowo nieależn jeśli każd skońcon jego podbiór jest liniowo nieależn. Własności a) kład wektorów liniowo nieależnch nie może awierać wektora erowego, b) pojednc wektor jest liniowo nieależn, gd jest nieerow, c) dowoln podbiór kład wektorów liniowo nieależnch jest liniowo nieależn,

2 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski d) kład wektorów jest liniowo ależn wted i tlko wted, gd pewien wektor tego kład daje się predstawić w postaci kombinacji liniowej poostałch. Prkład W prestreni liniowej R, wektor (,, ), (,, ), są liniowo nieależne, bo jeśli a b, to ( a, b,) (,,) i równości ciągów wnika, że a, b. Natomiast wektor (,, ), (,, ), są liniowo ależne, bo, cli kombinacja liniowa tch wektorów o współcnnikach, - daje wektor erow. Uwaga W prestreni wektorowej R n liniową nieależność wektorów można badać a pomocą ręd macier, której wierse lb kolmn to składowe ropatrwanch wektorów. Zachodi bowiem własność: wektor,,..., k R n i i i i, gdie (, ) wted i tlko wted, gd r M n M n k M k M k M M k M n,,... n są liniowo nieależne Jeśli k > n to element,,..., k R n msą bć liniowo ależne (rąd macier nie może prekracać żadnego wmiarów macier). Jeśli k n to element,,..., n R n są liniowo nieależne wted i tlko wted, gd det M n Prkład M n n M n M M M M n W prestreni liniowej R, wektor (,, ), (,, ), (,, ) nieależne, bo są liniowo det.

3 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Natomiast wektor (,, ), (,, ), (,, ) det. są liniowo ależne, bo Baą prestreni liniowej R n nawam porądkowan kład liniowo nieależnch wektorów n,,,... R taki, że każd wektor tej prestreni jest ich kombinacją liniową, tn. istnieją a, a,..., an R, że a a... a n n. Taką kombinację liniową nawam rokładem wektora w baie współrędnmi wektora w tej baie.,..., a a,..., a, n, a licb, n Własności a) w każdej nietrwialnej (nieerowej) prestreni liniowej istnieje baa, b) każde dwie ba danej prestreni są równolicne, c) baa to maksmaln kład wektorów liniowo nieależnch w danej prestreni, tn. jeśli do ba dołącm dowoln wektor to otrman kład wektorów msi bć liniowo ależn, d) jeśli,,..., n jest baą i,,..., m jest dowolnm kładem wektorów liniowo nieależnch to m n i wektor,,..., m można pełnić pewnmi n m elementami spośród, n do ba (twierdenie Steinita o wmianie), atem,..., każd liniowo nieależn kład wektorów można pełnić do ba, e) każd wektor prestreni liniowej można predstawić tlko w jeden sposób jako kombinację liniową wektorów ba tej prestreni. Prkład W prestreni liniowej R, wektor (,, ), (,, ), (,, ) tworą baę, bo są liniowo nieależne i jest to maksmaln kład wektorów liniowo nieależnch w tej prestreni. Prkład Niech e (,,..., ), n e (,,,..., ),..., (,,...,, ) na k - tej pocji). Wektor te tworą baę prestreni liniowej R n. e (w wektore e k jednka najdje się

4 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Baę tą nawam baą standardową tej prestreni. Jeśli e, e,..., e n jest baą standardową w R n i (,,, ) tej prestreni to można apisać w postaci jest dowolnm elementem L n e e... n e n atem współrędne wektora są jednoceśnie współcnnikami jego rowinięcia w baie standardowej. Geometria analitcna w prestreni R Ropatrjem na płascźnie prostokątn kład współrędnch. Pnkt O(,) jest pocątkiem tego kład. Będiem prjmować orientację dodatnią (preciwną do rch wskaówek egara) kład współrędnch. Pnkt płascn tożsamiam ich współrędnmi w tm kładie, cli parami licb recwistch, są to więc element prestreni R. Dowoln pnkt P wnaca wektor swobodn OP. Wektor swobodn PQ w prestreni R wnacon pre pnkt P(, ), Q(, ), ma współrędne, Wektor [,], e [,] i będiem stosować apis [ ],. e nawam wersorami (wektorami jednostkowmi). Q P e e 4

5 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Odległość międ pnktami P(, ), Q(, ), w tej prestreni licm wg wor: ( ) ( ) ρ ( P, Q) Normą (dłgością) wektora [, ] nawam licbę: Ilocn skalarn wektorów [, ], [, ] i <, > ( i ) i i i Dla nieerowch wektorów, możem wnacć cosins kąta ϕ międ tmi wektorami <, > cosϕ Nieerow wektor twor osiami kład współrędnch kąt ϕ, ϕ, którch cosins nawam cosinsami kiernkowmi wektora i wnacam na podstawie worów cosϕ, cosϕ Nieerowe wektor, są wajemnie (prostopadłe) ortogonalne wted i tlko wted gd <, >. Ponieważ element prestreni R można tożsamiać wektorami swobodnmi, to biór wektorów swobodnch powżsm ilocnem skalarnm jest prestrenią eklidesową. Wersor [,], e [,] jednostkowej). e stanowią w niej baę ortonormalną (ortogonalne o dłgości Nieerowe wektor [, ], [, ] są równoległe wted i tlko wted, gd. co jest równoważne warnkowi Pr cm jeśli w mianownik jest ero to w licnik też powinno bć ero. 5

6 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Współrędne pnkt C ( c, c ) dielącego odcinek o końcach A ( a, a ), ( b, b ) AC k, tn. k oblicam worów CB B w stosnk c a kb, k c a kb k Trójkąt o wierchołkach A ( a, a ), B ( b, b ), ( c, c ) C ma pole P ABC a det b c Zatem pnkt A, B, C leżą na jednej prostej gd a b c a det b c a b c Prosta w R Element prestreni R będiem traktować jako par licb (, ) i nawać pnktami. Równanie ogólne prostej. A B C Uwaga Wektor [ A, B] jest prostopadł do tej prostej i nawa się, wektorem normalnm. Odległość pnkt P(, ) od prostej A B C wnosi d A B A B C 6

7 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Kąt (ostr) międ prostmi A B C i A B C wnacam na podstawie cosinsa kąta międ ich wektorami normalnmi cosϕ A A A B B B A B Równanie kiernkowe prostej m b m - współcnnik kiernkow Współcnnik m jest równ tangensowi kąta, któr ta prosta twor dodatnim kiernkiem osi O. Dwie proste w postaci kiernkowej m b i m b są: a) równoległe gd b) prostopadłe gd m m m m Kąt mied nimi wnacam na podstawie wor na tangens różnic kątów tgϕ m m m m Równanie prostej prechodącej pre pnkt (, ), (, ) ( ) Równanie parametrcne prostej at bt t R Powżsa prosta prechodi pre pnkt (, ) a wektor [ a, b] wnaca kiernek tej prostej. Równanie odcinkowe prostej a b (a, ), (, b) to pnkt precięcia tej prostej osiami kład współrędnch 7

8 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zbior wpkłe w R (R n ). Zbiór W jest wpkł jeśli dla dowolnch, W i dowolnego c <, > również c ( - c) W Zatem biór jest wpkł jeśli dla każdch dwóch różnch pnktów należącch do tego bior, należ do niego cał odcinek którego końcami są te pnkt. Uwaga. Cęść wspólna biorów wpkłch jest biorem wpkłm. Prkład. Koło - biór wpkł, Okrąg - nie jest biorem wpkłm, Prosta - biór wpkł, Para precinającch się prostch - nie jest biorem wpkłm, Półpłascna - biór wpkł, Prkład. Wnacć na płascźnie biór pnktów, którch współrędne spełniają nierówność: a) ; b), 5 ; > c) ; d) ; e) ; Zaważm, że biór rowiąań kład nierówności liniowch jest albo biorem pstm albo biorem wpkłm (ograniconm lb nieograniconm). Powżsa własność wnika stąd, że biorem rowiąań kład nierówności liniowch jest cęść wspólna półpłascn będącch rowiąaniami poscególnch nierówności ora własności: cęść wspólna biorów wpkłch jest biorem wpkłm. 8

9 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski 9 Zadanie Rowiąż graficnie kład nierówności: a) 5 8 b) 69 8 W prpadk gd biór rowiąań kład nierówności jest niepst podaj prkład pnkt należącego do bior rowiąań i wnac wierchołki bior rowiąań. Analitcna metoda rowiąwania kładów nierówności liniowch. Rowiąwania kładów nierówności liniowch sprowadam do rowiąwania kładów równości liniowch. Do każdej lewej stron nierówności dodajem (gd ) lb odejmjem (gd ) mienną pomocnicą. Zmienna pomocnica powinna bć awse niejemna. Jako rowiąanie podajem współrędne wierchołków bior rowiąań, są to rowiąania baowe otrmanego kład równań obcięte do miennch wstępjącch w kładie nierówności. Należ pamiętać o odrceni rowiąań baowch w którch mienna pomocnica jest jemna. Prkład Wnacć kład równań odpowiadające następjącm kładom nierówności: (a) (b) Rowiąanie: (a) (b)

10 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Rowiąania baowe kład nieonaconego. Z metod Gassa wnika istnienie rowiąania baowego (pod parametr podstawiam era). Rowiąań baowch może bć wiele. Ab otrmać inne rowiąanie baowe należ prjąć, że w nowm rowiąani baowm jeden dotchcasowch parametrów będie mienną baową a jedna dotchcasowch miennch baowch będie parametrem. Następnie pod nowe parametr podstawiam wartość i rowiąjem otrman kład równań liniowch. Możliwe są dwie stacje: - otrman kład jest onacon i otrmjem nowe rowiąanie baowe, - otrman kład jest nieonacon lb sprecn, wted należ skać innego rowiąania baowego. Wsstkich rowiąań baowch nie może bć więcej niż n. r Prkład Ropatrm kład nierówności: Ropatrm odpowiadając m kład równań: Macier roserona tego kład jest równa 4 jest to kład nieonacon r ra rm, n 6. Prkładowe rowiąania baowe: Niech, mienne baowe;, 4, 5, 6 parametr, rowiąjąc kład: 4 otrmam rowiąanie baowe [6,,,,, ] T.

11 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Ropatrm now kład niewiadomch, 5 mienne baowe;,, 4, 6 parametr, wted odpowiedni kład: 5 4 jest sprecn, atem kład ten nie daje rowiąania baowego. Ropatrm now kład niewiadomch, mienne baowe;, 4, 5, 6 parametr, wted odpowiedni kład: 4 daje rowiąanie baowe [4,,,,, ] T. 6 Ab wnacć wsstkie rowiąania baowe należ ropatrć 5 prpadków. Prkład. Rowiąać kład nierówności: 6 Należ wnacć wsstkie rowiąania baowe dla kład równań: 4 6 Uwaga. Wsstkie 6 możliwości najłatwiej ropatrć wpełniając tabelkę: Zmienne baowe () () () (4) (5) (6) Zmienne

12 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie Rowiąać kład nierówności: (a) (b) Wskaówka: wnacć wsstkie dopscalne rowiąania baowe dla kład równań: (a) (b) Geometria analitcna w prestreni R Ropatrjem w prestreni prostokątn kład współrędnch. Pnkt O(,,) jest pocątkiem tego kład. Będiem prjmować orientację prawoskrętną (godnie regłą śrb prawoskrętnej) kład współrędnch. Pnkt prestreni tożsamiam ich współrędnmi w tm kładie, cli trójkami licb recwistch, są to więc element prestreni R. Dowoln pnkt P wnaca wektor swobodn OP. Wektor swobodn PQ w prestreni R wnacon pre pnkt P(,, ), Q(,, ), ma współrędne,, i będiem stosować apis [, ]., Wektor [,,], e [,, ], e [,, ] jednostkowmi). e nawam wersorami (wektorami P e e e

13 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Odległość międ pnktami P(,, ), Q(,, ), w tej prestreni licm wg wor: Normą (dłgością) wektora [, ] ( ) ( ) ( ) ρ ( P, Q), nawam licbę: ( i ) Ilocn skalarn wektorów [, ], [, ], <, > i, i i i Dla nieerowch wektorów, możem wnacć cosins kąta ϕ międ tmi wektorami <, > cosϕ Nieerow wektor twor osiami kład współrędnch kąt ϕ, ϕ, ϕ, którch cosins nawam cosinsami kiernkowmi wektora i wnacam na podstawie worów cos ϕ, cos ϕ, cos ϕ Nieerowe wektor, są wajemnie (prostopadłe) ortogonalne wted i tlko wted gd <, >. Ponieważ element prestreni R można tożsamiać wektorami swobodnmi, to biór wektorów swobodnch powżsm ilocnem skalarnm jest prestrenią eklidesową. Wersor [,,], e [,, ], e [,, ] e stanowią w niej baę ortonormalną. Ilocn wektorow wektorów [, ], [, ],,, [, ], e e e (pierws wiers to wersor osi). Ilocn wektorow jest wektorem prostopadłm do wektorów,, jego wrot jest określon pre regłę śrb prawoskrętnej, a jego dłgość jest równa pol równoległobok ropiętego na wektorach,. Zatem połowa jego dłgości jest równa pol trójkąta ropiętego na tch wektorach.

14 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Ilocn miesan wektorów [, ], [, ], w [ w, w w ],,, ( w) ( ) w det w w w Wartość bewględna ilocn miesanego wektorów,, w jest równa objętości równoległościan ropiętego na tch wektorach. Zatem objętość cworościan ropiętego na tch wektorach jest równa V det 6 w w w Nieerowe wektor [, ], [, ], co jest równoważne warnkowi r, są równoległe wted i tlko wted, gd Pr cm jeśli w mianownik jest ero to w licnik też powinno bć ero. Nieerowe wektor [, ], [, ], w [ w, w w ],, (współpłascnowe) wted i tlko wted, gd det w co onaca erowanie się ich ilocn miesanego. w, w są komplanarne 4

15 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski 5 Prosta i płascna w R Element prestreni R będiem traktować jako trójki licb (,, ) i nawać pnktami. Równanie ogólne płascn. A B C D Uwaga Wektor [ ] C B A,, jest prostopadł do tej płascn i nawa się wektorem normalnm. Kąt (ostr) międ płascnami A B C D i A B C D wnacam na podstawie cosinsa kąta międ ich wektorami normalnmi cos C B A C B A C C B B A A ϕ Odległość pnkt P(,, ) od płascn A B C D wnosi C B A D C B A d Korstając własności ilocn miesanego możem wnacć równanie płascn prechodącej pre pnkt P(,, ) i równoległej do dwóch danch nierównoległch wektorów [ ],,, [ ],, det Podobnie równanie płascn prechodącej pre tr niewspółliniowe pnkt (,, ), (,, ), (,, ). det

16 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski 6 Równanie odcinkowe płascn c b a (a,, ), (, b, ), (,, c) to pnkt precięcia tej prostej osiami kład współrędnch Równanie kanonicne prostej. Prosta prechodąca pre pnkt P(,, ) i równoległa do wektora [ ],, ma równanie Jeśli prjąć t, to po prekstałceni otrmam równanie parametrcne prostej t t t,, Równanie prostej prechodącej pre pnkt (,, ), (,, ) Ponieważ prosta jest wnacona pre dwie nierównoległe płascn A B C D i A B C D, to D C B A D C B A jest równaniem krawędiowm prostej. Wektor kiernkow tej prostej jest równ ilocnowi wektorowem wektorów normalnch ropatrwanch płascn.

17 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Odległość pnkt P(,, ) od prostej o wektore kiernkowm [, ] prechodącej pre pnkt Q(,, ) wnosi i, d e det e e Cosins kąta międ prostą o wektore kiernkowm [, ] A B C D wraża się worem, a płascną d A B A B C C Zadania Zadanie Pnkt C(; ) jest środkiem odcinka o końcach A, B. Wiedąc, że B(7; 5), wnacć współrędne pnkt A. (odp. A(-; )) Zadanie Sprawdić, że trójkąt o wierchołkach A(-; -), B(-; ), C(; -) jest prostokątn. Zadanie Niech [, ], [, ]. Wnacć w -, w, <, >. C wektor, są prostopadłe? C wektor, są równoległe? (odp. nie są prostopadłe, nie są równoległe) Zadanie 4 Wnacć pole trójkąta o wierchołkach A(-; -4), B(; 8), C(; ). (odp. 6) 7

18 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie 5 Dane są tr kolejne wierchołki równoległobok A(; 4), B(-; -), C(5; 7). Wnacć współrędne cwartego wierchołka. Zadanie 6 (odp. D(7; )) Sprawdić, że pnkt S ( s, s ) precięcia środkowch trójkąta o wierchołkach ( a, a ) B ( b, b ), ( c, c ) C ma współrędne A, Zadanie 7 s a b c, s a b c Dan jest pnkt S (, ) precięcia środkowch trójkąta o wierchołkach A (, 8), (, ) B, C. Oblicć współrędne wierchołka C. (odp. (-,-7)) Zadanie 8 Pnkt o współrędnch (, ), (, ), (, 4) są środkami boków pewnego trójkąta. Ile wnosi pole tego trójkąta? (odp. 4) Zadanie 9 Kost prodkcji K jest liniową fnkcją wielkości prodkcji P K e fp e - kost stałe, f - współcnnik kostów, f >. Wiedąc, że kost stałe są równe ora, że wrost prodkcji o stk powodje wrost kostów o ł, wnac fnkcję kostów. (odp. K P) Zadanie Prosta precina osie kład współrędnch w pnktach (, -) i (6, ). Wnacć równanie a) odcinkowe, b) ogólne, c) kiernkowe, d) parametrcne tej prostej. (odp. a) 6, b) 6 6t 6, c), d) t R ) t 8

19 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie Dana jest prosta -. Sprawdź, które pnktów A(, ), B(-, -4), C(-, ), leżą na danej prostej. (odp. A nie, B nie, C tak) Zadanie Znaleźć pnkt precięcia prostej - 6 osiami kład współrędnch. (odp. (-, ), (, )) Zadanie Prostą o równani parametrcnm apisać w postaci ogólnej i kiernkowej. t 4t t R (odp., ) Zadanie 4 Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (, 5) i (, 7). Zadanie 5 (odp. 7 ) Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (-, ) i (, 5). (odp. ) Zadanie 6 Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (, -), równoległej do prostej. (odp. ) Zadanie 7 Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (, 4), prostopadłej do prostej 5. (odp. 6 ) 9

20 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie 8 Wnac kąt ostr międ prostmi 7,. Zadanie 9 Sprawdź, że proste, 5 są równoległe. (odp. π/4) Zadanie Sprawdź, że proste 4, 4 są prostopadłe. Zadanie Wnac odległość pnkt A(, ) od prostej 7. Zadanie Wnac pnkt smetrcn do pnkt A(-, 9) wględem prostej 8. (odp. ) (odp. (, )) Zadanie Wnacć na płascźnie biór pnktów, którch współrędne spełniają nierówność: a) ; b), 5 ; > Zaważ, że biorem rowiąań nierówności liniowej jest awse biór wpkł - półpłascna ( bregiem lb be breg). Zadanie 4 Rowiąż graficnie kład nierówności: a) 6 b) 7 5, 4 c) 5 d), 5, W prpadk gd biór rowiąań kład nierówności jest niepst podaj prkład pnkt należącego do bior rowiąań i wnac wierchołki bior rowiąań.

21 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie 5 Dan jest biór wpkł: a) b) 4 (, ) 8 (5, ) (, ) (5, ) 5 7 Wnac kład nierówności liniowch, którego rowiąaniem jest ten biór. Zadanie 6 Niech [,, ], [,,] C wektor, są prostopadłe? Zadanie 7. Oblic ilocn skalarn tch wektorów. Dla jakiej wartości c R wektor [ c,,4] i [ 4, c, 7] Zadanie 8 są prostopadłe. Dla jakiej wartości c R wektor [,, ] i [ c,4,4] Zadanie 9 Niech [,,5], [,, ] Zadanie Niech [ 6,, ], [,,6] Zadanie są równoległe.. Oblic ilocn wektorow tch wektorów. (odp., nie są prostopadłe) (odp. c 4) (odp. c -) (odp. [ 7,, ]). Oblic pole równoległobok ropiętego na tch wektorach. Wnacć pole trójkąta o wierchołkach A(; ; ), B(; ; 4), C(4; ; ). Zadanie Niech [,, ], [,, ], w [,,4 ]. Oblic ilocn miesan tch wektorów. (odp. 49) (odp. 6 )

22 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie Sprawdić, że dla dowolnch wektorów [, ], [, ], [ w, w w ] wektor, w, w są komplanarne.,, w ;, (odp. ) Zadanie 4 Sprawdić, że wektor [,5,7], [,, ], w [,, ]. są komplanarne. Zadanie 5 Wnacć objętość cworościan o wierchołkach A(; ; ), B(4; ; ), C(4; 5; 4), D(5; 5; 6). Zadanie 6 Wnac odległość pnkt A(, 5, -8) od płascn 6. Zadanie 7 Napis równanie płascn prechodącej pre pnkt o współrędnch (,, 5), prostopadłej do wektora [4,,]. (odp. 7/6) (odp. ) (odp. 4 7 ) Zadanie 8 Napis równanie płascn prechodącej pre pnkt o współrędnch (,, -), równoległej do płascn 5. (odp. 5 ) Zadanie 9 Wnac pnkt prebicia płascn prostą. 6 (odp. (, -, 6)) Zadanie 4 Wnac rt pnkt A(,, -6) na płascnę 4. (odp. (,, -7))

23 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie 4 Wnac pnkt smetrcn do pnkt A(,, ) wględem płascn 6. (odp. (,, -)) Zadanie 4 Wnac pnkt smetrcn do pnkt A(,, ) wględem prostej. (odp. (9/7, -4/7, -/7)) Zadanie 4 Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (5,, 4), równoległej do wektora [,5, 8]. 5 4 (odp. ) 5 8 Zadanie 44 Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (,, ), prostopadłej do wektorów [,, ], [,, ]. (odp. Zadanie 45 Wnac kąt międ prostmi 6 6,. 9 ) 5 7 Zadanie 46 Wkaać, że proste, są prostopadłe. 5 8 (odp. 6 cos ϕ ) 6 L.Kowalski,..