Propagacja impulsu. Literatura. B.E.A. Saleh i M.C. Teich: Fundamentals of Photonics. John Wiley & Sons, Inc. New York 1991, rozdział 5 ( 5.

Transkrypt

1 Literatura Propagacja impulsu B.E.A. Saleh i M.C. Teich: Funamentals of Photonics. John Wiley & Sons, Inc. New York 99, roiał 5 ( 5.6) pomocnica alecana naukowa

2 Propagacja impulsu w ośroku yspersyjnym Fala nośna o cęstotliwości kołowej { i[ t k( ) ] } Un (, t) U exp moulowana impulsem A(,t) w punkcie (, t) A(, t) U (, t) A(, t) U exp{ i[ t k( ) ] } U n Znany jest impuls A(, t) w pocątku ukłau Posukujemy kstałtu impulsu w owolnej oległości

3 Propagacja impulsu w ośroku yspersyjnym c Un AUn A t const O

4 Ćwicenia Fotoniki Uupełnienie wykłau la 4 roku specjaliacji Inżynieria fotonicna Relacje la casu T [H] cęstotliwość T [s] okres [H] cęstotliwość kołowa

5 Funkcja harmonicna y cosx x y x mienna nieależna, może repreentować cas, oległość, lub inną wielkość fiycną okres funkcji cęstość cęstość kołowa X /X /() amplitua a

6 Wimo funkcji y cosx a Funkcja Wimo cos( bx) a okres funkcji X /b cęstość /X b/() cęstość kołowa b amplitua a b

7 Postać espolona harmonicnej y a exp( ibx) Im(y) y Re(y) x amplitua faa ϕ bx a, b constans Prestrenna preentacja espolonej funkcji harmonicnej Robicie na wa wykresy a y amplitua x okres funkcji X /b cęstość /X b/() α faa ϕ b tgα x cęstość kołowa b amplitua a - X

8 Rokła funkcji espolonej f(x) Perioycna X - okres ( x + nx ) f( x) n ±, ±, 3, L f ± X ogólnie f(x) C x R cęstość kołowa funkcji f(x) Rokła funkcji perioycnej na harmonicne f m m ( x) c exp( i x) m m Cęstość kołowa m-tej harmonicnej m m f Amplitua espolona m-tej harmonicnej c m X X f ( x) exp( i x) ( x) c exp[ i( ) x] + c exp[ i( ) x] + c exp[ i( ) x] + c exp[ i( ) x] + c exp[ i( ) x] + L m x +

9 f m m Wimo funkcji perioycnej f( x) c exp( i x) ( x) c exp[ i( ) x] + c exp[ i( ) x] + c exp[ i( ) x] + c exp[ i( ) x] + c exp[ i( ) x] + L m m + Mouł amplituy c m c m -3 Faa amplituy c m arg(c m ) Dane prykłaowe Wimo yskretne

10 Prykłay ( x) cos( x).5x cm f m X X X ( x) exp( i x) x cos( x) exp( im x)x.5x ( x) +.5 exp( i x).5exp i [( ) ] m x x + exp[ i( m + ) x] c m exp i 4 4 f Po rowiąaniu c.5 sinc [ ( m ) ].5 sinc [ ( m ) ] m + + sinx sin cx c c. 5 x X Poostałe c m x

11 Wimo funkcji cos( x) c c.5 Faa arg(c m ) la każego m Poostałe c m.5 c m c m Wimo funkcji cos ( x) Ponieważ ( x) cos( x) c cos.5 c c.5 Poostałe c m.5 c m c m.5 Faa arg(c m ) la każego m

12 .5.5 sin i i exp i expi Wimo funkcji sin( x) ( x) exp( i x) exp( i x) Ponieważ expi 3 i i ( ) i exp i więc sin ( x).5exp i exp( i x) +.5exp i exp( i x) Wimo.5 c m c m arg(c m )

13 Perioycna funkcja prostokątna y X sin cx sinx x x Wimo X.5X c m.5x exp X.5X ( i m x) x.5sinc(.5m) (.5m) sin.5.5m.5 c c c c c3 c c 3 c4 c 4 c5 c 5 5 3

14 Wimo f Funkcja m ( x) c exp( im x).5 + exp( i x) + exp( i x) 3 m exp m 3 5 ( i3 x) exp( i3 x) + exp( i5 x) + exp( i5 x) + L 3 5 cos cos( 3 x) cos( 5 x) 5 + ( x)

15 Funkcja Prybliżenia ( x).5 + cos( x) cos( 3 x) + cos( 5 x) + L f x x 3 harmonicne ( x).5 + cos( x) 4 f ( x).5 + cos( x) cos( 3 x) 5 harmonicnych f x harmonicnych

16 Funkcja III(x) lub comb(x) f ( x) δ( x nx ) n X x Wimo funkcji III(x) c m la każego m X Niemiennik X

17 Funkcja perioycna i jej wimo m m ( x) c exp( i x) f cm f( x) exp( imx) Funkcja aperioycna okres nieskońcenie uży ( x) F( ) exp( ix) m m f F( ) f ( x) exp( i x) f ( x) FT + [ F( ) ] F X Zapis operatorowy X i jej wimo ( ) FT [ f ( x) ] x x Owrotna transformacja Fouriera Transformacja Fouriera

18 Funkcja prostokątna Π(x) Wimo funkcji prostokątnej /(a) Π(x) x F a a ( ) exp( ix) a sinc ( a) x a Pole prostokąta Nieskońcenie gęsty biór harmonicnych

19 Scególne prypaki funkcji prostokątnej a Wimo F() f(x) δ(x) stała x Delta Diraca awiera wsystkie harmonicne (-, ) a f(x) stała Wimo F() δ( ) x Tylko erowa harmonicna

20 Funkcja Gaussa f(x) f ( x) exp x w Wimo funkcji Gaussa e - w Niemiennik w x F ( ) F() w w exp F() F()e - w Transformata funkcji Gaussa jest funkcją Gaussa

21 Propagacja impulsu, metoa analiy A(,t) Σa( a ) a( a ) a( - ) a harmonicne a( a )FT-[A(,t)] + fala nośna Każa harmonicnych o amplituie a(, a ) propaguje się jako fala płaska o cęstotliwości kołowej a - ( ) a(, ) exp{ i[ t k( ) ] } u a a Po propagacji w oległości kstałt impulsu ( ) ( ) + t u FT [ u( ) ] A,

22 Propagacja impulsu gaussowskiego ( t) A, Impuls U exp t τ a FT Z tablic transformat t [ ( )] ( exp t exp.5 ) więc harmonicna impulsu ( ) (, τ U exp. τ ) a 5 a U a U τ Wimo impulsu U /e a /e t a τ / τ

23 Propagacja impulsu gaussowskiego c Propagująca się harmonicna o cęstotliwości kołowej ( ) a(, ) exp{ i[ t k( ) ] } u a Ale a ( ) (, τ U exp. τ ) a 5 a więc u { [ ] } ( ) ( τ U exp.5τ ) exp i t k( ) a u { [ ] } exp( i t) ( ) τ U exp.5τ + ik( ) a problem

24 Propagacja impulsu gaussowskiego c u { [ ] } exp( i t) ( ) τ U exp.5τ + ik( ) a problem Rowinięcie w sereg wglęem k k ( ) k( ) + ( ) +.5( ) Ponieważ a + k k ( ) k( ) + a +.5a k k

25 Współcynnik yspersyjny D prękości grupowej v g Z efinicji D v g ale vg k k więc D k u a po postawieniu o ależności { [ ] } exp( i t) ( ) τ U exp.5τ + ik( ) a bęie

26 ( ) ( ) [ ] ( ) + τ + τ τ D.5 i.5 exp t i exp exp ik U u a a a gie cas propagacji grupy g v τ Ponieważ a u u gyż a - więc miana a ( ) ( ) [ ] ( ) + + D.5 i.5 exp t i exp exp ik U u a a a a τ τ τ

27 u Po prekstałceniach propagująca się harmonicna o cęstotliwości kołowej ( ) τ [ ( ) ] [ ( τ )] τ U exp ik exp i t exp.5 i a a gie wielkość τ D ależna o serokości impulsu τ i współcynnika yspersyjnego D prękości grupowej

28 Impuls po propagacji na oległość ( ) ( ) [ ] ( ) i t exp i exp ik U t U, τ τ lub po pomnożeniu wykłanika exp pre + i / ( ) ( ) [ ] ( ) + t exp i i exp exp ik U t U, τ τ ( ) ( ) ( ) [ ] a u a u u t U, a + FT więc po uwglęnieniu woru na owrotną FT funkcji gaussa Suma harmonicnych

29 Ostatecnie rokła intensywności w impulsie po propagacji na oległość τ Ia (, t) U(, t) exp τ( ) ( t τ ) τ ( ) gie serokość impulsu τ( ) stała τ D cas propagacji impulsu τ + ależna o serokości pocątkowej τ i współcynnika yspersyjnego D ośroka τ v g τ - pocątkowa serokość impulsu ( )

30 W N I O S K I Propagujący się impuls jest gaussowski Serokość impulsu Dla D τ τ D ( ) τ + Impuls posera się tym więcej, im mniejsa jest jego pocątkowa serokość τ ( t τ ) τ ( ) τ Ia (, t) exp τ( ) więksa się wra oległością jeżeli D gyż wartość τ D mniejsa Impuls propaguje się prękością grupową v g τ k v g

31 W N I O S K I c Dla użej oległości τ( ) τ spełniającej warunek >> + τ D τ Liniowe poserenie impulsu wra e wrostem oległości Problem Dotychcasowe wielkości e wglęu na wygoę apisu były funkcjami cęstotliwości lub W optyce yspersję opisuje się w funkcji ługości fali

32 Prejście W optyce yspersja materiału n n( ) ane w katalogach n c v( ) prękość faowa fali w ośroku v ( ) ( ) Pre analogię c N ( ) współcynnik prękości grupowej vg ( ) ane w katalogach Problem: Znaleźć v g ( ) pre prejście D D

33 ( ) n k n n k k n n k k + + c Więc po postawieniu n c c n k Ponieważ k k D ora c treba naleźć k k Ale k k D 3 n c c n n n c

34 W celu naleienia D korystamy relacji D D to nacy D D n c N ( ) v g c c k n n ( ) Wielkości n( ) N( ) i D są stałymi materiałowymi poanymi w katalogach Ponieważ yspersja cąstkowa n/ < więc N > n Prękość grupowa jest mniejsa o prękości faowej

35 Kwarc

36 Prykła na krotność poserenia impulsu p τ τ ( ) + gie po postawieniach c D τ Na wykresie D [ps/(km nm] więc c 3 nm/ps Dla 8 nm D -5 W a r t o ś c i p τ la km km 5 ps ns µs la km la 6 km τ niemal nie mienia się τ 6 km 9 ns 6.4 ns µs

37 Propagacja impulsu.5 I () a Kompresja impulsu chirping