Rejestracja i rekonstrukcja fal optycznych. Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie.

Transkrypt

1 HOLOGRAFIA prof dr hab inŝ Krzysztof Patorski Krzysztof Rejestracja i rekonstrukcja fal optycznych Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie a) Laser b) odniesienia Laser Technika holografii: etapy rejestracji i rekonstrukcji Kodowanie holograficzne Zapis interferencji fali owej U o ze znaną wiązką odniesienia U r Rejestracja interferogramu i wykonanie u o transmitancji amplitudowej t proporcjonalnej do rozkładu intensywności interferogramu t 2 = U r * * = I r * * = I r + 2(I r ) cos [ arg {U r } arg { }], gdzie I r i oznaczają intensywności wiązek odniesienia (rejestrującej) i owej w płaszczyźnie z = 0

2 Hologram zawiera informację o amplitudzie i fazie fali W celu odzyskania tej informacji w procesie rekonstrukcji oświetla się rekonstruującą najczęściej toŝsamą z wiązką odniesienia a) b) odniesienia Rejestracja u i rekonstrukcja wiązki owej Za em otrzymujemy U = t U r U r I r + I r 2 * Jeśli jest falą o jednorodnym rozkładzie amplitudy propagującą się wzdłuŝ osi z, tzn (I r ) exp(ikz), wtedy dla z = 0 mamy U r (x,y) = (I r ) Jest to stała niezaleŝna od x i y Normując U/U r otrzymuje się U(x,y) I r (x,y) + I r (x,y) + I r *(x,y) Przykład 1 Hologram fali o płaskim czole falowym Jeśli (x,y) = ( ) exp (ikxsinθ) to z ostatniego wzoru otrzymujemy U(x,y) I r + (I r ) exp (ikxsinθ) + (I r ) exp (-ikxsinθ) I r : propagująca się wzdłuŝ osi z ( przedłuŝenie wiązki rekonstruującej) (I r ) exp(ik xsinθ): owa (I r ) exp(-ik xsinθ): sprzęŝona względem wiązki owej W rozwaŝanym przypadku jest sinusoidalną siatką dyfrakcyjną

3 a) b) odniesienia fala sprzęŝona Tworzenie u płaskiej wiązki owej propagującej się pod kątem θ względem normalnej do płaszczyzny u oraz proces rekonstrukcji Przykład 2 Hologram źródła punktowego (x,y) = (1/ r r 0 ) exp(ik r r 0 ), gdzie r = (x,y,0) a) odniesienia b) Rejestracja i rekonstrukcja u wiązki sferycznej (x,y) exp (ik r r 0 ); *(x,y) exp(-ik r r 0 ); (0,0,-d) (0,0,d) Zerowy rząd ugięcia: płaska + lekko rozbieŝna proporcjonalna do 1/ r r 0 2

4 Holografia pozaosiowa Rozdzielenie czterech składników pola zrekonstruowanego za em wymaga zróŝnicowania kierunków wiązki owej i odniesienia podczas rejestracji u (x,y) = f(x,y) exp(ikxsinθ) f(x,y) zespolona obwiednia o maksymalnej częstości przestrzennej ν s odpowiadającej kątowi θ s = arc sin λν s, θ s << θ a) odniesienia b) fala sprzęŝona Hologram u pozaosiowego: a) rejestracja; b) rekonstrukcja U(x,y) I r + f(x,y) 2 + I r f(x,y) exp(ikxsinθ) + I r f*(x,y) exp(-ikxsinθ) Dyskusja poszczególnych członów wzoru Kątowe rozdzielenie wiązek jeśli θ > 3θ s Zmniejszenie wpływu wiązki owej propagującej się wzdłuŝ osi z - I r >>

5 Holografia fourierowska Rejestracja transformaty F(ν x ) funkcji f(x,y) poprzez jej interferencję z wiązką odniesienia f(x,y) x F =θ x f F(ν x,ν y ) θ x f f płaszczyzna ogniskowa (x,y) = F(x F /λf ): rozkład amplitudy w płaszczyźnie ogniskowej soczewki a) rejestracja b) rekonstrukcja f f Hologram fali o amplitudzie zespolonej odpowiadającej transformacie Fouriera funkcji f(x,y): a) rejestracja, b) rekonstrukcja Wstawienie soczewki za em w celu uzyskania transformaty F(ν x,ν y )

6 Przestrzenne filtry holograficzne Filtr o zespolonej transmitancji amplitudowej H(ν x ) jest wstawiany w płaszczyznę częstości przestrzennych (ν x = x F /λf = y F /λf ) koherentnego procesora optycznego (4f ) Jeśli odpowiedź impulsowa filtra h(x,y) jest funkcją rzeczywistą, to moŝna zarejestrować Fouriera funkcji h(x,y) rejestrując transformatę Fouriera (x,y) = H(x F /λf ) a) rejestracja b) rekonstrukcja Holograficzny filtr Vander Lugta a) rejestracja transformaty Fouriera odpowiedzi impulsowej h(x,y); b) generowany tuŝ za em iloczyn transformat F(x F /λf ) i H(x F /λf ) jest transformowany przez soczewkę w splot f(x,y) h(x,y) Cały proces daje filtr przestrzenny o odpowiedzi impulsowej h(x,y) Stosując wiązkę rekonstruującą U r (x,y) = F(x F /λf ) z zakodowaną transformatą Fouriera funkcji wejściowej f(x,y), daje wiązkę U r (x,y) (x,y) = F(x F /λf) H(x F /λf ) Odwrotne przekształcenie Fouriera zrekonstruowanej wiązki (realizowane przez soczewkę umieszczoną za em) daje amplitudę zespoloną g(x,y) o transformacie Fouriera G(ν x ) = H(ν x ) F(ν x ) Funkcja g(x,y) odpowiada więc splotowi funkcji f(x,y) z funkcją h(x,y) Operacja splotu jest jedną z podstawowych operacji filtracji częstości przestrzennych

7 Operację korelacji (zamiast operacji splotu) otrzymuje się na drodze optycznej realizacji przekształcenia Fouriera wiązki sprzęŝonej U r (x,y) *(x,y) = F(x F /λf ) H*(x F λ/f, y F /λf ) Zastosowania w przetwarzaniu i rozpoznawaniu obrazów Holografia objętościowa Do tej pory zakładano małą grubość materiału, w którym rejestrowano (tzw y cienkie) ZałóŜmy teraz skończoną grubość materiału rejestrującego Interferencja fal płaskich w przestrzeni PoniewaŜ k r = k 0 = 2π/λ i k g = 2π/Λ, mamy 2π/Λ = 2(2π/λ)sin(θ/2), a więc Λ = λ/2sin(θ/2) Rozkład intensywności w przestrzeni (x,y,z) opisuje wzór I(x,y,z) = I r exp(-ik r r) exp(-ik 0 r) 2 = I r + 2(I r ) cos (k 0 r k r r)= I r + 2(I r ) cos (k g r), gdzie k g = k 0 k r Wzór ten opisuje sinusoidalny rozkład intensywności o okresie przestrzennym Λ = 2π/ k g, płaszczyzny stałej intensywności są prostopadłe do wektora k g W podpisie do rysunku przedstawiono wyznaczenie okresu przestrzennego Λ dla przypadku wzajemnego usytuowania interferujących wiązek jak na rysunku Jeśli oświetlimy objętościowy wiązką rekonstruującą to płaszczyzny interferencji odbiją tę wiązkę tylko w przypadku, gdy spełniony będzie tzw warunek Bragga sin Φ = λ/2λ, gdzie Φ oznacza kąt między płaszczyznami siatki i kierunkiem padającej wiązki rekonstruującej W naszym przypadku Φ = θ/2, a więc sin(θ/2) = λ/2λ Z geometrii wynika, Ŝe fala odbita stanowi przedłuŝenie fali owej, a więc nastąpił proces rekonstrukcji

8 Odbicie braggowskie wiązki rekonstruującej w grubym ie daje odtworzenie wiązki owej Zagadnienie chromatyzmu odbicia braggowskiego Mimo Ŝe proces rejestracji musi być realizowany za pomocą promieniowania quasimonochromatycznego, rekonstrukcję moŝna realizować w świetle polichromatycznym Inne geometrie holografii z wykorzystaniem ów objętościowych pokazano poniŝej a) b) odniesienia odniesienia fala sprzęŝona Dwa sposoby rejestracji i rekonstrukcji u objętościowego a) rekonstrukcja za pomocą wiązki przeciwbieŝnej; zrekonstruowana fala jest fala sprzęŝoną propagującą się przeciwbieŝnie względem oryginalnej wiązki owej b) rejestracja u odbiciowego za pomocą wiązek biegnących z przeciwnych stron u; fala owa jest rekonstruowana przez odbicie od objętościowej siatki dyfrakcyjnej