Elektrodynamika. Część 8. Fale elektromagnetyczne. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Transkrypt

1 Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Spis treści 9 Fale elektromagnetyczne Fale w jednym wymiarze Fale elektromagnetyczne w próżni Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym Absorpcja i dyspersja

2 9 Fale elektromagnetyczne 9.1 Fale w jednym wymiarze Równanie falowe f f(z, 0) f(z,t) v vt z f(z,t) =f(z vt, 0) =g(z vt) 2 f z 2 = 1 2 f v 2 t 2 równanie falowe f(z,t) =g(z vt) +h(z +vt) rozwiązanie ogólne

3 9.1.2 Fale sinusoidalne (i) Terminologia maksimum centralne f(z, 0) A v z δ/k λ f(z,t) =A cos[k(z vt) +δ] λ = 2π k, λ długość fali,k liczba falowa T = 2π kv =λ v, okres ν = 1 T =kv 2π =v λ, częstość ω = 2πν =kv, częstość kątowa f(z,t) =A cos(kz ωt +δ) fala biegnąca w prawo f(z,t) =A cos( kz ωt +δ) fala biegnąca w lewo,k k

4 (ii) Notacja zespolona e iθ = cosθ +i sinθ wzór Eulera f(z,t) = Re[Ae i(kz ωt+δ) ] f(z,t) Ãei(kz ωt) zespolona funkcja falowa à =Ae iδ zespolona amplituda f(z,t) = Re[ f(z,t)] (iii) Liniowe kombinacje fal sinusoidalnych f(z,t) = Ã(k)e i(kz ωt) dk każdą falę można przedstawić w postaci kombinacji liniowej fal sinusoidalnych AmplitudęÃ(k) można wyznaczyć z warunków początkowychf(z, 0) i f(z, 0) przy wykorzystaniu teorii transformat Fouriera.

5 9.1.4 Polaryzacja v fala podłużna x v y z fala poprzeczna: polaryzacja pionowa, fv (z,t) =Ãei(kz ωt) ˆx

6 x v y fala poprzeczna: polaryzacja pozioma, fh (z,t) =Ãei(kz ωt) ŷ z ˆn x θ v y z fala poprzeczna: polaryzacja ukośna, f(z,t) = Ãe i(kz ωt) ˆn ˆn = cosθ ˆx + sinθŷ, θ kąt polaryzacji f(z,t) = (Ã cosθ)ei(kz ωt) ˆx + (Ã sinθ)ei(kz ωt) ŷ

7 9.2 Fale elektromagnetyczne w próżni Równanie falowe dla E i B (i) E = 0, (iii) E = B t, E (ii) B = 0, (iv) B =µ 0 ǫ 0 ( ( E) = ( E) E = t, = t ( B) = µ 2 E 0ǫ 0 t ( 2 ( B) = ( B) B = równania Maxwella w obszarach bez ładunków ) i prądów B t =µ 0 ǫ 0 t ( E) = µ 2 B 0ǫ 0 t 2 µ 0 ǫ 0 E t ) E = 0 i B = 0 w obszarach bez ładunków f = 1 v 2 2 f t 2 v = 1 µ0 ǫ 0 = 3, m/s 2 E E =µ 0 ǫ 0 t 2, B =µ 2 B 0ǫ 0 t 2 każda składowa pól E i B spełnia trójwymiarowe równanie falowe prędkość fali elektromagnetycznej w próżni

8 9.2.2 Fale monochromatyczne płaskie Ẽ(z,t) = Ẽ0e i(kz ωt), B(z,t) = B0 e i(kz ωt) x v y z fala płaska E = 0 i B = 0 (Ẽ0) z = ( B 0 ) z = 0 fale są poprzeczne E = B t k(ẽ0) y =ω( B 0 ) x, k(ẽ0) x =ω( B 0 ) y B 0 = k (ẑ Ẽ0) ω B 0 = k ω E 0 = 1 c E 0 pola E i B są zgodne w fazie i wzajemnie prostopadłe amplitudy pola elektrycznego i magnetycznego są ze sobą związane

9 x E 0 E c E 0 /c y B z Jeśli Ẽ(z,t) =Ẽ0e i(kz ωt) ˆx, to B(z,t) = 1 cẽ0e i(kz ωt) ŷ E(z,t) =E 0 cos(kz ωt +δ) ˆx B(z,t) = 1 c E 0 cos(kz ωt +δ)ŷ pola rzeczywiste Kierunek pola elektrycznego określa polaryzację fali elektromagnetycznej.

10 r ˆk r c k dowolny kierunek propagacji Ẽ(r,t) =Ẽ0e i(k r ωt) ˆn B(r,t) = 1 cẽ0e i(k r ωt) (ˆk ˆn) = 1 c ˆk Ẽ(r,t) ˆn k = 0 fala poprzeczna ˆn wektor polaryzacji, k wektor falowy E(r,t) =E 0 cos(k r ωt +δ) ˆn B(r,t) = 1 c E 0 cos(k r ωt +δ)(ˆk ˆn)

11 9.2.3 Energia i pęd fal elektromagnetycznych u = 1 2 (ǫ 0 E 2 + 1µ0 B 2 ) B 2 = 1 c 2E2 =µ 0 ǫ 0 E 2 dla płaskiej fali monochromatycznej u =ǫ 0 E 2 =ǫ 0 E 2 0 cos 2 (kz ωt +δ) wkład elektryczny i magnetyczny są równe S = 1 µ 0 (E B) gęstość strumienia energii S =cǫ 0 E 2 0 cos 2 (kz ωt +δ)ẑ =cuẑ dla płaskiej fali monochromatycznej = 1 c 2S gęstość pędu = 1 c ǫ 0E 2 0 cos 2 (kz ωt +δ)ẑ = 1 c uẑ dla płaskiej fali monochromatycznej u = 1 2 ǫ 0E 2 0 S = 1 2 cǫ 0E 2 0ẑ średnie po okresie = 1 2c ǫ 0E 2 0ẑ I S = 1 2 cǫ 0E 2 0 natężenie fali

12 9.3 Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym Rozchodzenie się fal w ośrodkach liniowych (i) D = 0, (iii) E = B t, (ii) B = 0, (iv) H = D t, D =ǫe, H = 1 µ B w ośrodku liniowym (i) E = 0, (iii) E = B t, (ii) B = 0, (iv) B =µǫ E t, µ 0 ǫ 0 µǫ jeśli nie ma ładunków i prądów swobodnych w ośrodku liniowym i jednorodnym v = 1 ǫµ = c n n ǫµ ǫ 0 µ 0 współczynnik załamania µ/µ 0 = 1, n = ǫr dla większości materiałów Poprzednie wyniki pozostają słuszne po zamianie ǫ 0 ǫ,µ 0 µ,c v u = 1 2 (ǫe 2 + 1µ B2 ) gęstość energii

13 S = 1 (E B) µ wektor Poyntinga I = 1 2 ǫve2 0 natężenie fali Co się dzieje, gdy fala przechodzi z jednego ośrodka do drugiego? (i) ǫ 1 E 1 =ǫ 2E 2, (iii) E 1 = E 2, (ii) B 1 =B 2, (iv) 1 µ 1 B 1 = 1 µ 2 B 2, warunki brzegowe Odbicie i przejście przy padaniu prostopadłym x 1 2 B I E I v 1 E T v 1 E R v 2 B R B T z y powierzchnia graniczna

14 Ẽ I (z,t) =Ẽ0 I e i(k 1z ωt) ˆx B I (z,t) = 1 v 1 Ẽ 0I e i(k 1z ωt)ŷ Ẽ R (z,t) =Ẽ0 R e i( k 1z ωt) ˆx B R (z,t) = 1 v 1 Ẽ 0R e i( k 1z ωt)ŷ Ẽ T (z,t) =Ẽ0 T e i(k 2z ωt) ˆx B T (z,t) = 1 v 2 Ẽ 0T e i(k 2z ωt)ŷ fala padająca fala odbita fala przechodząca Ẽ 0I +Ẽ0 R =Ẽ0 T z (iii) 1 1 Ẽ 0I µ 1( 1 ) Ẽ 0R v 1 v 1 = 1 µ 2 ( 1 v 2 Ẽ 0T ) z (iv) Ẽ 0I Ẽ0 R =βẽ0 T, β µ 1v 1 = µ 1n 2 µ 2 v 2 µ 2 n 1 ( ) ( ) 1 β 2 Ẽ 0R = Ẽ 0I, Ẽ 0T = Ẽ 0I 1 +β 1 +β ( ) ( ) v2 v 1 2v2 Ẽ 0R = Ẽ 0I, Ẽ 0T = Ẽ 0I dlaµ 1 =µ 2 =µ 0 v 2 +v 1 v 2 +v 1 E 0R = v 2 v 1 v 2 +v E 0 I, E 0T = 2v 2 1 v 2 +v E amplitudy 0 I 1 rzeczywiste

15 E 0R = n 1 n 2 n 1 +n E 0 I, E 0T = 2 2n 1 n 1 +n E 0 I 2 amplitudy rzeczywiste I = 1 2 ǫve2 0 natężenie fali R I R I I = ( E0R E 0I ) 2 = ( ) n1 n 2 2 współczynnik odbicia n 1 +n 2 T I T I I = ǫ 2v 2 ǫ 1 v 1 ( E0T E 0I ) 2 = 4n 1n 2 (n 1 +n 2 ) 2 współczynnik przejścia R + T = 1 zasada zachowania energii Odbicie i przejście przy padaniu ukośnym k R k T θ R θ I θ T z 1 2 k I płaszczyzna padania

16 Ẽ I (r,t) = Ẽ0 I e i(k I r ωt) B I (r,t) = 1 v 1 [ˆk I ẼI(r,t)] fala padająca Ẽ R (r,t) = Ẽ0 R e i(k R r ωt) B R (r,t) = 1 v 1 [ˆk R ẼR(r,t)] fala odbita Ẽ T (r,t) = Ẽ0 R e i(k T r ωt) B T (r,t) = 1 v 2 [ˆk T ẼT(r,t)] fala przechodząca k I v 1 =k R v 1 =k T v 2 =ω k I =k R = v 2 v 1 k T = n 1 n 2 k T (...)e i(k I r ωt) + (...)e i(k R r ωt) = (...)e i(k T r ωt) dlaz= 0 k I r = k R r = k T r dlaz= 0 x(k I ) x +y(k R ) y =x(k R ) x +y(k R ) y =x(k T ) x +y(k T ) y (k I ) y = (k R ) y = (k T ) y dlax = 0 (k I ) x = (k R ) x = (k T ) x dlay= 0 Wektory falowe fali padającej, odbitej i przechodzącej leżą w tej samej płaszczyźnie płaszczyźnie padania wyznaczonej przez wektor falowy fali padającej i normalną do powierzchni

17 k I sinθ I =k R sinθ R =k T sinθ T θ I kąt padania, θ R kąt odbicia, θ T kąt załamania Kąt padania jest równy kątowi odbicia θ I =θ R Prawo załamania, prawo Snella sinθ T sinθ I = n 1 n 2 n 1 <n 2, θ T <θ I ; n 1 >n 2, θ T >θ I ( ) n2 całkowite wewnętrzne n 1 >n 2, dla θ I >θ gr arcsin n 1 odbicie k R θ R θ I z k I 1 2 płaszczyzna padania całkowite wewnętrzne odbicie (n 1 >n 2 )

18 k R x B R E R ET k T B T θ R θ I θ T z E I k I B I 1 2 płaszczyzna padania fala spolaryzowana w płaszczyźnie padania (i) (ii) (iii) ǫ 1 (Ẽ0 I + Ẽ0 R ) z =ǫ 2 (Ẽ0 T ) z ( B 0I + B 0R ) z = ( B 0T ) z (Ẽ0 I + Ẽ0 R ) x,y = (Ẽ0 T ) x,y (iv) 1 µ 1 ( B 0I + B 0R ) x,y = 1 µ 2 ( B 0T ) x,y na granicy ośrodków Dla polaryzacji równoległej do płaszczyzny padania: ǫ 1 ( Ẽ0 I sinθ I +Ẽ0 R sinθ R ) =ǫ 2 ( Ẽ0 T sinθ T ) z (i) (Ẽ0 I cosθ I +Ẽ0 R cosθ R ) =Ẽ0 T cosθ T z (iii) 1 (Ẽ0 µ 1 v I Ẽ0 R ) = 1 Ẽ 0T z (iv) 1 µ 2 v 2

19 Ẽ 0I Ẽ0 R =βẽ0 T z praw odbicia i załamania β µ 1v 1 µ 2 v 2 = µ 1n 2 µ 2 n 1 Ẽ 0I +Ẽ0 R =αẽ0 T α cosθ T cosθ I ( ) α β Ẽ 0R = Ẽ 0I, Ẽ 0T = α +β ( ) 2 Ẽ 0I α +β równania Fresnela E 0T E 0I θ B E 0R E 0I n 2 n 1 = 1.5 θ I

20 α = sin 2 θ B = 1 sin 2 θ T cosθ I = 1 [(n1 /n 2 ) sinθ I ] 2 cosθ I 1 β 2 (n 1 /n 2 ) 2 β 2 kąt Brewstera µ 1 =µ2 β =n 2 /n 1, sin 2 θ B =β 2 /(1 +β 2 ) typowo tgθ B = n 2 n 1 I I = 1 2 ǫ 1v 1 E 2 0 I cosθ I I R = 1 2 ǫ 1v 1 E 2 0 R cosθ R I T = 1 2 ǫ 2v 2 E 2 0 T cosθ T natężenie fali padającej natężenie fali odbitej natężenie fali przechodzącej R I R I I = ( E0R T I T I I = ǫ 2v 2 ǫ 1 v 1 ) 2 = E 0I ( E0T E 0I ( ) 2 α β współczynnik odbicia α +β ) 2 cosθt =αβ cosθ I ( 2 ) 2 współczynnik α +β przejścia

21 T R θ B n 2 n 1 = 1.5 θ I k R x E R B R E T k T B T θ R θ I θ T z E I 1 2 k I B I płaszczyzna padania fala spolaryzowana prostopadle do płaszczyzny padania

22 Dla polaryzacji prostopadłej do płaszczyzny padania: (i) (ii) (iii) ǫ 1 (Ẽ0 I + Ẽ0 R ) z =ǫ 2 (Ẽ0 T ) z ( B 0I + B 0R ) z = ( B 0T ) z (Ẽ0 I + Ẽ0 R ) x,y = (Ẽ0 T ) x,y (iv) 1 µ 1 ( B 0I + B 0R ) x,y = 1 µ 2 ( B 0T ) x,y Ẽ 0I +Ẽ0 R =Ẽ0 T Ẽ 0I Ẽ0 R =αβẽ0 T z (iii) z (iv) na granicy ośrodków Ẽ 0R = ( ) 1 αβ Ẽ 0I, Ẽ 0T = 1 +αβ ( ) 2 Ẽ 0I 1 +αβ równania Fresnela E 0T E 0I E 0R E 0I θ I n 2 n 1 = 1.5

23 R (Ẽ0R Ẽ 0I T ǫ 2v 2 ǫ 1 v 1 α ) 2 = (Ẽ0T Ẽ 0I ( ) 2 1 αβ współczynnik odbicia 1 +αβ ) 2 ( ) 2 2 =αβ współczynnik przejścia 1 +αβ T R n 2 n 1 = 1.5 θ I

24 9.4 Absorpcja i dyspersja Fale elektromagnetyczne w przewodnikach J sw =σe prawo Ohma (i) E = 1 ǫ ρ sw, (iii) E = B t, (ii) B = 0, (iv) B =µσe +µǫ E t, J sw = ρ sw t równanie ciągłości równania Maxwella ρ sw t = σ( E) = σ ǫ ρ sw ρ sw (t) = e (σ/ǫ)t ρ sw (0) Ładunek swobodny szybko rozpływa się na brzegi (i) E = 0, (iii) E = B t, (ii) B = 0, (iv) B =µǫ E t +µσe, E =µǫ 2 E t 2 B =µǫ 2 B t 2 Ẽ(z,t) = +µσ E t +µσ B t Ẽ0e i( kz ωt) B(z,t) = B 0 e i( kz ωt) równania Maxwella zmodyfikowane równania falowe rozwiązania k 2 =µǫω 2 +iµσω zespolona liczba falowa k =k+iκ

25 k ω ǫµ 2 κ ω ǫµ 2 [ ] ) 1/ ( σ ǫω + 1 [ ] ) 1/2 1 +( σ 2 ǫω 1 Ẽ(z,t) = Ẽ0e κz e i(kz ωt) B(z,t) = B 0 e κz e i(kz ωt) rozwiązania d 1 κ głębokość wnikania λ = 2π k, v =ω k, n =ck ω Ẽ(z,t) =Ẽ0e κz e i(kz ωt) ˆx B(z,t) = ωẽ0e k κz e i(kz ωt) ŷ k =Ke iφ z równań Maxwella pola są prostopadłe K k = k 2 +κ 2 =ω ǫµ 1 + ( κ φ arctg k) ( ) σ 2 ǫω B 0 e iδ B = Keiφ ω E 0e iδ E pola nie są w fazie δ B δ E =φ

26 B 0 E 0 = K ω = ǫµ 1 + ( ) σ 2 rzeczywiste amplitudy ǫω E(z,t) =E 0 e κz cos(kz ωt +δ E ) ˆx B(z,t) =B 0 e κz cos(kz ωt +δ E +φ)ŷ rozwiązania rzeczywiste x E y B z Odbicie na powierzchni przewodzącej (i) ǫ 1 E 1 ǫ 2E 2 =σ sw, (iii) E 1 = E 2, (ii) B1 =B 2, (iv) 1 µ 1 B 1 1 µ 2 B 2 = K sw ˆn, Ẽ I (z,t) =Ẽ0 I e i(k 1z ωt) ˆx fala padająca B I (z,t) = 1 v 1 Ẽ 0I e i(k 1z ωt)ŷ Ẽ R (z,t) =Ẽ0 R e i( k 1z ωt) ˆx fala odbita B R (z,t) = 1 v 1 Ẽ 0R e i( k 1z ωt)ŷ Ẽ T (z,t) =Ẽ0 T e i( k 2 z ωt) ˆx B T (z,t) = k fala przechodząca 2 ω Ẽ 0T e i( k 2 z ωt)ŷ

27 Ẽ 0I +Ẽ0 R =Ẽ0 T z (iii) 1 µ 1 v 1 (Ẽ0 I Ẽ0 R ) k 2 µ 2 ωẽ0 T = 0 z (iv) przy K sw = 0 Ẽ 0I Ẽ0 R = βẽ0 T β µ 1v 1 µ 2 ω k 2 Ẽ 0R = ( ) 1 β 1 + β Ẽ 0I, Ẽ 0T = ( ) β Ẽ 0I Ẽ 0R = Ẽ0 I, Ẽ 0T = 0 dla doskonałego przewodnika ( k 2 = ) Zależność przenikalności elektrycznej od częstości v = ω k prędkość fazowa v g = dω dk prędkość grupowa Elektron związany można potraktować jak tłumiony oscylator harmoniczny. m d2 x dx +mγ dt2 dt +mω2 0x =qe 0 cos(ωt) d 2 x d x +γ dt2 dt +ω2 0 x = q m E 0e iωt w zmiennych zespolonych

28 x(t) = x 0 e iωt x 0 = q/m ω 2 0 ω2 iγω E 0 p(t) =q x(t) = P = Nq2 m j amplituda drgań q 2 /m ω0 2 ω2 iγω E 0e iωt moment dipolowy f j ωj 2 Ẽ ω2 iγ j ω polaryzacja ośrodka P =ǫ 0 χ e Ẽ ǫ =ǫ 0 (1 + χ e ) zespolona podatność elektryczna zespolona przenikalność elektryczna ǫ r = 1 + Nq2 mǫ 0 Ẽ = ǫµ 0 2 Ẽ t 2 j f j ω 2 j ω2 iγ j ω zespolona względna przenikalność elektryczna równanie falowe dla danej częstości w ośrodku dyspersyjnym Ẽ(z,t) = Ẽ0e i( kz ωt) rozwiązanie k ǫµ 0 ω = ω c ǫr zespolona liczba falowa k =k+iκ Ẽ(z,t) = Ẽ0e κz e i(kz ωt)

29 α = 2κ współczynnik absorpcji n = ck ω k = ω c współczynnik załamania ǫr = ω c 1 + Nq2 2mǫ 0 n = ck ω = 1 + Nq2 2mǫ 0 α = 2κ = Nq2 ω 2 mǫ 0 c j j j f j ωj 2 ω2 iγ j ω f j (ω 2 j ω2 ) (ω 2 j ω2 ) 2 +γ 2 j ω2 f j γ j (ω 2 j ω2 ) 2 +γ 2 j ω κ(ω) κ(ω j ) ω/ω j 0.4 [n(ω) 1] ω j κ(ω j )c 0.6 dyspersja anomalna γ j /ω j = 0.2

30 n = 1 + Nq2 2mǫ 0 1 j ( ωj 2 = 1 ω2 ωj 2 n = 1 + Nq2 2mǫ 0 j ( n = 1 +A f j ωj 2 daleko od rezonansów ω2 ) 1 ( ) 1 = ωj ω2 ωj 2 dlaω<ω j 1 ω2 ωj 2 f j ωj 2 +ω 2 Nq2 2mǫ B λ 2 ) wzór Cauchy ego dla gazów w obszarze optycznym j f j ω 4 j