Równania Maxwella. Wstęp E B H J D

Transkrypt

1 Równania Maxwella E B t, H J D t, D, B 0 Równania materiałowe B 0 H M, D 0 E P, J E, gdzie: 0 przenikalność elektryczną próżni ( As/Vm), 0 przenikalność magetyczną próżni ( Vs/Am), przewodnictwo właściwe P i M elektryczny i magnetyczny moment dipolowy 0 r, 0 r dla niemagnetycznych materiałów: r 1 1

2 Prawo zachowania ładunku J t E x,y,z,t Re E x,y,z e i t 1 E x,y,z e i t E x,y,z e i t, E E x,y,z - fazor Równania Maxwella w postaci zespolonej E i B, H J i D, D, B 0 J i 0 Natężenie światła Impedancja właściwa E H 0 0 1/ 377 Praca wykonana przez pole w jednostce czasu i w jednostce objętości

3 W J E J E E H E D t Ale E H H E E H więc J E E H H B E t D t lub J E U S t Wektor Poyntinga S E H Gęstość energii pola U 1 E D H B Natężenie światła T I S 1 T 0 S dt 3

4 Natężenie Ponieważ Energia Powierzchnia Czas J m s u E 0 E, i u B 1 0 B Ale E cb, to u E u B, czyli całkowitą gęstość energii u 0 E Energia przepływająca przez powierzchnię A, w czasie t, zprędkością c czyli natężenie uc A t, albo I uc A t A t I 0 ce uc, 4

5 Równanie falowe w próżni Wpróżni: 0 i 0 Równanie falowe E 0 0 E t, Prędkość światła wpróżni: c 1/ 0 0 Przy propagacji w kierunku z: E 1 E 0 z c t Równanie Helmholtza E E 0, - stała propagacji 5

6 Rozwiązania równania falowego Fale płaskie k r const, gdzie: k jest wektorem falowym (w próżni k 0 / 0 ), a r wektorem położenia czoła fali Sposób zapisu E r, t E sin t k r, E r,t 1 E 0 exp i t k r cc, E r,t E 0 exp i t k r, Fale sferyczne Używamy współrzędne sferyczne (r,, ) x rsin cos, y rsin sin, z rcos 6

7 Operator Laplace a 1 r r r r 1 r sin 1 r sin sin Dla fal sferycznie symetrycznych nie ma zależności od i i 1 r r r r r re 1 v Rozwiązania E r, t E r sin t k r, E r,t 1 r r Er t 0 r, E 0 r exp i t k r cc, E r,t E 0 r exp i t k r 7

8 Fale paraksjalne E r E 0 r exp ikz Niech E 0 r będzie wolno zmienne z z Tak, że w odległości z spełniona jest relacja E 0 E 0 Niech kształt obwiedni fali E 0 z,x jest też wolno-zmienne z z i nie zależy ody Ponieważ zatem E 0 E 0 z z E 0 z E 0 z E 0, E 0k E 0k Tak więc E 0 ke 0 z Łatwo pokazać, że E 0 k E z 0, jeśli tylko E 0 / z wolnozmieniasię z z Stąd paraksjalne równanie Helmholtza T E 0 ik E 0 z 0, 8

9 gdzie: T jest poprzecznym operatorem Laplace a Rozwiązaniem jest między innymi fala paraboidalna, wiązka gaussowska Fale paraboidalne Zakladmy, że Oznaczmy x y 1/ z x y, z przy czym 1 Więc r x y z 1/ z 1 1/ z z 1 z x y z Zespolona amplituda fali E 0 z exp ikz exp ik x y z Przybliżenie Fresnela fali sferycznej fala 9

10 paraboidalna Czynnik modulujący falę płaską 1 z exp ik x y, z Fale sferyczne Fale paraboidalne Fale płaskie Ewolucja kształtu frontu falowego w zależności od odległości od źródła Fale Bessela Fale wolne od dyfrakcji (ang diffraction free waves) fala Bessela E r, t E 0 J 0 e i t z, gdzie: k, 0, 0 k /, x y, r x, y, z, a J 0 s jest funkcją Bessela J 0 s 1 exp issin d 0 Rozwiązania równania Helmholtza T E 0 x,y E 0 x,y 0 gdzie: T jest poprzecznym Laplasjanem 10

11 T x y a pole ma postać E r E 0 x,y exp i z, We współrzędnych polarnych (x cos, y sin ) E 0 x,y A m J m exp im, m 0, 1, gdzie: J m jest funkcją Bessela pierwszego rodzaju, m tego rzędu, A m jest stałą Związek między stałymi i z równania Helmhotza c Dla m 0 fala płaska Rozkład natężenia I,,z E 0 J 0 k jest kołowosymetryczny, zmienia się z Różnice między wiązką gaussowską i Bessela 11

12 Właściwości wiązki Bessela: 1 Stała średnica rozkładu natężenia Zanik natężenia powyżej pewnego z z max 3 Wiązeki Bessela wyższych rzędów Wytwarzanie wiązek Bessela Wiązki gaussowskie Niech E x,y,z,t E 0 x,y,z exp i t kz Paraksjalne równanie Helmholtza x ik y z 0 Rozwiązanie exp F z x y F 1 z Wtedy x y F 1 z ik F 1 z F 1 z F 1 z ikf z gdzie primowanie oznacza różniczkowanie po z 1

13 Odległość Rayleigha z 0 Kąt rozbieżności Rozkład natężenia w 0 Θ R w 0 w(z) z=0 Przewężenie Powierzchnia fazowa Zatem i Parametry promienia gaussowskiego F 1 z A z ik, F z ln z iak Jeśli A rzeczywiste, wtedy x y F 1 z x y A z ik A z ik B, A z ik x y A iz k A 4z k Część rzeczywista x,y,z exp x y A A 4z k 13

14 Szerokośc wiązki przewężenie wiązki gaussowskiej A w 0 to średnica plamki w 0 W obszarze o promieniu w z 955% energii wiązki W dowolnym punkcie z połowa średnicy wiązki (promień) w z w 0 z 1 z kw 0 Część urojona F 1 z opisuje zmianę fazy, a frony falowy x y k kz const kw z 1 0 Promień krzywizny frontu falowego R z z z 1 kw 0 z Wprzewężeniu, gdzie z 0, front falowy jest płaski, ale ograniczony przestrzennie wymiarami do w 0 Ponieważ 14

15 to gdzie: ln a ib ln a b iarctg b a, F z ln z k w 0 4 1/ e i B, arctg kw 0 z Zatem exp F z w 0 w z exp i Łącząc wzór na pole wiązki gaussowskiej E x,y,z,t E w 0 0 exp i t kz w z Zapiszmy x y ik 1 R z i kw r,z w 0 w z exp ik r q z z arctg z z 0, gdzie: r x y,aq t - parametr Kogelnika (lub zespolony parametr wiązki) 1 q z 1 R z iw 0 w z, 15

16 lub q z z iz 0, gdzie: z 0 stała rzeczywista Promień krzywizny frontu falowego apromień wiązki R z z 1 z z0 w z w 0 1 z z0 Parametr Kogelnika w optyce wiązek gaussowskich promień krzywizny w optyce wiązek sferycznych q q 1 z Prawo ABCD q Aq 1 B Cq 1 D Kąt rozbieżności tg w z R z idlamałych kątów kw 0, 16