PROPAGACJA PROMIENIOWANIA PRZEZ UKŁAD OPTYCZNY W UJĘCIU FALOWYM. TRANSFORMACJE FAZOWE I SYGNAŁOWE

Transkrypt

1 PROPAGACJA PROMIENIOWANIA PRZEZ UKŁAD OPTYCZNY W UJĘCIU FALOWYM. TRANSFORMACJE FAZOWE I SYGNAŁOWE prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Przedmiotem tej części wykładu są podstawowe transformacje fazowe i sygnałowe realizowane przez układ optyczny w oświetleniu koherentnym. Po wprowadzeniu zespolonej transmitancji pojedynczego układu optycznego przedstawiono optyczną realizację przekształcenia Fouriera. Układ złożony z dwóch elementów pojedynczych umożliwia formowanie obrazu z filtracją częstości przestrzennych.. Transformacja fazy czoła falowego Transmitancja fazowa soczewki (pojedynczego układu optycznego) w przybliżeniu przyosiowym wynosi () gdzie (2) f' oznacza ogniskową soczewki, n współczynnik załamania materiału soczewki, R i R 2 promienie krzywizn (formuła znaków jak w optyce geometrycznej; znaki R i R 2 decydują o znaku ogniskowej), δ 0 maksymalna grubość soczewki (w przypadku soczewki dwuwypukłej na osi). Pierwszy czynnik exp(iknδ 0 ) nie ma wpływu na kształt czoła falowego (stały czynnik fazowy w płaszczyźnie x-y). Druga funkcja wykładnicza opisuje charakterystyczne kwadratowe przekształcenie fazowe odpowiadające sferycznemu kształtowi czoła falowego. W przypadku oświetlenia soczewki wiązką o płaskim czole falowym za soczewką o f > 0 otrzymuje się falę zbieżną w płaszczyźnie ogniskowej obrazowej; gdy f' < 0 za soczewką propaguje się wiązka rozbieżna o środku krzywizny czoła falowego położonym w ognisku przedmiotowym, rys..

2 F' F' Rys. Przekształcenie płaskiego czoła falowego przez cienką soczewkę: a) f' > 0, b) f' < Optyczna realizacja przekształcenia Fouriera Niech cienki, płaski obiekt w postaci przeźrocza będzie oświetlony monochromatyczną wiązką o płaskim czole falowym, rys. 2. Propagację fali/zaburzenia od płaszczyzny y x y przedmiotu (sygnału przestrzennego) do płaszczyzny ogniskowej obrazowej można opisać t(x,y ) x y f stosując dwukrotnie wzór dyfrakcyjny w x f przybliżeniu Fresnela i operację podwójnego splotu (patrz część Podstawy Dyfrakcji). Otrzymuje się d (3) Rys. 2 Schemat układu do optycznej realizacji transformaty Fouriera sygnału przestrzennego za pomocą pojedynczego układu optycznego (soczewki lub obiektywu). Przeźrocze o transmitancji t(x,y ) oświetla monochromatyczna fala płaska (oświetlenie czasowo i przestrzennie koherentne). gdzie t(x,y) oznacza zespoloną transmitancję obiektu, oznacza operację splotu, h ( x,y) exp ikd = iλ d ( ) ik ( ) 2 2 x y exp 2d + (4)

3 oznacza odpowiedź impulsową układu swobodnej propagacji na odległości d od przedmiotu do soczewki, (5) oznacza transmitancję soczewki, gdzie funkcja źrenicy p(x,y) = w obszarze źrenicy soczewki i p(x,y) = 0 poza obszarem źrenicy, oraz (6) oznacza odpowiedź impulsową układu swobodnej propagacji na odległości f' między soczewką a jej płaszczyzną ogniskową obrazową. W rozwinięciu wzór (3) przyjmuje postać (7) Dodatkowo, gdy d = f', czynnik fazowy występujący przed całką i opisujący sferyczny front falowy staje się równy jedności. Wzór (7) łączy amplitudę zespoloną w płaszczyźnie ogniskowej obrazowej soczewki z transmitancją zespoloną przeźrocza (umieszczonego w płaszczyźnie ogniskowej przedmiotowej) poprzez przekształcenie Fouriera. Można udowodnić, że w omawianym przypadku szczególnym d = f' transformata Fouriera przeźrocza leży na płaszczyźnie, w innym przypadku jest ona zlokalizowana na sferze. Stosując odbiornik energetyczny czynnik fazowy przed znakiem całki (fazowa część transformaty) znika bez względu na położenie przedmiotu względem układu optycznego. Rozkład intensywności w płaszczyźnie obrazu źródła światła (płaszczyźnie ogniskowej obrazowej) nazywany jest widmem energetycznym sygnału. W omówionym układzie częstości przestrzenne transformaty Fouriera przedmiotu dane są przez zależności (8) Zmianę skali widma można realizować tylko przez zmianę długości fali λ lub ogniskowej soczewki f'. Ciągłą zmianę skali częstości przestrzennych można uzyskać wstawiając przeźrocze w wiązkę zbieżną za soczewką, rys. 3.

4 y x y x t(x,y ) y f x f d Rys. 3 Modyfikacja układu przedstawionego na rys. 2 polegająca na umieszczeniu przedmiotu między układem optycznym a płaszczyzną ogniskową obrazową w celu umożliwienia płynnej zmiany skali częstości przestrzennych. W przybliżeniu dyfrakcyjnym Fresnela otrzymuje się (9) gdzie p(xf'/d, yf'/d ) oznacza efektywną funkcję źrenicy. Częstości przestrzenne wynoszą teraz ν x = x F / λd i ν y = y F / λd i mogą być skalowane przez zmianę odległości d. 3. Filtracja częstości przestrzennych w oświetleniu koherentnym Do układu transformującego przedstawionego na rys. 2 dostawmy drugi pojedynczy układ optyczny. Dla przejrzystości rozważań rozważmy przypadek układu koherentnego procesora optycznego o odległościach między charakterystycznymi płaszczyznami układu równych ogniskowej f' obydwu soczewek (f ' = f 2 ' = f'), patrz rys. 4 (tzw. układ 4f').

5 K y x L ν x ν y L2 S x 2 y 2 Rys. 4 Koherentny procesor optyczny typu 4f'. Obiektywy L i L2 realizują w swych płaszczyznach ogniskowych obrazowych przekształcenie Fouriera rozkładu amplitud i faz z płaszczyzn ogniskowych przedmiotowych. Zmiana kierunku układu współrzędnych w płaszczyźnie obrazu może być interpretowana jako realizacja odwrotnego przekształcenia Fouriera przez L2 i jednocześnie odpowiada ujemnemu powiększeniu całego układu L-L2 równemu. Przy założeniu nieograniczonych wymiarów i bezaberracyjności układu optycznego, w płaszczyźnie wyjściowej x 2,y 2 (płaszczyźnie obrazu) otrzymuje się wierną replikę rozkładu amplitud i faz z płaszczyzny przedmiotowej x,y. W przypadku oświetlenia płaszczyzny przedmiotu wiązką o płaskim czole falowym propagującą się wzdłuż osi z, płaszczyzna ogniskowej obrazowej układu L odpowiada płaszczyźnie częstości przestrzennych funkcji transmitancji amplitudowo-fazowej przedmiotu. Częstości przestrzenne (ν x = x F /λf' = y F /λf') są w tej płaszczyźnie dostępne fizycznie i można je modyfikować przez wstawienie filtra o funkcji przenoszenia H (ν x, ν y ) umożliwiającej niezależną modyfikację amplitudy i fazy rozkładu amplitudy zespolonej U(ν x ). Zespolona transmitancja amplitudowa filtra spełnia warunki: (0) () i może być przedstawiona jako zbiór punktów leżących na lub wewnątrz jednostkowego okręgu w płaszczyźnie zespolonej, rys. 5. Z rysunku tego wynika możliwość syntezy trzech rodzajów filtrów: amplitudowych przez zmianę gęstości optycznej (filtrowi tego typu odpowiadają punkty leżące na osi rzeczywistej płaszczyzny zespolonej), fazowych realizacja opóźnień fazowych przez zmianę grubości optycznej (punkty na osi urojonej) oraz amplitudowo fazowych przez kombinację obydwu poprzednich technik.

6 Przykłady elementarnych amplitudowych filtrów przestrzennych: filtr dolnoprzepustowy o symetrii kołowej: H (ν x ) = dla ν x2 ν s2 ; H (ν x ) = 0 dla ν x2 > ν s2. Filtr ten zatrzymuje wyższe częstości przestrzenne i zmiękcza obraz. Filtr górnoprzepustowy o symetrii kołowej: H (ν x ) = 0 dla ν x2 ν s2 ; H (ν x ) = dla ν x2 > ν s2. Filtr ten służy, między innymi, do uwypuklania konturów przedmiotów. Filtr pasmowy, np. szczelina o kierunku pionowym blokująca lub znacznie zawężająca częstości o kierunku poziomym, a przepuszczająca częstości przestrzenne o kierunku pionowym. I m H(ν x,ν y ) Re H(ν x,ν y ) (-,0) (0,) (0,-) (,0) Rys. 5 Funkcja zespolonej transmitancji amplitudowej filtra przestrzennego. Jak już wspomniano wyżej zastosowanie drugiego obiektywu umieszczonego w odległości ogniskowej od płaszczyzny obrazu źródła światła (płaszczyzny częstości przestrzennych ν x i ν y ), prowadzi do utworzenia obrazu przedmiotu w płaszczyźnie wyjściowej. Płaszczyzna obrazu pokrywa się z płaszczyzną ogniskową obrazową obiektywu L2 jeśli przedmiot znajduje się w płaszczyźnie ogniskowej przedmiotowej obiektywu L. Należy podkreślić tutaj fakt, że w przedstawionym układzie optycznym mamy do czynienia z kolejno następującymi po sobie transformacjami Fouriera dokonywanymi przez obiektywy L i L2, a nie z przekształceniem odwrotnym następującym po pierwszym przekształceniu Fouriera. Przekształcenie odwrotne, które charakteryzuje jądro całkowe exp{i(ω x x + ω y y)}, gdzie ω x = 2πν x i ω y = 2πν y, jest wymagane z matematycznego punktu widzenia przy przejściu z płaszczyzny widmowej (częstości przestrzennych) do płaszczyzny wyjściowej (obrazu). Ażeby pogodzić te dwa fakty stosuje się odwrócony układ współrzędnych w płaszczyźnie wyjściowej, gdyż (2) gdzie TF oznacza operację przekształcenia Fouriera. W ten sposób układ optyczny może realizować odwrotne przekształcenie Fouriera i jednocześnie zachowana jest zgodność z formalizmem matematycznym. Należy zwrócić uwagę, że odwrócenie układu współrzędnych jest zgodne z ujemnym znakiem powiększenia układu L- L2. Na rys. 4 pokazano układ L-L2 o jednakowych ogniskowych f' obiektywów składowych. W przypadku ogólnym, gdy oznaczymy przez f ' i f 2 ' ogniskowe obiektywów L i L2, powiększenie wyniesie (-f 2 '/f ').