Wykład VI Dalekie pole

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład VI Dalekie pole"

Irena Barańska
5 lat temu
Przeglądów:

1 Wykład VI Dalekie pole

2 Schemat przypomnienie

3 Musimy znać rozkład fali padającej u pad (x,y) w płaszczyźnie układu optycznego Musimy znać funkcję transmitancji układu optycznego t(x,y) Określamy falę właśnie wychodzącą z przedmiotu U wych wzorem u wych (x,y) = u pad (x,y) t(x,y) Aby obliczyć rozkład amplitudy fali na ekranie u e (x e, y e ) musimy odwołać się do jednej z całek dyfrakcyjnych. Całkujemy wielkość u wych. Aby obliczyć natężenie światła na ekranie obliczamy kwadrat modułu u e : i = u e 2.

4 Całka dalekiego pola - przypomnienie dy dx y y x x z i k y x z i k y x P o o o o pad o exp 2 exp, u u y x z k o 1 2 exp 2 2 y x z k i o

5 Nowe zmienne

6 Całka dalekiego pola jest transformatą Fouriera

8 Obraz szczeliny prostokątnej

10 Przykład #2 Otwór kołowy

11 Otwór kołowy

14 r=1mm r=0,5mm r=0,25mm

15 Siatka dyfrakcyjna

16 Przypomnienie

18 d sin φ = mλ d sin(φ) = m n λ Bardzo prosty model każdą szczelinę reprezentuje punkt świecący znajdujący się w jej środku Teraz uwzględniamy powierzchnie szczeliny

19 Realizujemy schemat

20 Fala płaska poosiowa 1. Fala padająca

21 2. Funkcja transmitancji siatki

22 3. Fala wychodząca u x, y exp ikz t x, y wych

23 4. Całka dyfrakcyjna, w tym przypadku dalekiego pola

24 Obliczenie całki

25 Po faktoryzacji Ta całka da się sfaktoryzować

26 Część y-kowa ma postać jak dla szczeliny

sumowanie z całkowaniem Każdy składnik sumy zawiera

27 Część x-owa całkuje sumę wyrażeń, więc na mocy twierdzenia liniowości możemy zamienić kolejności sumowanie z całkowaniem Każdy składnik sumy zawiera przesuniętą szczelinę. Dla szczeliny bez przesunięcia rozwiązanie znamy

28 Dla szczeliny przesuniętej stosujemy twierdzenie o przesunięciu

29 Po złożeniu rozwiązań po x i y dostajemy wzór na amplitudę fali płaskiej po przejściu przez siatkę. Jednak forma tego wyrażenia jest mało przejrzysta Powinniśmy spróbować obliczyć sumę

30 Wyrażenia sumy tworzą ciąg geometryczny Wzór na sumę N wyrazów ciągu geometrycznego

31 Po jego zastosowaniu wyrażenie na dyfrakcję na siatce przyjmie postać To jeszcze nie to, czas na dalsze przekształcenia

32 Przekształcenia są dość żmudne ale mamy w odwodzie systemy CAS, dla przykładu obliczenia w pakiecie Mathematica Zastosuję instrukcję ExpToTrig, czyli konwertuj postać ekspotencjalną do trygonometrycznej fx fx Uprość jak się da tak otrzymany wynik, czyli do wyniku zastosuj instrukcję Simplify

33 Po uproszczeniu I, żeby było weselej wróć do postaci ekspotencjalnej, ale tylko z częścią wrażenia Wynik Po dopisaniu reszty wyrażenia

34 Zatem Csc[ dfxn] Csc[ dfx ] sin 1 df x fx f x

35 Po dołożeniu części y-kowej i stałych mamy Koniec kroku czwartego

36 5. Obliczenie natężenia Stałe są mało istotne

37 szerokość szczeliny a=1mm, stała siatki d=1mm, wysokość szczeliny d=2mm, ilość szczelin N=10.

38 szerokość szczeliny siatki wynosi a=0,5 jej wysokość b=2, stała siatki wynosi d=4, a ilość szczelin N=10.

39 Czy ten wynik można uogólnić?

40 Można ale musimy się do tego przygotować

41 Transformata Fouriera fali płaskiej poosiowej ce 2πixξ dx =?

42 Delta Diraca Ile wynosi pole pod funkcją h(x) która jest różna od zera tylko w jednym punkcie?

43 Podobnie jest dla każdej funkcji hh(x) która jest różna od zera w wielu izolowanych punktach

44 Na początku XX wieku fizycy zatęsknili za funkcją (oznaczę ją przez (x)), która byłaby różna od zera tylko w jednym punkcie a ponadto δ x f x dx = f 0

45 W latach 40-tych XX wieku a głównym sprawczym był matematyk francuski Laurent Schwarzt. Schwartz uogólnił pojęcie funkcji wprowadzając tzw. dystrybucje (funkcje uogólnione). Dystrybucja jest klasą odwzorowań liniowych, które przyporządkowują funkcjom z danego zbioru funkcji testowych liczby rzeczywiste. I tak dystrybucja delta Diraca zdefiniowana jest wzorem δ x f x dx = f 0 Czasem zapisujemy ją tak δ f = f 0

46 delta Diraca jest liniowa Nadto mamy δ αf 1 + βf 2 = α δ f 0 + β δ f 0 δ x x 0 f x dx = f x 0 δ x = δ x δ ax = 1 a δ x

47 W dwóch wymiarach δ x, y f x, y dxdy = f 0,0 δ x x 0, y y 0 f x, y dxdy = f x 0, y 0

48 Mogę teraz odpowiedzieć na pytanie ile wynosi transformata Fouriera funkcji stałej f(x)=c. W tym celu złóżmy transformatę Fouriera z odpowiadającą jej transformatą odwrotną c = c e 2πix ξ dx e 2πixξ dξ

49 Jeżeli formalnie zamienimy kolejność całkowania to otrzymamy c = c e 2πi x x ξ dξ d x widać, że wyrażenie w nawiasie musi być dystrybucją delta Diraca e 2πi x x ξ dξ = δ x c δ x d x = c1 = c

50 Zatem transformata Fouriera funkcji stałej jest dystrybucją delta Diraca przemnożoną przez wartość funkcji. c e 2πixξ dx = c δ x

51 Siatka uogólniona

52 Regularny układ trójkątnych otworów Trian to funkcja transmitancji otworu O kształcie trójkąta

53 Kolejna przerwa tym razem na splot

54 Splot funkcji f i h

55 x? Splot x f x g x f h x d

56 1 1 0

57 Twierdzenie o splocie

58 Splotowy zapis funkcji transmitancji dla N- otworów Funkcja lokalizacji Funkcja lokalizacji pokazuje współrzędne środków trójkątów

61 Twierdzenie o splocie

62 Twierdzenie o uszeregowaniu Amplitudę zespoloną obrazu dyfrakcyjnego w dalekim polu, przedmiotu złożonego z układu elementarnych elementów można przedstawić jako iloczyn amplitudy zespolonej reprezentującej obraz interferencyjny funkcji lokalizacji tych elementów oraz amplitudy zespolonej reprezentującej obraz dyfrakcyjny pojedynczego elementarnego elementu

63 Przykład zastosowania

64 Badanie kryształów

65 Obrazy

66 Atom i jego obraz dyfrakcyjny

67 Siedmioatomowa molekuła i jej obraz dyfrakcyjny

70 Najważniejszy przykład

71 Nieograniczona siatka harmoniczna

73 Widmo siatki harmonicznej

74 Obraz siatki w mikroskopie

75 Wymagania Transformaty Fouriera twierdzenie o liniowości, przesunięciu i podobieństwie Twierdzenie o splocie Częstości przestrzenne Całka dalekiego pola jako rozkład na fale płaskie Twierdzenie o uszeregowaniu

76 Przykładowe zadanie Wskaż prawidłowe zdanie dotyczące binarnej siatki dyfrakcyjnej a) Im gęstsza jest siatka tym więcej maksimów jest widocznych na ekranie o zadanej szerokości i znajdującym się w zadanej odległości od siatki; b) im większa jest długość fali tym większy jest kąt ugięcia płaskiej fali padającej na siatkę dyfrakcyjną; c) obraz siatki można uzyskać jako iloczyn dwóch członów: opisującego ugięcie na pojedynczej szczelinie i opisującego interferencję fal rozchodzących się ze środków szczelin siatki; d) rozdzielczość siatki nie zależy od jej stałej

Podobne dokumenty

Wykład VII Splot i bliskie pole

Wykład VII Splot i bliskie pole Splot funkcji f i h x? Splot x f x g x f h x d 0 0 1 1 1 2 3 3 3 1 1 0 Twierdzenie o splocie Twierdzenie o splocie Twierdzenie o uszeregowaniu Amplitudę zespoloną obrazu