x od położenia równowagi

Transkrypt

1 RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora natężenia pola elektrcnego, wartość ciśnienia akustcnego ) ożna opisać funkcją kosinus lub sinus, to taki ruch nawa się ruche haronicn. W dalsej cęści wkładu poinie tłuienie tego ruchu cli ajie się ruche haronicn prost. Równanie ruchu haronicnego prostego Otra równanie ruchu haronicnego prostego posługując się prkłade echanicnego osclatora łożonego nieważkiej sprężn i podcepionej do jednego jej końców as. Tarcie poinie. Masa odchlona o od położenia równowagi wkonuje proste drgania haronicne -osclator w równowade F = k - osclator odchlon o od polożenia równowagi Sprężna diała na asę siłą sprężstości F preciwną do jej wchlenia F = k, (8.) gdie k to współcnnik sprężstości sprężn. Z drugiej asad dnaiki. d k. dt = (8.)

2 k Po wprowadeniu onacenia =, gdie to cęstość drgań osclatora, otra d. dt + = (8.3) Równanie (8.3) nawa równanie ruchu haronicnego prostego. Równanie to należ rouieć w ten sposób, że jeśli dan proble ficn potrafi opisać a poocą równania tpu d + C =, (8.4) dt gdie drgań. C >, to wielkość wkonuje drgania haronicne a C = jest cęstością tch Można sprawdić, że rowiąanie równania (8.3) a postać () t = Dcos( t) + Esin( t), (8.5) gdie D i E to stałe, które ożna wnacć jeśli na wchlenie i prędkość v osclatora w pewnej chwili casu. Dla prostot prjie, że dla t = t = : () = i v() = v - warunki pocątkowe. Wkorstując warunki pocątkowe otra d v D=, v = ( ) t = = E E = dt, wobec cego oże apisać v () t = cos( t) + sin( t). (8.6) Wgodnie jest predstawić () t w postaci podanej niżej

3 v v () t cos( t) = + sin( t) v v + + i onacając v, sin( ) v ϕ, cos( ϕ), ( ϕ) v v + + [ ϕ ϕ ] t ( ) = Acos( t)cos( ) sin( t)sin( ), v A= + = = tg =, t () = Acos( t+ ϕ). (8.7) A - to aplituda drgań: jest to aksalne wchlenie od położenia równowagi ( A > ), Φ= t + ϕ - to faa drgań, ϕ - to faa pocątkowa drgań. Jak wnika powżsch ależności aplituda i faa pocątkowa drgań ogą bć wrażone pre warunki pocątkowe. Drgania haronicne charakteruje jesce okres drgań T i cęstotliwość drgań f. Okrese drgań nawa najniejs odstęp casu, po któr następstwo fa ruchu jest identcne. () t A T t Z definicji T otra 3

4 Φ ( t+ T) Φ ( t) = ( t+ T) + ϕ t ϕ = T, a ponieważ funkcja cos( ) a okres π, a π Φ ( t+ T) Φ ( t) = π T = π T =. (8.8) Cęstotliwość drgań f definiuje się jako licbę drgań w jednostce casu: f = ; [ f ] = H, = π f. (8.9) T Energia w ruchu haronicn prost Wrażenie na energię potencjalną uska jej definicji de = Fdr = ( ke )( de ) = kd, p stąd Ep = k + C. Uówiono się, że w równowade dla = : E p = i stąd stała C =, cli = = cos ( + ) = cos ( +ϕ ). (8.) Ep k ka t ϕ A t Energia kinetcna d Ek = v = = A sin ( t+ ϕ). dt (8.) Energia echanicna E E E A. = k + p = (8.) Energia drgań ależ więc od kwadratów cęstości i aplitud. 4

5 Prkład: Wahadło ficne Wahadło ficne jest to brła stwna wkonująca wahania α l S S g wokół osi poioej nieprechodącej pre jej środek ciężkości S. Oś oś obrotu l S - odległość osi obrotu od środka as asa brł Korstając równania ruchu obrotowego brł stwnej o oencie bewładności wpłwe oentu sił M I pod I ε = M d α i wstawiając ε =, M si = gls n( α), otra dt I d α + gl sin( ), S α = dt a dla ałch α ( α < ) : sin( α) α d α gls + α =. (8.3) dt I Widi, że dla ałch kątów α wahadło ficne wkonuje ruch haronicn ( patr równania (8.3) i (8.4) ), którego cęstość własna wraża się wore gls =, (8.4) I a okres T 5

6 T π I = = π. (8.5) gl S W prpadku kied brła wahadła redukuje się do as ałch roiarów ( punkt aterialn ) awiesonej na nieważkiej i nierociągliwej nici o długości l, otra wahadło ateatcne. Wted l = l, I = l S i wór (8.5) prjuje postać T l = π. (8.6) g Składanie drgań haronicnch Drgania wstępujące w prrodie są na ogół łożenie wielu składowch haronicnch. Podstawą badania takich drgań łożonch jest uiejętność dodawania dwóch drgań achodącch w jedn kierunku i uiejętność dodawania dwóch drgań prostopadłch. Dodawanie drgań równoległch etodą wektorową (wskaów) Dodaje dwa drgania = A cos( t+ ϕ ) = A cos( Φ ), = A cos( t+ ϕ ) = A cos( Φ ). Drganie wpadkowe suka w postaci = + = A cos( Φ ) + A cos( Φ ) = A( t)cos( Φ). Drganie A cos( Φ ) ożna uważać a rut wektora A na oś układu współrędnch,. Podobnie drganie A cos( Φ ). Wted drganie wpadkowe będie rute wpadkowego wektora A = A + A 6

7 na oś -ów. Metodę wskaów ilustruje poniżs rsunek. A A Φ Φ Φ Φ A Φ Z twierdenia kosinusów otra aplitudę A drgania wpadkowego A= A + A AA cos( π Φ Φ ( )) = A + A + AA cos( Φ Φ), A = A + A, A = A A. a in (8.7) Z rsunku widać, że faę drgania wpadkowego ożna otrać woru tg A sin( Φ ) + A sin( Φ ) A cos( Φ ) + A cos( Φ ) ( Φ ) =. (8.8) Interesując jest prpadek dudnień, któr to otra kied doda do siebie dwa drgania niewiele różniące się cęstością o tch sach aplitudach. Załóż, że = +Δ /, = Δ /, Δ, A = A i dla prostot ϕ. = ϕ Z równań (8.7) i (8.8) otra A= A + A + A cos( Δ t) = A + cos ( Δt/ ) sin ( Δ t/ ) = A cos( Δt/ ), Φ +Φ Φ Φ sin( Φ ) + sin( Φ sin( )cos( ) ) Φ +Φ tg( Φ ) = = = tg( ) = tg( t + ϕ). cos( Φ ) + cos( Φ) Φ +Φ Φ Φ cos( )cos( ) Na podstawie powżsch worów drganie wpadkowe prjie postać Δt = A cos( )cos( t ) + ϕ. (8.9) 7

8 Równanie (8.9) opisuje drganie o cęstości, którego aplituda jest okresowo wacniana do wartości A. Ponieważ okres funkcji cos( ) wnosi π to na okres dudnień T d otra wór Dudnienia ilustruje poniżs rsunek Δ Δ π ( t+ Td) t = π T d =. (8.) Δ A A t+ ϕ Dodawanie drgań prostopadłch. Krwe Lissajous Z echaniki wiadoo, że położenie punktu aterialnego jest opisane wektore położenia r. Zgodnie porusan teate nas punkt aterialn będie porusał się wdłuż osi e składową wektora r opisaną równanie = A cos( t), a wdłuż osi e składową wektora r opisaną równanie = A cos( t+ ϕ ). Oówi kilka tpowch prkładów składania takich ruchów. ) = =, ϕ = nπ, n licba calkowita A = A cos( t), = A cos( t) = równanie odcinka A A A A A 8

9 A ) = =, ϕ = (n+ ) π = odcinek A A A A A π = =, ϕ = (n + ), = Acos( t), = ± Asin( t) + A A = równanieelips 3) A A A A 4) = =, ϕ =, A = A = A, = A t = A t = A t A cos( ), cos( ) cos ( ), = A A = parabola A A A 5) = =, ϕ =, A = A = A, π = Acos( t), = Asin( t) = Asin( t) cos( t), = A t t = A t t 4 sin ( ) cos ( ) 4 ( cos ( )) cos ( ) = 4. A A A 9

10 ,7 /A,4,,,8,5,,,,4,7 /A,5,8, Krwe Lissajous krwe otrane na skutek dodawania dwóch drgań prostopadłch o stosunku cęstości będąc licbą wierną ( warunek okresowej powtaralności ruchu akniętości krwch ). Inne prpadki krwch Lissajous ( niż oówione wżej ) ostaną pokaane na wkładie.