Geometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot

Transkrypt

1 - podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem. Alina Semrau-Giłka Paulina Gregorek AB B Uniwerstet Technologicno-Prrodnic 15 stcnia 2019 A Gd A = B, wektor AB nawam erowm i onacam 0. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Kierunek Zwrot ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Dwa wektor nawam równoległmi, jeżeli proste awierające te wektor są równoległe. Mówim, że wektor równoległe mają ten sam kierunek. Dwa nieerowe wektor mają ten sam wrot, gd półprosta wnacona pre pierws wektor (tj. półprosta o tm samm pocątku awierająca ten wektor) da się równolegle presunąć na półprostą wnaconą pre drugi wektor. Zwrot ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Długość Jeżeli dwa równoległe wektor nie mają tego samego wrotu, to mówim, że mają wrot preciwne. Długością (on. AB ) wektora nawam odległość punktów wnacającch ten wektor. Dwa wektor są równe wted i tlko wted, gd mają jednakow kierunek, wrot i długość. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Które wektor są sobie równe? ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Które wektor mają ten sam kierunek? g h d g h d f f = f, f, h,,, ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70

2 Które wektor mają ten sam wrot? Które wektor mają preciwn wrot? g h d g h d f f,, f, h Są to par:, lub, lub f, lub f, lub h, lub h,., ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Kierunek, wrot i długość Kąt ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Zbiór wsstkich równch sobie wektorów acepionch w różnch punktach nawam wektorem swobodnm (casami po prostu wektorem) i onacam u, v,,,... Katem międ nieerowmi wektorami i jest kąt mniejs lub równ półpełnemu wnacon pre półproste określone pre te wektor (półproste mają wspóln pocątek), onacam go pre α lub (, ). Każd wektor można jednonacnie określić pre podanie jego kierunku, wrotu i długości. α α ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Diałania na wektorach Mnożenie wektora pre licbę ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Diałania na wektorach Dodawanie ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Diałania na wektorach Odejmowanie ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Własności Reguła równoległoboku B + C Tera dodajem do siebie wektor ora. O A ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70

3 Ilocn skalarn Własności Orientacja układu wektorów Orientacja Ilocnem skalarnm wektorów i nawam licbę = cos (, ). Dane są tr nieerowe wektor,, acepione w jednm punkcie i nieleżące w jednej płascźnie. Mówim, że tworą one układ prawoskrętn, jeżeli patrąc od stron końca wektora na płascnę wnaconą pre wektor i widim, że kąt skierowan (cli kąt mieron w kierunku odwrotnm do kierunku obrotu wskaówek egara) od do jest mniejs niż od do. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Orientacja Orientacja układu wektorów ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Orientacja Orientacja układu wektorów ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Orientacja Zadanie ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Orientacja Zadanie C wektor,, tworą układ prawoskrętn? C wektor,, tworą układ prawoskrętn? Tak. Nie. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Orientacja Układ prawoskrętn,, ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Ilocn Ilocn wektorow Śrubka kręci się od wektora do. Ilocnem wektorowm nierównoległch wektorów i nawam wektor o następującch własnościach: Jeśli porusa się tak, jak wskauje wrot, to układ jest prawoskrętn. kierunek wektora jest prostopadł do kierunków i, wrot wektora jest taki, że,, tworą układ prawoskrętn, długość wektora jest równa sin (, ). ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70

4 Ilocn wektorow Ilocn Ilocn miesan Ilocn 1) =, 2) = 0 wted i tlko wted, gd i są równoległe, 3) pole równoległoboku budowanego na wektorach i jest równe P =, 4) pole trójkąta budowanego na wektorach i jest równe P = 1 2. Ilocnem miesanm wektorów,, nawam licbę ( ) i onacam ją lub (,, ). ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Ilocn Ilocn miesan ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Ilocn 1) Objętość równoległościanu budowanego na wektorach, i jest równa V = (,, ) ( onaca wartość bewględną). 2) Objętość cworościanu budowanego na wektorach, i jest równa V = 1 6 (,, ). Zerowanie się ilocnów skalarnego, wektorowego i miesanego ma następując sens geometrcn: 1) = 0, 2) = 0, 3) (,, ) = 0,, leżą w jednej płascźnie. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 w układie współrędnch Na każdej osi O, O, O trójwmiarowego układu współrędnch w prestreni tworm wersor tn. wektor długości 1 o kierunku i wrocie godnm e wrotem odpowiedniej osi. Onacam je = [1, 0, 0], = [0, 1, 0], = [0, 0, 1]. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Współrędne wektora Każd wektor w prestreni można rołożć na sumę trech wektorów leżącch na osiach. Ropatrwan układ współrędnch niech będie prawoskrętn, tn. wektor,, tworą układ prawoskrętn. Tak i Tak Nie a 3 w 3 a 2 w 2 w 1 a 1 = w 1 + w 2 + w 3 Wówcas istnieją takie licb a 1, a 2, a 3 R, że w 1 = a 1, w 2 = a 2, w 3 = a 3 k. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Współrędne wektora ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Długość wektora w 1 = a 1, w 2 = a 2, w 3 = a 3 k. = a 1 + a 2 + a 3 k Licb a 1, a 2, a 3 określone są jednonacnie i nawam je współrędnmi wektora. Pisem wted = [a 1, a 2, a 3 ] i możem ten wektor potraktować jako wektor swobodn odpowiadając wektorowi OA o pocątku w punkcie O = (0, 0, 0) i końcu w punkcie A = (a 1, a 2, a 3 ). a 1 a 3 w 3 a 2 w 2 w 1 (a 1, a 2, a 3 ) Gd P = (p 1, p 2, p 3 ) i Q = (q 1, q 2, q 3 ), to PQ = [q 1 p 1, q 2 p 2, q 3 p 3 ]. Długość PQ wektora PQ = [q 1 p 1, q 2 p 2, q 3 p 3 ] wraża się worem PQ = (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 + (q 3 p 3 ) 2. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70

5 Niech = [a 1, a 2, a 3 ], = [b 1, b 2, b 3 ], = [c 1, c 2, c 3 ] będą wektorami w prestreni R 3. Wted suma i różnica + = [ a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ], Niech = [a 1, a 2, a 3 ], = [b 1, b 2, b 3 ], = [c 1, c 2, c 3 ] będą wektorami w prestreni R 3. Wted ilocn skalarn = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3, mnożenie pre licbę = [ a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 ], k = [k a 1, k a 2, k a 3 ], dla k R, ilocn wektorow b = a 1 a 2 a 3, b 1 b 2 b 3 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Niech = [a 1, a 2, a 3 ], = [b 1, b 2, b 3 ], = [c 1, c 2, c 3 ] będą wektorami w prestreni R 3. Wted ilocn miesan (, a 1 a 2 a 3 b, ) = b 1 b 2 b 3. c 1 c 2 c 3 Znajdź wektor jednoceśnie prostopadł do wektora = [1, 1, 2] i wektora = [3, 2, 1]. Prpomnienie: Ilocnem wektorowm nierównoległch wektorów i nawam wektor o następującch własnościach: kierunek wektora jest prostopadł do kierunków i, wrot wektora jest taki, że,, tworą układ prawoskrętn, długość wektora jest równa sin (, ). Zatem wektorem prostopadłm do i do jest ich ilocn wektorow. b = = k 3 1 k = = [ 3, 5, 1]. Wektor o współrędnch [ 3, 5, 1] jest prostopadł do i do. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 równoległe, wektor prostopadłe i wektor współpłascnowe ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Dla wektorów = [a 1, a 2, a 3 ], = [b 1, b 2, b 3 ] i = [c 1, c 2, c 3 ] prawdiwe są ależności: 1) = 0, 2) a 1 = a 2 = a 3, o ile wsstkie te licb nie są erami, aś b 1 b 2 b 3 jeśli któraś licb jest równa 0, to druga licba w tm samm ułamku też musi wnosić 0 i taki ułamek pomija się w tm warunku, C wektor = [2, 1, 5] i = [7, 9, 1] są prostopadłe? Tak, wektor i są prostopadłe. = ( 9) + ( 5) 1 = 0 3) wektor = [a 1, a 2, a 3 ], = [b 1, b 2, b 3 ] i = [c 1, c 2, c 3 ] są współpłascnowe wted i tlko wted, gd (,, ) = 0. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 C wektor = [2, 1, 5] i = [4, 2, 10] są równoległe? C wektor = [12, 0, 3] i = [4, 0, 1] są równoległe? Tak, wektor i są równoległe. 2 4 = 1 2 = 5 10 a era pomijam. Tak, wektor i są równoległe = 3 1, ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70

6 Płascn Równanie normalne płascn C wektor = [4, 1, 0], = [4, 2, 10] i = [2, 0, 5] leżą w jednej płascźnie? (, b, ) = = π : A ( 0 ) + B ( 0 ) + C ( 0 ) = 0 Jest to równanie płascn prechodącej pre punkt P = ( 0, 0, 0 ) i prostopadłej do nieerowego wektora n = [A, B, C] wanego wektorem normalnm tej płascn. Tak, wektor, i są współpłascnowe. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn Równanie ogólne płascn ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn π : A + B + C + D = 0, gdie A + B + C > 0 Jest to równanie płascn o wektore normalnm n = [A, B, C]. Napis równanie normalne i ogólne płascn π prechodącej pre punkt P = (1, 2, 3) o wektore normalnm n = [1, 5, 4]. A ( 0 ) + B ( 0 ) + C ( 0 ) = 0 1 ( 1) + 5 ( 2) + 4 ( 3) = 0 Prechodim do równania ogólnego: = 0 Uwaga Jeśli C 0, to płascna π precina oś O w punkcie P = (0, 0, D C ). π : = 0. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn Równanie ogólne ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn Równanie odcinkowe płascn π : A + B + C + D = 0, gdie A + B + C > 0 Uwaga Oto niektóre prpadki scególne równania ogólnego: A = 0 π O, B = 0 π O, C = 0 π O, D = 0 środek układu współrędnch (0, 0, 0) należ do π. π : a + b + = 1, a 0, b 0, c 0 c Jest to równanie płascn prechodącej pre punkt A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0), C = (0, 0, c). ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn Równanie parametrcne płascn Równanie odcinkowe ropatrwanej wceśniej płascn π o równaniu ogólnm = 0 otrmujem następująco: = = 23 : = 1 23 π : = = 0 + λa 1 + αb 1 a 1 b 1 π : = 0 + λa 2 + αb 2, α, λ R, R a 2 b 2 = 2 = 0 + λa 3 + αb 3 a 3 b 3 Jest to równanie płascn prechodącej pre punkt P = ( 0, 0, 0 ) ropiętej na nierównoległch wektorach v 1 = [a 1, a 2, a 3 ], v 2 = [b 1, b 2, b 3 ]. i ta płascna prechodi pre punkt A = (23, 0, 0), B = (0, 23 5, 0), C = (0, 0, 23 4 ). ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70

7 Płascn Płascn Ab napisać równanie parametrcne ropatrwanej wceśniej płascn π o równaniu ogólnm = 0, najdźm najpierw 3 niewspółliniowe punkt należące do tej płascn, które utworą 2 wektor ją ropinające. Jednm tch punktów jest ocwiście wceśniej dan punkt P = (1, 2, 3). Kolejne to np. Q = (3, 4, 0) i R = (23, 0, 0) wmślam je sami tak, b ich współrędne spełniał równanie π. PQ = [3 1, 4 2, 0 3] = [2, 2, 3] PR = [23 1, 0 2, 0 3] = [22, 2, 3], atem równanie parametrcne płascn π ma postać: = 1 + 2λ + 22α π : = 2 + 2λ 2α α, λ R. = 3 3λ 3α, Współrędne punktów należącch płascn π o tak adanm równaniu: = 1 + 2λ + 22α π : = 2 + 2λ 2α λ, α R, = 3 3λ 3α, otrmujem wstawiając do niego dowolne licb a λ, α. Na prkład, gd λ = 0 i α = 0 otrmujem punkt P = (1, 2, 3). Dla λ = 0 i α = 1 punkt Q = (23, 0, 0), a dla λ = 1 i α = 2 punkt S = (47, 0, 6). ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn Równanie płascn prechodącej pre tr punkt ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn 1 π : = Jest to równanie płascn prechodącej pre tr niewspółliniowe punkt P 1 = ( 1, 1, 1 ), P 2 = ( 2, 2, 2 ), P 3 = ( 3, 3, 3 ). Ponieważ wiem już, że punkt P = (1, 2, 3), Q = (23, 0, 0), S = (47, 0, 6) leżą w ropatrwanej wceśniej płascźnie π, więc równanie jej można również apisać w formie: π : = ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Proste Równanie kierunkowe prostej co musim mieć, żeb napisać równanie płascn 3 punkt punkt i wektor... l : 0 a = 0 b = 0 c Jest to równanie prostej prechodącej pre punkt P = ( 0, 0, 0 ) i równoległej do nieerowego wektora v = [a, b, c] wanego wektorem kierunkowm tej prostej. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Proste Równanie kierunkowe prostej ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Proste Równanie parametrcne prostej Uwaga l : 0 a = 0 b = 0 c Ab nie ogranicać akresu stosowania równania kierunkowego prjmujem, że w mianownikach powżsch ułamków mogą wstąpić era. Równanie kierunkowe prostej l prechodącej pre punkt P = (1, 2, 3) i równoległej do wektora v = [2, 0, 3] ma postać l : 1 2 = 2 0 = 3 3. = 0 + λa l : = 0 + λb, = 0 + λc λ R, (a, b, c) (0, 0, 0) Jest to równanie prostej o nieerowm wektore kierunkowm v = [a, b, c] i prechodącej pre punkt P = ( 0, 0, 0 ). Równanie parametrcne prostej l prechodącej pre punkt P = (1, 2, 3) i równoległej do wektora v = [2, 0, 3] ma postać = 1 + 2λ l : = 2, λ R. = 3 + 3λ ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70

8 Proste Równanie krawędiowe prostej Proste Równanie krawędiowe prostej l : { A1 + B 1 + C 1 + D 1 = 0 A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 0, [ ] A1 B r 1 C 1 = 2 A 2 B 2 C 2 Jest to równanie prostej, która jest cęścią wspólną dwóch nierównoległch płascn π 1 : A 1 + B 1 + C 1 + D 1 = 0, π 2 : A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 0. l : { A1 + B 1 + C 1 + D 1 = 0 A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 0, Wektor kierunkow prostej adanej powżsm równaniem krawędiowm ma postać v = n 1 n 2, gdie n 1 = [A 1, B 1, C 1 ], n 2 = [A 2, B 2, C 2 ]. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Proste ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Proste Jak napisać równanie krawędiowe nasej prostej l : 1 2 = 2 0 = 3 3? P = (1, 2, 3) l, v = [2, 0, 3] Wiem, że P l i v l. Posukajm pewnego drugiego wektora ropinającego pierwsą płascnę, która awiera prostą l. Weźm spoa prostej l np. punkt Q = (5, 3, 1). Wted PQ = [4, 1, 2] i PQ nie jest równoległ do v. Wektor normaln do płascn ropiętej na v i PQ to n 1 = v PQ = = [ 3, 16, 2] P = (1, 2, 3) l, v = [2, 0, 3], n 1 = [ 3, 16, 2] Zatem pierwsa płascna awierająca l to π : 3( 1) + 16( 2) + 2( 3) = 0 π : = 0. Drugiej sukam analogicnie. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Proste ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn, proste i punkt Wajemne położenie Wajemne położenia płascn Co musim mieć, żeb napisać równanie pprostej 2 punkt punkt i wektor Niech π 1, π 2 będą płascnami o równaniach π 1 : A 1 + B 1 + C 1 + D 1 = 0, π 2 : A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 0 i wektorach normalnch n 1, n 2 odpowiednio. Wted: 1) cos (π 1, π 2 ) = n1 n2 n 1 n 2, 2) π 1 π 2 n 1 n 2 = 0, 3) π 1 π 2 n 1 n 2. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn, proste i punkt Wajemne położenie Wajemne położenie punktu i płascn ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 Płascn, proste i punkt Wajemne położenie Wajemne położenie płascn Odległość punktu P 0 = ( 0, 0, 0 ) od płascn o równaniu π : A + B + C + D = 0 wraża się worem d(p 0, π) = A 0 + B 0 + C 0 + D A 2 + B 2 + C 2. Odległość mied płascnami równoległmi π 1, π 2 o równaniach π 1 : A + B + C + D 1 = 0, π 2 : A + B + C + D 2 = 0 wraża się worem D 1 D 2 d(π 1, π 2 ) = A 2 + B 2 + C. 2 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70 ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70

9 Płascn, proste i punkt Wajemne położenie Wajemne położenie prostch i płascn Kąt nachlenia prostej l o wektore kierunkowm v do płascn π o wektore normalnm n wraża się worem sin (l, π) = n v n v. Kąt międ prostmi l 1, l 2 o wektorach kierunkowch odpowiednio v 1 i v 2 wraża się worem cos (l 1, l 2 ) = v 1 v 2 V 1 v 2. ASG & PG (UTP) Geometria analitcna w prestreni 15 stcnia / 70