Przekształcenia liniowe

Transkrypt

1 Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 ) = x + 3x 2, (d) T : R 3 R, T (x, x 2, x 3 ) = 2 x x 2 + 3x 3, (e) T : R 3 R 2, T (x, x 2, x 3 ) = (2x 3, x + x 2 x 3 ), (f) T : R 3 R 2, T (x, x 2, x 3 ) = (2x 3, x +), (g) T : R R 3, T (x, x 2, x 3, x ) = (2x, x x 2 + 3x 3, x 2 x ), (h) T : R 3 R 3, T (x, x 2, x 3 ) = (x + 3x 2, x 2, x 2 x 3 ), (i) T : R 6 R 6, T (x, x 2, x 3, x, x 5, x 6 ) = (0, 2 x x 2 + 3x 3, x 2 x 5, 0, x + x 3, 0) ([ 2 Zbadać liniowość przekształcenia T a b b a ) = a + b, a, b R 3 Zbadać liniowość podanych przekształceń: (a) T : R 3 R 3, T jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę x0y, (b) T : R 2 R 2, T jest rzutem prostokątnym na prostą o równaniu x+y = 0, (c) T : R 2 R 2, T jest obrotem o kąt π wokół punktu (0, 0) (d) T : R 2 R 2, T jest przesunięciem o wektor v = [, 2 Wykazać, że każde przekształcenie liniowe przekształca układ wektorów liniowo zależnych w układ wektorów liniowo zależnych Czy prawdziwe jest analogicznie sformułowanie twierdzenie dla wektorów liniowo niezależnych? Obraz i jądro przekształcenia liniowego 5 Znaleźć bazę i wymiar jądra oraz bazę i wymiar obrazu przekształcenia liniowego T : R R, danego wzorem T (x, y, z, t) = (x + y + z + 2t, x y + z + 6t, x + y z t, 2x + 2y 2z)

2 6 Wyznaczyć bazę jądra i bazę obrazu przekształcenia liniowego T : R R 3 danego wzorem T (x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + t) 7 Wyznaczyć jądro, obraz i rząd przekształcenia liniowego T : M 22 P 2 danego wzorem [ a b T = (2a + b c + 3d) + (a + 3c + d) x + ( 2b + c) x 2, c d gdzie M 22 oznacza przestrzeń liniową macierzy stopnia 2, a P 2 oznacza przestrzeń wielomianów stopnia n 8 Wyznaczyć jądro, rząd i obraz przekształcenia [ liniowego T : P 3 M 22 a 2c 2a b 2d danego wzorem T : (ax 3 + bx 2 + cx + d) = b + 2d c d 9 Niech T : R R 3 będzie przekształceniem liniowym, które dowolnemu wektorowi (x, x 2, x 3, x ) R przypisuje wektor (x + x 2, x x 2, 2x 3 ) Znaleźć bazę jądra i rząd przekształcenia T 0 Sprawdzić, czy wektory (,,, ), (,,, 3) generują jądro przekształcenia liniowego T : R R danego wzorem T (x, y, z, u) = (x + y + 3z + u, 2x y z u, y + 2z + u, x + 2y + 3z) Sprawdzić, czy wektory (,, 2, 0, ), ( 2, 0, 0,, ) generują jądro przekształcenia liniowego T : R 5 R danego wzorem T (x, y, z, u, v) = (x 2y + u + v, x y + z + 2v, 3x y + 2z + u + 5v, x 3y z + 2u) 2 Znaleźć dwie różne bazy obrazu przekształcenia liniowego T : R 5 R danego wzorem T (x, y, z, u, v) = (x + y z, x + 2y + 3z u, 3y + 2z u v, 2v) 3 Napisać wzór przekształcenia liniowego T : R R 3 takiego, że T (,,, ) = (0, 2, ), T (, 0,, 0) = (,, 2) oraz KerT = {(x, 0, 0, t) ; x, t R} 2

3 Reprezentacja macierzowa przekształcenia liniowego Napisać macierze podanych przekształceń w bazach standardowych rozważanych przestrzeni liniowych: (a) T : R 3 R 3, T (x, y, z) = (2x + y z, x 5z, y + z), (b) T : R 2 R 3, T (x, y) = (x + 2y, x y, y), (c) T : R 3 R 2, T (x, y, z) = (2x + y z, x 5z), (d) T : R 2 R 2, T (x, y) = (2x + y, 5x 3y) 5 Przekształcenia liniowe L : R 2 R 2, L 2 : R 2 R 2, L 3 : R 2 R określone są wzorami: L (x, y) = (6x 2y, x 3y), L 2 (x, y) = (2x y, x), L 3 (x, y) = x + y Napisać macierze tych przekształceń w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz podać macierze następujących przekształceń liniowych (w odpowiednich bazach standardowych): (a) 3L ; (b) L + L 2 ; (c) 3L L 2 ; (d) L 3 (L + L 2 ) 6 Przekształcenia liniowe L : R 2 R 3, L 2 : R 3 R 2, L 3 : R 2 R określone są wzorami: L (x, y) = (x + 2y, 3x y, x + y), L 2 (x, y, z) = (y z, x + y + z), L 3 (x, y) = 5x 2y Napisać macierze tych przekształceń w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz podać wzory następujących przekształceń liniowych: (a) L 2 L ; (b) L 3 L 2 ; (c) L L 2 L 3 7 Spośród przekształceń liniowych wybrać przekształcenia odwracalne i napisać macierze przekształceń odwrotnych do nich w bazach standardowych rozważanych przestrzeni liniowych Ponadto napisać wzory przekształceń odwrotnych, jeżeli: (a) L : R 2 R 2, L (x, y) = (x y, 2x + y), (b) L : R 2 R 2, L (x, y) = (x y, 2x 2y), (c) L : R 3 R 3, L (x, y, z) = (x y + z, 2x + y, y z), (d) L : R 3 R 3, L (x, y, z) = (x y + z, 2x + y, 3x + z) 8 Sprawdzić, czy istnieje przekształcenie odwrotne do przekształcenia liniowego T : M 22 R określonego wzorem T [a ij i,j=,2 = (a + a 2 + a 2, a a 2, a 2, a 2 a 22 ) 3

4 Przykłady 9 Pokazać, że przekształcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przekształceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywność przekształcenia T Niech v = (x, y ), w = (x 2, y 2 ) R 2 Obliczmy T (v + w) = T ((x, y ) + (x 2, y 2 )) = T (x + x 2, y + y 2 ) = = (x + x 2 + (y + y 2 ), x + x 2 6 (y + y 2 )) = = ((x + y ) + (x 2 + y 2 ), (x 6y ) + (x 2 6y 2 )) = = (x + y, x 6y ) + (x 2 + y 2, x 2 6y 2 )) = = T (x, y ) + T (x 2, y 2 ) = = T (v) + T (w) Zatem T (v + w) = T (v)+t (w), a więc T jest przekształceniem addytywnym Sprawdzimy teraz jednorodność przekształcenia T Niech a R Obliczmy T (av) = T (a (x, y )) = T (ax, ay ) = (ax + ay, ax 6ay ) = = a (x + y, x 6y ) = a T (x, y ) = a T (v) Zatem T (av) = a T (v), co oznacza, że T jest przekształceniem jednorodnym Skoro T jest przekształceniem addytywnym i jednorodnym, to jest przekształceniem liniowym 20 Wyznaczyć bazę jądra i bazę obrazu przekształcenia liniowego T : R R 3 danego wzorem T (x, y, z, t) = (x + 2y + z + t, x + y 2z 2t, 0) Podać wymiary jądra i obrazu tego przekształcenia Wyznaczymy najpierw bazę jądra przekształcenia T Z definicji jądra wynika, że należą do niego te wektory przestrzeni R, których współrzędne spełniają układ równań x + 2y + z + t = 0, x + y 2z 2t = 0 Przyjmując y = α, t = β, otrzymujemy x = 5α, z = 3α β Zatem dowolny wektor należący do jądra ma postać ( 5α, α, 3α β, β) Wektor ten można przedstawić w postaci ( 5α, α, 3α β, β) = α ( 5,, 3, 0) + β (0, 0,, )

5 Z definicji bazy wynika, że układ (( 5,, 3, 0), (0, 0,, )) stanowi bazę jądra, a z definicji wymiaru wynika, że wymiar jądra jest równy 2 Ponieważ wymiar dziedziny przekształcenia liniowego jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu, to wymiar obrazu naszego przekształcenia jest równy 2 Wyznaczymy teraz bazę obrazu przeksztalcenia T Oznaczmy T (x, y, z, t) = (y, y 2, y 3 ) Wtedy (y, y 2, y 3 ) = (x + 2y + z + t, x + y 2z 2t, 0) = = x (,, 0) + y (2,, 0) + z (, 2, 0) + t (, 2, 0) = = x (,, 0) + y (2,, 0) + (z + t) (, 2, 0) 0 Wyznacznik 2 0 utworzony z wektorów (,, 0), (2,, 0), (, 2, 0) 2 0 jest równy 0 Widzimy więc, że te trzy wektory są liniowo zależne i w związku z tym nie mogą stanowić bazy Liniowo niezależne są np wektory (,, 0), (2,, 0) Zatem układ ((,, 0), (2,, 0)) stanowi bazę obrazu naszego przekształcenia, gdyż wektory (,, 0), (2,, 0) stanowią uklad liniowo niezależny generujący obraz 2 Przekształcenia liniowe L : R 3 R 3, L 2 : R 3 R 3 określone są wzorami: L (x, y) = ( x 2y z, x 3y + z, y z), L 2 (x, y) = (2x y, x + z, x + y + z) Znaleźć macierze tych przekształceń w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz podać macierze następujących przekształceń liniowych (w odpowiednich bazach standardowych tych przestrzeni): (a) 5L ; (b) L L 2 ; (c) 3L + 2L 2 Macierze przekształceń L L 2 w bazach standardowych przestrzeni R 3 mają odpowiednio postać L : 2 3 0, L 2 : Macierz przeksztalcenia 5L w bazach standardowych ma postać = Macierz przekształcenia L L 2 w bazach standardowych ma postać =

6 Macierz przekształcenia 3L + 2L 2 w bazach standardowych ma postać = Przekształcenia liniowe L : R 2 R 3, L 2 : R 3 R 2, określone są wzorami: L (x, y) = (6x 2y, x 3y, y), L 2 (x, y) = (2x y + z, x + 2y) Znaleźć macierze tych przekształceń w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz podać macierze następujących przekształceń liniowych (w odpowiednich bazach standardowych tych przestrzeni): (a) L 2 L ; (b) L L 2 Macierze przekształceń L oraz L 2 w bazach standardowych mają odpowiednio postać L : , L 2 : [ Zatem szukane macierze L 2 L oraz L L 2 w bazach standardowych mają postać macierz L 2 L : macierz L L 2 : [ [ [ 2 = =, Podać wzory przekształceń L 2 L oraz L L 2 z przykładu 9 L 2 L : R 2 R 2, (L 2 L ) (x, y) = (x 2y, x y), L L 2 : R 3 R 3, (L L 2 ) (x, y, z) = (x 0y + 6z, 5x 7y + z, x 2y) 2 Sprawdzić, czy dane przekształcenia są odwracalne Jeśli tak, to napisać macierze przekształceń odwrotnych do nich w bazach standardowych rozważanych przestrzeni liniowych Ponadto ( dla przekształceń odwracalnych) napisać wzory przekształceń odwrotnych, jeżeli: (a) L : R 2 R 2, L (x, y) = (x 2y, x + y), 6

7 (b) L : R 2 R 2, L (x, y) = (x y, 2x 2y), (c) L : R 3 R 3, L (x, y, z) = (x y + z, 2x + y, y z) (a) Macierz przekształcenia w bazach standardowych L ma postać A = [ 2 Wyznacznik tej macierzy jest równy 0 Macierz A jest odwracalna Zatem nasze przekształcenie moża odwrócić Macierz odwrotna do macierzy A, ma postać A = [ 2 Zatem przekształcenie L, odwrotne do L, dane jest wzorem L (x, y) = ( x + 2y, x y) (b) Macierz przekształcenia w bazach standardowych L ma postać [ A = 2 Wyznacznik tej macierzy jest równy 0 Macierz A nie jest odwracalna Zatem i nasze przekształcenie jest nie jest odwracalne (c) Macierz przekształcenia w bazach standardowych L ma postać A = Wyznacznik tej macierzy jest równy 0 Macierz A jest więc odwracalna Zatem i nasze przekształcenie moża odwrócić Macierz odwrotna do macierzy A, ma postać A = Zatem przekształcenie L, odwrotne do L, dane jest wzorem ( x + y + z L (x, y, z) =, x + y z, x + y 3z ) 2 7