Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A

Transkrypt

1 Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam woru: Zadanie B = 8i (cos /π + isin /π ) = 8(cos π + isinπ ) = i /π + π /π + π = 8i (cos + isin /π + 4π = 8i (cos + isin ) = ( + i ) = i + i ) = i /π + 4π ) = ( = (i ) 4i = (i i + )4i = 4(i) 8(i) + 4i = 4i i = 8 Badam licbȩ espolon a 8, tn "wlicam" jej pierwiastki -stopnia Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam woru: Zadanie A = 8 (cos + isin ) = 8(cos + isin = = 8 (cos + π = 8 (cos + 4π + isin + π + isin + 4π ) = ( ) = ( + i ) = + i + i ) = i Licm tw Kroneckera-Capelliego rȩd macier Poniewż tr pierwse kolumn macier głównej 7 s a liniowo nieależne (wnacnik macier powżej jest różn od era), wiȩc jej r ad jest równ tr Macier uupełniona ma wmiar 5 i jej pierws kolumn s a takie same jak macier głównej St ad r ad macier uupełnionej jest także równ tr Rowi aania równania jednorodnego maj a wmiar 4- = I baa

2 (jedno rowi aanie nieerowe równania jednorodnego) to np wektor, /7, 4/7, Należ jesce posukać rowi aanie scegółowe Znajdujem je rowi auj ac pr pomoc worów Kramera nas układ dla t = I jest to wektor /, /, /, Podsumowuj ac ogólne rowi aanie nasego układu jest biorem {/, /, /, + r, /7, 4/7,, r R} Zadanie B R ad macier głównej jest równ Łatwo to obacć mnoż ac pierws wiers odpowiedni pre,, i dodaj ac odpowienio do, i 4 wiersa Poniewż kolumna wraów wolnch układu równań jest równa pierwsej kolumnie macier głównej, wiȩc tw Kroneckera-Capelliego układ ma rowi aanie Wstarc ogranicć siȩ do rowi aania układu składaj acego siȩ dwóch pierwsch równań (One sa "liniowo nieależne",a r ad macier głównej jest równ dwa) I tak nietrudna naleźć baȩ rowi aań układu jednorodnego (składa siȩ ona jednego wektora gdż wmiar rowi aań jest równ (ilość niewiadomch)-(r ad macier) = Jest to np wektor,, A równanie scegółowe najdujem prjmuj ac = I jest ono w tm prpadku równe,, Zatem podsumowuj ac ogólne rowi aanie nasego układu jest biorem {,, + r,,, t R} Zadanie A Diagonialiacja macier Ab oblicć wartości własne najdujem wielomian charakterstcn w(λ) := det λ λ λ Dokonuj ac odpowiednich redukcji otrmujem: = ( λ) ( + λ) ( λ) ( λ) + + λ w(λ) = λ + λ + 7λ Pierwiastek całkowit, o ile istnieje, musi składać siȩ wł acnie cnników ostatniego wrau wielomianu Metod a prób i błȩdów sprawdam, że w() = Zatem ( ) ( 7 w(λ) = λ + λ λ + λ + 4λ = (λ )( λ λ + 4) = (λ ) λ λ ) 7 Sukam wektorów własnch dla λ = 7 Musim w tm celu rowi aać układ równań: =

3 Układ rowi awać bȩdiem apisuj ac go w postaci macierowej i wkonuj ac operacje na wiersach macier Najpierw mnożm wsstkie wierse pre, ab pobć siȩ mianowników: Nastȩpnie odejmujem drugi wiers od treciego: Później do pierwsego wiersa dodajem drugi pomnożon pre 5 7 : Ponieważ wsstkie wierse wj atkiem drugiego maj a era na pierwsej współrȩdnej, jedna liniowa ależność, która może wstȩpować pomiȩd wiersami musi dotcć wiersa pierwsego i treciego Cli wierse te mus ć proporcjonalne Faktcnie, możem sprawdić, że mnoż ac treci wiers pre + 7 otrmam pierws wiers St ad wnika, że oba te wierse nios a t a sam a informacjȩ i jeden nich można pomin ać w roważaniach Zatem otrmujem układ rówwnań: { + (5 7) = ( 7 + 7) + ( 7) = Wnacam drugiego równania mienn a : = = 7 Po wstawieniu do pierwsego równania, otrmujem Zatem wektor własne s a nastȩpuj acej postaci: + = 7 Ab łatwo naleźć wektor własne dla λ = 7 auważm, że w powżsch obliceniach wstarc ast apić 7 pre 7 Wkorstujem tutaj fakt istnienia smetrii pomiȩd rowi aaniami równania kwadratowego Ocwist fakt, iż oba rowi aania spełniaj a t a sam a ależność algebraicn a implikuje, iż wsstkie oblicenia prebiegaj a upełnie analogicnie Dlatego otrmujem wektor własne postaci: + 7

4 Ostatecnie sukam wektorów własnch dla λ = Rowi aujem nastȩpuj ac układ równań 5 = Łatwo widim, że odejmuj ac drugi wiers od pierwsego i od treciego mam macier 4 A st ad natchmiast dostajem relacje: = i = Zatem wektor własne s a postaci: Tera apisujem naleione wektor własne jako kolumn macier P : P = Zatem mam Zadanie B Diagonialiacja macier 4 4 Ab oblicć wartości własne najdujem wielomian charakterstcn w(λ) := det λ 4 λ 4 λ Rokładaj ac trójmian kwadratow otrmujem: = ( λ)(( λ) ) = ( λ)(λ 4λ + ) w(λ) = (λ ) (λ ) Sukam wektorów własnch dla λ = Musim w tm celu rowi aać układ równań: =

5 Od rau widim, że dwa trech równań nie nios a żadnej dodatkowej informacji Zatem mam jedn a ależność = 4 St ad widim, że wektor własne λ = s a postaci: + Mam wiȩc dwa nieależne wektor baowe, a atem diagonaliacjȩdie możliwa Sukam wektorów własnch dla λ = Musim w tm celu rowi aać układ równań: = Z ostatniego równania mam natchmiast = Zatem nas układ redukuje siȩ do: { + = = Jest to układ równań ależnch, któr redukuje siȩ do = Zatem wektor własne s a postaci: Tera apisujem naleione wektor własne jako kolumn macier P : P = 4 Zatem mam Zadanie 4A 4 4 Prestreń V jest prestreni a tw macier hermitowskich (cli takich macier, które nie mieniaj a siȩ wskutek wkonania transpocji i sprȩżenia espolonego) Niech wiȩc bȩdie macier a espolon a Widim, że, c d a c A H =, b d Zatem ab bło A H musim mieć nastȩpuj ace ależności: a = a, b = c, c = b i d = d Pierwsa i cwarta ależność implikuje, że a, d R Natomiast druga i trecia ależność s a równoważne (jeżeli b = c, 5

6 to automatcnie c = b, gdż sprȩżenie espolone jest inwolucj a) Podsumowuj ac, macier hermitowska jest postaci, b d gdie b C i a, d R Nastȩpnie możem auważć, że V nie jest prestreni a liniow a nad ciałem licb espolonch, gdż wkonuj ac mnożenie pre odpowiednio dobran a licbȩ espolon a możem wjść poa maciere hermitowskie Faktcnie, macier jednostkowa I jest hermitowska gdż ma na diagonalnej wartości recwiste, a poa diagonaln a ma same era Natomiast ii (gdie i - jednostka urojona) nie jest hermitowska, bo ma na diagonalnej licb urojone Wiȩc nie ma sensu licć wmiaru nad C Ab policć wmiar nad R musim wraić dowoln a macier hermitowsk a popre kombinacjȩ elementów baowch e współcnnikami recwistmi W tm celu licb espolone robijam na cȩść urojon a i recwist a: = + b i, b d b b i d Dokonuj ac ocwistego robicia otrmujem: a + d + b Mam atem 4 wektor baowe i wmiar prestreni V wnosi 4 Zadanie 4B + b i i Prestreń V jest prestreni a macier espolonch o śladie ero Niech wiȩc, c d gdie a, b, c C Ab ślad bł równ ero musim mieć a + d = Zatem nase maciere s a postaci c a Ab oblicć wmiar nad ciałem licb espolonch musim tak a macier wraić jako kombinacje liniow a wektorów baowch espolonmi współcnnikami Dokonuj ac ocwistego robicia mam: a + b + c Mam wiȩc tr wektor baowe, atem wmiar wnosi Ab oblicć wmiar nad ciałem licb recwistch, również musim maciere wraić popre kombinacje liniowe, ale e współcnnikami recwistmi W tm celu najpierw robijam współcnniki na cȩść urojon a i recwist a a + a i b + b i c + c i a a i Dokonuj ac ocwistego robicia a + b + c Mam wiȩc seść wektorów baowch, cli wmiar wnosi a i i + b i + c i

7 Zadanie 5A Ab naleźdź iomorfim wstarc auważć że, wmiar Z 4 nad Z 4 wnosi Wmiar podprestreni generowanej pre wektor (, ) jest ocwiście (bo jest jeden wektor baow) Zatem wmiar prestreni iloraowej bȩdie równ = Cli bȩdie ona iomorficna Z 4 Wstarc wiȩc naleźć jeden wektor, któr nie należ do lin {(, )} Tm wektorem może bć (, ) (jest on w ocwist sposób nieależn liniowo od (, )) Niech (, ) onaca klasȩ abstrakcji wektora (, ) w prestreni iloraowej W wi aku powżsm klasa ta jest wektorem baowm, któr generuje cał a prestreń iloraow a A atem wstarc adać iomorfim tlko na tm wektore (na poostałe wektor predłuża siȩ on liniowo) Prjmijm wiȩc że iomorfim ten jest nastȩpuj ac (, ) Z 4 Zadanie 5B Ab naleźć iomorfim wstarc auważć, że wmiar Z 4 nad Z 4 wnosi Wmiar podprestreni generowanej pre wektor (, ) jest ocwiście (bo jest jeden wektor baow) Zatem wmiar prestreni iloraowej bȩdie równ = Cli bȩdie ona iomorficna Z 4 Wstarc wiȩc naleźć jeden wektor, któr nie należ do lin {(, )} Tm wektorem może bć (, ) (jest on w ocwist sposób nieależn liniowo od (, )) Niech (, ) onaca klasȩ abstrakcji wektora (, ) w prestreni iloraowej W wi aku powżsm klasa ta jest wektorem baowm, któr generuje cał a prestreń iloraow a A atem wstarc adać iomorfim tlko na tm wektore (na poostałe wektor predłuża siȩ on liniowo) Zatem prjmujem, że iomorfim ten jest nastȩpuj ac (, ) Z 4 7