Płaska fala monochromatyczna

Transkrypt

1 Płaska fala onochroatcna Fala płaska propagująca się w owoln kierunku s P s s - fragent coła fali płaskiej propagującej się w kierunku efiniowan pre wersor s O r,, prawoskrętn ukła współręnch kartejańskich pocątkie ukłau w punkcie O r wektor położenia owolnego punktu P coła

2 Płaska fala onochroatcna c O Ale r s P 2π 2π k n kn s r s Równoważne równanie falowe s Równanie fali płaskiej la ośroka o współcnniku ałaania n Znak onaca ilocn skalarn ep i [( t ks) ] ep i s roga w kierunku wersora s stała aplitua na cole Kołowa licba falowa k w ośroku k w próżni [( t k r) ] Ilocn skalarn wóch wektorów

3 P s s ep i [( t k r) ] k - wektor propagacji O k r r Mouł wektora propagacji ( + s s ) k n s + Wersor k s wnaca kierunek propagacji k 2π 2π k n kn Skłaowe wektora r(,,) s,, kosinus kierunkowe wersora s pr c ( ) ( ) ( s + s + s ) 1

4 Kosinus kierunkowe s cosβ β β β s s s cosβ cosβ Wgoniejse jest stosowanie kątów opełniającch

5 Ropatr la prostot falę cołe i wersore s leżąc w płascźnie β k r α s W t prpaku β 9 s cosβ Ponieważ la coła a a ponato +α 9 ( ) + s+ s kncosβ kn α kn s sin Rokła na cole β więc ep( ik n sin ) ep( i t) fali α Ogólne równanie fali w płascźnie, ( ) [ ik n( sinα cosα )] ep( i t) ep stała aplitua na cole

6 Dla owolnie skierowanego wersora s Kąt α jest kąte opełniając o kąta β a α o kąta β O α α s k r i wte la k ( α + α ) n sin sin Równanie fali płaskiej propagującej się w kierunku wersora s (propagacja fali płaskiej w prestreni) [ ik n( sinα + sinα sinα )] ep( i t) ep

7 Rokła fali onochroatcnej na fale płaskie Prpaek jenowiarow Niech bęie an rokła () la () Transforata Fouriera tego rokłau ( ) ( ) ep( i) jest aplituą haronicnej o kołowej cęstości prestrennej Pojęcie kołowej cęstości prestrennej wprowaone pre analogię o kołowej cęstotliwości la funkcji iennch w casie (t) 2πν 1 ν T ν T - cęstość prestrenna - okres prestrenn haronicnej

8 Prpaek jenowiarow Z owrotnej transforacji Fouriera ożna napisać 1 2π ( ) ( ) ep( i) ( ν) ep( i2πν) ν Funkcja () jest suą haronicnch ( ν ) ep( i2πν ) n () α s o różnch cęstościach prestrennch ν Równanie fali płaskiej la ep 2π ep i ( ik nsinα ) nsinα Haronicne są falai płaskii Równanie prestawia rokła pola () na fale płaskie

9 Prpaek jenowiarow c ( ) ( ν) ep( i2πν) ν n () α s Z porównania kąt propagacji haronicnej Aplitua skłaowej fali płaskiej, gie ( ν ) ( ) ep( i2πν ) Rokła na fale płaskie 2π ep i nsinα sinα n ν T ( ν ) - ługość fali w ośroku o współcnniku ałaania n T okres prestrenn haronicnej

10 Prpaek wuwiarow W płascźnie, an rokła ρ Dla prostot apisu ρ ( ρ) (,) Transforata Fouriera tego rokłau la wektorowego apisu ( ) ( ρ) ep( iρ) ρ jest aplituą haronicnej o kołowej cęstości prestrennej (, ) Owrotna transforata Fouriera ropisana na skłaowe (,) ( ν ) [ ( )], ν ep 2πiν +ν νν Funkcja (,) jest suą wuwiarowch haronicnch ( ν, ν ) ep[ 2πi( ν + ν ) ]

11 Porównanie równania haronicnej równanie fali płaskiej Tak jak la jenowiarowego prpaku ( ν, ν ) ep[ 2πi( ν + ν ) ] [ ik n( sinα + α )] ep sin aplitua fali ( ν ν ), kąt propagacji haronicnej sinα ν sinα ν - ługość fali w ośroku o współcnniku ałaania n O α α s s kierunek propagacji haronicnej o cęstości prestrennej ν(ν,ν ) jako fali płaskiej

12 Posuowanie (t) Funkcja ienna w casie t T Wio tej funkcji ( ν) t ( ) ep( i2πνt) t (ν) aplitua haronicnej o cęstotliwości ν (ν) ouł ν 1 T ν O ν

13 Posuowanie funkcja ienna w prestreni Prpaek jenowiarow () α s Ma rokła () Wio prestrenne tego rokłau Ponieważ ν sinα ν cęstość prestrenna ( ν ) ( ) ep( i2πν ) aplitua fali płaskiej propagującej się po kąte α Rokła () jest równoważn biorowi fal płaskich propagującch się po różni kątai α

14 Haronicna prestrenna o cęstości prestrennej ν rsunek pogląow T 1/ν α Kierunek propagacji haronicnej o cęstości ν Kierunek propagacji haronicnej o cęstości -ν 2 (ν )

15 Posuowanie Prkła prpaku jenowiarowego () (ν ) (α ) 2a ν sinα Wio prestrenne ν a ( ν ) Π( ) ep( i2πν ) 2a sinc( 2πaν ) a

16 Prpaek wuwiarow W płascźnie, an rokła ( ρ), ( ) ρ Funkcja (,) jest suą wuwiarowch haronicnch Transforata Fouriera tego rokłau ν, ν, ep[ i2πν + ν ] ( ) ( ) ( ) jest aplituą haronicnej o cęstości prestrennej ν, ν ( ν, ν ) ep[ 2πi( ν + ν ) ] suą fal płaskich o aplituach propagującch się po kątai sinα ν sinα ν α s α

17 Prkła jenowiarowej siatki frakcjnej Periocn biór jenakowch eleentów () Prkła eleentów stała (okres) siatki Zbiór scelin Zbiór eleentów faowch Niech na siatkę paa fala płaska cołe fali Pole () bepośrenio a siatką jest periocn biore eleentów T e () - aplitua fali T e () transitancja eleentu

18 Ponieważ T e ( ) δ( a) T ( a) fakt periocności ożna apisać jako e - operator splotu ( ) T ( ) T ( ) δ( ) III() e e Zbiór fal płaskich wnacan pre transforację Fouriera funkcji () Ale FT ( ) ( ) ep( i ) FT [ ( ) ] gż FT [ f g] FT [ f] FT [ g] ( ) FT [ T ( ) ] FT δ( ) δ e 1 ( ) δ( ) gie 2π

19 ( ) ( ) ( ) δ e t 2 π więc ( ) ( ) ( ) δ e t gie ( ) ( ) [ ] T t e e FT albo jest transforatą Fouriera jenego eleentu a skretn biór fal płaskich ( ) ( ) π e e 2 t t Ponieważ ( ) ( ) a f(a) a () f δ δ którch aplitua jest proporcjonalna o transforat Fouriera t e jenego eleentu la arguentu

20 Kąt α propagacji fali płaskiej n α s sinα T 2π 2π 2π Ostatecnie α sinα, ± 1, ± 2,... Kierunki propagacji fal płaskich pre siatkę frakcjną Mówi się o ręach frakcjnch

21 s Roważ la prostot siatkę frakcjną jako biór scelin o serokości s Transitancja jenego eleentu Te( ) ( ) gż 2π t e gie funkcja prostokątna (brakująca) 1 la.5s ( ) s la >.5s ( ) FT [ T ( ) ] ssinc(.5 s) ssinc π e Wio fal płaskich la siatki frakcjnej w postaci bioru scelin s π ( ) ( ) sinc s s gie ( ) s sinc π s s

22 Rokła aplitu fal płaskich w ręach la 4s Serokość scelin.25 okresu siatki () () sinc(.25π) Dla siatki frakcjne jako bioru scelin o serokości s /4 Owrócona faa brak jest ręów ±4, ±8, it Uwaga: skretn rokła fal płaskich tlko la nieograniconej siatki frakcjnej

23 Rokła obciętej fali płaskiej na fale płaskie 2a Niech fala płaska cołe fali paa na prsłonę o serokości 2a Za prsłoną a rokła pola ( ) ( ) Wio fal płaskich la obciętej fali ( ) FT [ ( ) ] 2a sinc( a) 2a 2π Ponieważ sinα ( ) 2a sinc asinα 2π sinc asinα albo ( ) ( ) α 2π 2a gie ( )

24 Rokła obciętej fali płaskiej na fale płaskie c Dla 2a >> nacące wartości aplitu (α ) achoą la ałch kątów α i wte sin(α ) α więc 2π ( α ) ( ) sinc aα () (α ) α α α Miara kąta robieżności fal płaskich serokość głównego aksiu α a

25 Wpłw ograniconego wiaru siatki frakcjnej na wio fal płaskich Rokła fal płaskich la nieograniconej siatki frakcjnej bł skretn ( ) t ( ) FT δ( ) gż la (-, ) e Tera licba eleentów skońcona, więc 1 δ ( ) 2a FT FT 2a ( ) δ( ) FT ( ) FT δ( ) gż 2a [ fg] FT [ f] FT [ g] sinc 2a ( ) a δ( )

26 sin 2 α π 2 π Ponieważ ( ) + α π + α π e a sin 2 sinc sin 2 t 2a Gb a nieogranicon wiar siatki frakcjnej wrażenie a sens tlko la. 2,.. 1,, sin ± ± α skretn rokła fal płaskich ( ) ( ) ( ) ( ) δ e a sinc t 2a Wpłw ograniconego wiaru siatki frakcjnej c ( ) ( ) ( ) [ ] e a sinc t 2a ( ) ( ) ( ) a T a T e e δ więc

27 Wpłw ograniconego wiaru siatki frakcjnej c ( ) 2a t e 2π sin α + sinc 2π sin α + a wpłw na aplituę fali płaskiej kstałtu eleentu G a a wartości skońcone, pr c 2a >> wpłw obcięcia 2a a rot biór fal płaskich w akresach α sinc a końcone wartości la innch kątów niż Onacając pre b sinα + serokość głównego aksiu funkcji sinc b a b α cosα sinα α Każ ręów frakcjnch a inn kąt robieżności α bioru fal płaskich acosα

28 Wpłw ograniconego wiaru siatki frakcjnej c 2a α α, α acosα Kąt robieżności bioru fal płaskich w każ ręie frakcjn jest więks la niejsego wiar siatki 2a la więksego kąta α wżsego ręu frakcjnego Gb na siatkę paała fala gaussowska wiąki ugięte błb również wiąkai gaussowskii

29 Wnacenie rokłau pola w prestreni la nieograniconej siatki frakcjnej M Do punktu M( M, M ), gie chce wnacć aplituę espoloną, ocierają wie fale płaskie cołai fal i -1 ( ) ( ikr s + ep ikr ) s, ep M, 1 M gie wersor s (,1) i s -1(sinα 1, cosα 1 ) M s -1 r M α 1 M s -1 a więc ( ik ) + ep[ ik( sinα cosα )], ep M, 1 Dla prostot ropatruje tlko wa rę frakcjne i -1 Dla bioru fal płaskich rokła pola M, ep M ( ikr s ) M 1 M 1 1

30 Wnacenie propagacji pola w wolnej prestreni - posuowanie Prpaek jenowiarow () α ( )? Znane () naleźć ( ) Aplitu espolone prestrennch haronicnch (fal płaskich) ( ) ( ) ep( i ) FT [ ( )] propagującch się po kąte α Ponieważ ' ' sinα ν 2π ( ) ( ) [ ( )] 2 ' ν ep ik'sinα 1 sin α ( ) ( ) [( )] 2 ' ν epi' + k 1 sin α

31 Wnacenie propagacji pola w wolnej prestreni - c ' ' ( ) ( ) [( )] 2 ' ν epi' + k 1 sin α ν ( ) ( ) ( ) 2 ' ep ik 1 sin α ep( i' ) ( ) [ ( ) ( )] ' 2 ' 2π ν ep ik 1 sin ' α gie albo sinα k

32 Wnacenie propagacji pola w wolnej prestreni prpaek jenowiarow biór worów () ( ) ( ) FT [ ( )] ' ' ( ' ) 2πFT ν( ) ep ik 1 k 2

33 Wniki obliceń propagacji płaskiej fali pre otwór o serokości 2a 2a

34 Wnacenie propagacji pola w wolnej prestreni frakcja Fresnela () i wte α prpaek jenowiarow biór worów ( ) FT [ ( )] ' ( ) Kąt α ałe i ał sinα '.25 2 ( ' ) 2πep( ik) FT ν( ) ep i k π k k

35 Funkcja prenosenia wolnej prestreni la prostot prpaek jenowiarow () α π π ( ) Dla nanego rokłau () ożna naleźć ( ) w oległości suując wsstkie haronicne prestrenne (fale płaskie) Dla haronicnej propagującej się po kąte α h ( ν ) ep[ ik( sinα + cosα )] gie (ν ) jest aplituą haronicnej o cęstości prestrennej ν h pr c ( ν ) sinα ν ep i2π ν ν 2

36 Funkcja prenosenia wolnej prestreni c Jeżeli nie na rokłau pocątkowego operowanie pojęcie funkcji prenosenia Wnioski: la ν t ( ν ) la h ν (, ) ( ) 1 2 ep 2πi ν 2, h < 1 ouł t( ν ) 1 > 1 t faa aleje o wartości 2 1 ν ep 2π ν 2 ( ) k la ν o la ν 1/ haronicne o tch cęstościach są tłuione

37 Fala anikająca eanescent wae s - α Propagacja fali płaskiej po kąte α ep [ ik( sinα + cosα )] ep( i t) la ręu frakcjnego - sinα Wra e wroste ręu rośnie kąt α i la ostatecnie użego, takiego że < bęie sinα >1 Co to onaca?

38 Fala anikająca c s - [ ik( sinα + cosα )] ep( i t) ep α Ponieważ sinα >1 2 2 cosα i sin α 1 pr c sin α 1> 1 fenoenologicn wbór naku inus ( ) 2 k sin α 1 epi( t k α ) [ ] ep sin aplitua fali Fala silnie tłuiona Praktcnie suuje się fale la sinα < 1