Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona."

Alojzy Adamski
6 lat temu
Przeglądów:

1 Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech a, b, c, d,... będą elementami bioru licb recywistych R. Uogólnienie licby recywistej - uporądkowana para licb recywistych spełniająca pewne definicje i nawana licbą espoloną. Licbami espolonymi naywamy uporądkowane pary licb recywistych, np. (a, b), (c, d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący: a, b c, d a c b d a, b c, d a c, b d a, b c, d ac bd, ad bc Dodawanie i mnożenie licb espolonych są diałaniami wewnętrnymi tn., że ich wynikiem jest licba espolona. Prykład Oblicyć sumę i ilocyn licb espolonych (,-) i (3,7) (, -) + (3, 7) = ( + 3, - + 7) = (5, 6) (, -)(3, 7) = ( 37, 7 3) = (3, ) Zbiór licb espolonych onacymy literą C; jest to pocątkowa litera łacińskiego słowa complexus espolony. Zbiór licb espolonych jest ciałem. Odejmowaniem licb espolonych naywamy diałanie odwrotne do dodawania. Wynik odejmowania licb espolonych naywamy różnicą licb espolonych. (x,y) = (a,b) (c,d) (x,y) + (c,d) = (a,b) Z definicji dodawania i równości licb espolonych wynika, że wtedy x + c = a i y +d = b, cyli (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d) Prykład (,-) (3,7) = ( 3, - - 7) = (-,-8). Dieleniem licb espolonych naywamy diałanie odwrotne do mnożenia. Wynik dielenia licb espolonych naywamy iloraem licb espolonych. ( a, b) (x, y) = (x, y)(c, d) = (a, b) ( c, d)

2 Z definicji mnożenia i równości licb espolonych wynika, że wtedy cx dy a dx cy b Układ ten jest jednonacnie rowiąalny, gdy wynacnik tego układu era, cyli gdy licba espolona (c, d) nie jest erem. Stąd a, b ac bd ad bc, c, d c d c d Prykład, ,, 3, c d jest różny od W biore licb espolonych o elementach postaci (a, b) można wyodrębnić podbiór o elementach (a, 0) Dodawanie i mnożenie licb postaci (a,0) (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) Element neutralny dodawania - (0, 0) Element neutralny mnożenia - (, 0) Element preciwny do (a,0) - - (a, 0) Element odwrotny do (a,0) -, 0 dla (a, 0) (0, 0). a Wyodrębniony podbiór bioru licb espolonych ma wględem dodawania i mnożenia jego elementów analogicne właściwości jak biór R licb recywistych. Pryjmujemy (a, 0) = a tn. licba espolona (a, 0) jest utożsamiona licbą recywistą a. W scególności licba (0,0) ostała utożsamiona erem recywistym. Jedynka urojona Licby (0, b), różnej od era espolonego, nie można w analogicny sposób utożsamić żadną licbą recywistą. Licbę (0,) będiemy onacać symbolem i. i = (0,) Licbę tę naywamy jedynką urojoną Urojona, dlatego że i =, ponieważ i i (0, )(0, )=(-, 0)= -

3 a, bc, d ac bd, ad bc gdy tymcasem nie istnieje licba recywista, której kwadrat byłby licbą ujemną. Ponieważ (a, b) = (a, 0) + (0, b) ora (0, b) = (0, )(b, 0) możemy licbę espoloną (a, b) apisać w postaci kanonicnej Gaussa a + bi a R - cęść recywista licby espolonej, br - cęść urojona licby espolonej, a = Re(a + bi), Re - realis - recywisty (łac.) b = Im(a + bi), Im - imaginarius - urojony (łac.) Licba espolona ib, gdy b 0 - licba urojona. Licbę espoloną będiemy dalej naywać krótko licbą i onacać także jedną litera, np., Pry cym = a + bi. Diałania na licbach espolonych w postaci kanonicnej a ib c id a c ib d a ib c id a c ib d a ib c id ac iad ibc i bd ac bd i ad bc Modułem licby espolonej = a + bi, onacanym pre, naywamy recywistą licbę nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów cęści recywistej i cęści urojonej tej licby Prykład 3 4i 3 a b 4 5,, i, 0 0. Twierdenie Licba espolona jest wtedy i tylko wtedy erem, gdy jej moduł jest równy eru (=0) (//=0) Licbą sprężoną licbą a bi, naywamy licbę postaci a bi. Onacenie = a bi. Dwie licby, których jedna jest sprężona drugą, naywamy licbami sprężonymi.

4 Wniosek (i) Licby sprężone mają równe moduły, (ii) Ilocyn licb sprężonych jest równy kwadratowi ich wspólnego modułu Wór (ii) można napisać w postaci a b a bia bi Wniosek W biore licb espolonych sumę kwadratów można rołożyć na ilocyn cynników pierwsego stopnia. Prykład i3 4i a b a ba b Prykład 3 4i 3 4i 3 4 a ib a ib c id c id 3 5 c id c id i i3 4i 4 5 ac bd iad bc c d i i 3 4i Prykład Rowiąanie równania kwadratowego dla i 3 i, x x 3 i x 0 x 3 i INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA LICZB ZESPOLONYCH Diagram Arganda Interpretacje licby espolonej: a) x yi punkt P(x, y) diagram Arganda r, Arg b) x yi wektor [x, y] w R (prestreń wektorowa, odpowiedniość międy C, a prestrenią wektorową R ) x yi x, y x yi x, y

5 Oś urojona =Im Matematyka I Płascynę espoloną licb onacymy symbolem C. Y =x+yi P(x,y) [x,y] i 0 Oś recywista =Re Geometrycna interpretacja diałań dla licb espolonych Dodawanie licb espolonych = dodawanie wektorów x y i x y i x x y y i Odejmowanie licb espolonych = x y ix y i x x y y i odejmowanie wektorów Argumentem licby x yi 0, onacanym pre Arg, naywamy każdą licbę recywistą, spełniającą dwa warunki gdie x y >0 cos x, sin Argument licby 0 nie jest określony. Argument główny licby argument licby, który należy do prediału Onacenie arg Stąd <arg ora y Arg = arg + k, k 0,,... Prykład arg = 0, Arg = k, argi = /, Argi = / + k (,.

6 Moduł licby espolonej długość wektora wodącego punktu odpowiadającego tej licbie (interpretacja geometrycna). Argument licby espolonej - miara wględna kąta, jaki twory wektor wodący punktu osią recywistą (interpretacja geometrycna). Im =x+yi 0 r=// Re Postać trygonometrycna licby espolonej r cos isin r moduł licby espolonej - argument licby espolonej Prykład Napisać w postaci trygonometrycnej licbę argumentem. r 3 cos sin Im 3 k stąd 6 = 3 i posługując się jej głównym 3 i cos 6 i sin 6 = 3 + r= =/6 3 Re

7 równość dwóch licb espolonych Uwaga Zapis Arg / / i 0, Arg mod Arg Arg onaca, że argumenty licb i są równe modulo, Arg Arg +k Mnożenie licb espolonych w postaci trygonometrycnej r (cos isin ), r (cos isin ) [ r (cos isin )][ r (cos isin )] = rr [(cos cos sin sin ) i(cos sin sin cos ) = r r [cos( ) isin( ) Wniosek (i) Moduł ilocynu dwóch licb espolonych jest równy ilocynowi ich modułów (ii) Argument ilocynu dwóch licb espolonych jest równy sumie ich argumentów Arg( ) Arg Arg (iii) Moduł ilorau licb espolonych jest równy iloraowi ich modułów (iv) Argument ilorau dwóch licb espolonych jest równy różnicy ich argumentów Arg = Arg Arg Twierdenie ( de Moivre a) Dla każdej licby espolonej Dielenie licb espolonych w postaci trygonometrycnej r [cos( ) i sin( )] r ora dla licby naturalnej n 0,,,..., achodi: n r r cos i sin n n i n cos sin

8 Powyżse twierdenie achodi również dla licb całkowitych ujemnych: n = n n r cos n i sin n r n cos n i sin n r n cos n isin n cos n i sin n cos n sin n r n W scególności, dla: r cos i sin 0 licba odwrotna do wyraża się worem: cos i sin r

Podobne dokumenty

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych