Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:

Transkrypt

1

2 ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ u u i ˆ j u iˆ u ˆ j u ds u, ds ds rkład: Oblic pochodną unkcji v 3iˆ 4 ˆ j v 3 u iˆ 4 ˆj v 5 5 w kierunku wektora w punkcie ˆ i + ˆj ( sin ) ( sin ) e iˆ + e ˆj iˆ + ˆj d ds u, ( ˆ ˆ) ( 3 ˆ 4 ˆ) u i j i j (, ) e + cos (, ) laer laer laer M. rbcień Matematcne Metod iki I Wkład 1-

3 Gradient Deinicja: Gradientem unkcji skalarnej w punkcie nawam wektor: ˆ ˆ i + j + kˆ gdie pochodne cąstkowe unkcji oblicone są w punkcie. Gradient jako operator Własności: ( ) cos D u J u unkcja rośnie najsbciej w kierunku unkcja rośnie najsbciej w kierunku (,, ) unkcja nie mienia się w każdm kierunku prostopadłm do rkład: Znajdź kierunki w punkcie (1,1) w którch unkcja, / + / najsbciej rośnie, maleje ora w którch nie mienia się. ( ˆ ˆ) ˆ ˆ 1 ˆ 1 Ma wrost: i + j i + j u i + ˆj 1, 1 1, 1 n 1 iˆ + 1 ˆ Brak mian: j ora n 1 iˆ 1 ˆj M. rbcień Matematcne Metod iki I ˆ i ˆ j kˆ + + najsbs spadek najsbs wrost brak mian Wkład 1-3

4 Gradient - prkład rkład: Na mapach topograicnch strumienie płną w kierunkach prostopadłch do poiomic. Niech ( t), ( t) c dla r t t iˆ + t ˆj d d ˆ ˆ d ˆ d i j i ˆ j dt dt dt dt dr a więc wektor jest prostopadł do krwej. dt rkład: Równanie stcnej do elips. 4 + Wektor prostopadł do elips + (, 1) ( ) iˆ + j ˆ iˆ + ˆj, 1 Równanie stcnej ( r r) n 4 (, ) (, ) laer M. rbcień Matematcne Metod iki I Wkład 1-4

5 Gradient - prkład Uwaga: W prestreni R 3 równania płascn stcnej do powierchni M. rbcień Matematcne Metod iki I (,, ) w punkcie (,, ) ora prostej do niej prostopadłej mają odpowiednio postać: r r r t r t ( ) ( ) ora + ( ) rkład: Znajdź płascnę stcną do dane powierchni w punkcie ( 1, 1, ) (,, ) Znajdujem wektor prostopadł do dane powierchni w punkcie : 3 4 iˆ 3j ˆ 4kˆ 7iˆ 3 ˆj + 8kˆ ( 1, 1, ) Równanie płascn stcne ma więc postać: ( ) ( r r ) ( i ˆ ˆ j k ˆ ) ( ) i ˆ ( ) ˆ j ( ) k ˆ r Twierdenie: Dan jest wektor położenia. Wted ora Dowód: 1 / ˆ ˆ ˆ r r + + i + j + k rˆ r r r r ˆ ˆ ˆ r ˆ r ˆ r ˆ r i + j + k i + j + k rˆ r r r r r rˆ Wkład 1-5 c ( r) rˆ ( d / dr) r r + + / 1

6 Całka liniowa i gradient Dla dowolnego pola wektorowego A,,, całką liniową nawam całkę postaci: b a, G a, G A dr b A d + A d + A d ( ) rkład: raca wkonana pre siłę: W a b b dr a, G dr id ˆ + ˆjd + kd ˆ W ogólności wartość całki ależ od konkretnej drogi pomięd punktami a i b. Całka liniowa nie ależ od drogi jednie w prpadku gd istnieje unkcja skalarna j taka, że A j. Wted mam b b b j j j b A dr j dr d + d + d dj j( b) j( a) a, G a, G a a ole które posiada powżsą własność nawam polem achowawcm. W scególności dla pól achowawcch całka po dowolnej krwej amkniętej jest równa ero: j dr A Słusne jest również twierdenie odwrotne, tn. jeśli dr, to pole A laer jest polem achowawcm ora istnieje unkcja skalarna j taka że A j M. rbcień Matematcne Metod iki I Wkład 1-6

7 Całki liniowe - prkład rkład: raca wkonana pre siłę 6 iˆ ˆj ( ) wdłuż krwej pomięd punktami (,) i (,). W dr ( iˆ ( ) ˆ j) dr 6 d + ( 3 3 ) d G G G Metoda I: Zmiana miennch d ( 1) d 5 4 { } W 6 d d d G d 16 r t ti t t ˆj (,, ) (,, dr dr t t t ) dt dt W dr { 6t( t t) + 3t 3( t t) ( t 1) } dt 16 Metoda II: Krwa opisana jest pre wektor położenia ˆ + ( ) G ev J 16 J GeV M. rbcień Matematcne Metod iki I Wkład 1-7

8 Twierdenie: ole ola achowawce iˆ + ˆj + kˆ (,, ) (,, ) (,, ) wted i tlko wted gd spełnione są warunki jest achowawce Dowód: Jeśli pole jest achowawce to istnieje unkcja (potencjał) j taka, że ˆ ˆ ˆ ϕ ˆ ϕ ˆ ϕ ˆ i + j + k i + j + k ϕ ϕ ϕ ϕ w takim raie mam np.: 6 iˆ ˆj rkład: Znajdiem potencjał dla pola ole jest achowawce ponieważ spełnion jest warunek: j iˆ j ˆj iˆ j ( ) ˆj j 6 j 3 + j d d j k 6 (, ) (, ) W j j 16 M. rbcień Matematcne Metod iki I Wkład 1-8