Zadania z AlgebryIIr

Transkrypt

1 Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = t = ; + + = ; + 7 6t = + = = 8 = t = + 9 = 9 ; + 7t = + = t = = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu: 6 p p ; p p ( w ależności od parametru p) p p 8 9 t () W ależności od parametru p rowia ι ać uk lad równań: (p ) + + = + (p ) + = p, + + (p ) = p p + p p p + p p + t = + + t = t = p p p p p p + p + p + p + p + 6 p + 7 p + p + 8 () W ależności od parametru R rowia ι ać uk lad równań: p + () Podać w ależności od parametru C rowia ι ania uk ladu równań: =, ( + ) + ( + ) + + = ( ) =, = (6) Dla jakich R wektor? jest kombinacja ι liniowa ι wektorów: (7) W ależności od wartości a badać liniowa ι nieależność wektorów: 7 + a a + + a a + a a

2 (8) Niech g :=, gdie I I onaca macier jednostkowa ι Definiujem L := {A M (R) : A T g + ga T = } Sprawdić, że L jest podprestrenia ι wektorowa ι ora dla A, B L [A, B] := AB BA L (9) Znaleźć maciere odwrotne do podanch poniżej: ; 8 ; 6 6 () C istnieje macier A taka, że ABA jest maciera ι diagonalna ι Jeżeli tak, naleźć te ι macier ora postać ABA + i i B := i i i + i i + i + i i () Oblicć podane wnacniki: a) ; b) 9 8 d) ; e) () Oblicc wnacniki stopnia n: a) ; b) dolnego rogu) () Znaleźć macier odwrotna ι do macier A := ; c) , 6, 6,,, 6 n n n (wsk: Rowijać od prawego ; () Oblicć wnacnik stopnia n 6 6 D n = 6 6

3 () Niech V := K [ ], a F End(V ) określm worem (F v)(t) := v(t + ) Predstawić F T (φ ) w postaci kombinacji liniowej φ, φ, φ, φ V, jeśli φ (v) := v( ), φ (v) := v(), φ (v) := v(), φ (v) := v() (6) Niech V = R [ ] ora niech F End(V ) be ι die dan worem (F (v))(t) := v(t + ) v (t) Znaleźć macier [F ] e e, jeśli e jest baa ι V lożona ι jednomianów, t, t (7) Korstaja ι c metod Lagrange a naleźć bae ι diagonaliuja ι ca ι i sgnature ι form kwadratowej na R : Q(,, ) := + + (8) W prestreni wielomianów V := R [ ] dia la endomorfim T o naste ι puja ι cch w lasnościach: T ( + ) = +, T ( + ) = +, T ( + + ) = + + Znaleźć macier odworowania T w baie standradowej (,, ) Zbadać, c T jest odwracaln (9) Niech V Map(R, R) be ι die podprestrenia ι generowana ι pre funkcje: g () :=, g () := e, g () := e Wkaać, e ι odworowanie T : V f (g +g g )f + (g + g )f Map(R, R) jest liniowe i achowuje podprestreń V (tn T V V ) ora naleźć macier cos( πt ) w baie (g, g, g ) () W prestreni wielomianów V = R [] dia la endomorfim T o naste ι puja ι cch w lasnościach: T ( + ) = +, T ( + ) = +, T ( + + ) = + + Znaleźć macier tego odworowania w standardowej baie {,, } Zbadać, c T jest odwracaln () Niech V := R [] (prestreń wielomianów o wsp recwistch stopnia ) Określam odworowanie T : V V worem: (T w)() := ( t ) w( + t) dt, w V a) Sprawdić, że T jest liniowe; b) Podać macier T w baie (,, ); c) Podać biór wartości w lasnch T ora oblicć det T d) Oblicć T v, gdie v() := + () Niech dim V = i niech be ι da ι dane wektor e, e, e V ora form liniowe e, e, e V, spe lniaja ι ce warunki i,, j, : e i, e j = δj, i e, e Dowieść, że: (a) każda trójek e, e, e i e, e, e jest liniowo nieależna; (b) istnieja ι e V, e V, takie że i, j, : e i, e j = δj; i (c) niejednonacność wboru par e V, e V punktu (b) ma postać: e e + e, e e e () Podać prk lad ba prestreni R i R, w którch preksta lcenie liniowe L : R R określone worem: L(,, ) = ( +, ) ma macier postaci: () Sprawdić liniowość operatora F, F : V W, naleźć macier F w podanch baach ora ba ker F, im F jeżeli: a) F (v) = v ( + )v v ; V :=<,, >, W =<,, > b) F (v) = (v(), v(), v ()); V := R [ ], W := R, dla obdwu prestreni ba standardowe c) F (v) = (v(), v(), v ()); V := {v R [ ] : v() = }, V :=<, >, W := R, baa standardowa d) Jak mienia ι sie ι maciere F powżsch punktów gd V :=< (, ( ) > a W :=< +, +, + + > lub W :=< (,, ), (,, ), (,, ) >? (wsk użć macier mian ba) () Pokaać, że odworowanie R + + R

4 jest liniowe Znaleźć jego macier w baach standardowch (6) Zbadać c odworowanie C n [ ] f T f C n [ ], gdie (T f)() = f() + f( + ) jest injekcja ι, surjekcja ι, bijekcja ι (7) Znaleźć macier [T ] f e dla T L(R [ ], R [ ]) danego worem (T w)() = w () + w() + w(t)dt, jeśli e () = +, e () = +, e () = +, e () = ora f () =, f () = +, f () = + + Znaleźć imt[ i kert ] (8) Niech T : R R preprowada na ora na Znaleźć [T ] f e jeśli f = (, ), e = (, (9) Znaleźć prk lad ba w którch macier odworowania F L(V, W ) prjmuje postać kanonicna ι v() v() (a) V = R [ ], W = R, Lv = v() v( ) v() v( ) (b) V = R, W = R, Lv = () Znależć macier odwrotna ι do macier: a = i + i i i () Oblicć wnacniki macier a = [a i j] jeśli (a) a i n i+ = α n R, i =,, n poosta le wra macierowe sa ι równe, (b) a i i =, a j+ j =, a i n = α i R, i =,, n, j =,, n (c) a i i = i, poosta le wra macierowe sa ι równe, i =,, n + + (d) + + (e) (f) a b () Pokaać, że det = det[(a + b)(a b)] jeśli a, b sa b a ι macierami n n () Niech a be ι die maciera ι n n o wraach a i j = v i w j + δ i j dla pewnego wektora kolumnowego v i wiersowego w Sprawdić, że a jest odwracalna gd + n i= v i w i ora naleźć jawn wór na macier odwrotna ι v )

5 () Maja ι c F End(V ) dimv < określam podprestrenie V = kerf V = F n n= Sprawdić, że (a) F V V, (b) operator N = F V odworowuja ι c V w V jest nilpotentn, tn istnieje k N takie, że N k =, (c) operator B = F V jest bijektwn, (d) V = V V () Niech V = R W prestreni spre ι żonej dane sa ι tr form liniowe: ϕ () = + +, ϕ () = +, ϕ () = + Sprawdić, że ϕ = (ϕ, ϕ, ϕ ) jest baa ι V Znaleźć wspó lcnniki rok ladu w tej baie form F (ϕ ), jeśli + F () = + + n=