Promieniowanie dipolowe

Transkrypt

1 Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A = µ 0 Z () Z c 2 Z 2 = P (2) gdzie P jest wektorem polaryzacji. Można także wprowadzić dodatkowy pomocniczy wektor, równy rotacji wektora Hertza F = Z (3) Czasami wektor F nazywany jest elektrycznym potencjałem wektorowym. Pole magnetyczne obliczamy wówczas korzystając z następującego wzoru B = A = µ 0 Z Pole elektryczne wynosi = µ 0 F Z = µ 0 (4) E = φ A = ϵ 0 Z µ 0 2 Z 2 (5) Źródłem promieniowania jest dipol punktowy o momencie dipolowym p(t) umieszczony w początku układu współrzędnych, o polaryzacji równej delcie Diraca P( r, t) = p(t) δ( r) (6) Wówczas w punktach r 0 wektor Hertza spełnia jednorodne równanie falowe Z = µ 0 ϵ 0 Z 2 (7) Pole elektryczne promieniowania wokół dipola wynosi więc E = ϵ 0 Z ϵ 0 Z = ϵ 0 Z = ϵ 0 F (8)

2 Jeśli moment dipolowy p(t) = p 0 e iωt zależy harmonicznie od czasu, wówczas rozwiązanie niejednorodnego równania falowego (2) ma postać opóźnionego wektora Hertza Z( r, t) = 4πr p 0 e i(ωt kr) (9) gdzie k = ω/c = 2π/λ. Zakładając, że moment dipolowy p 0 jest skierowany wzdłuż osi z, możemy napisać składowe wektora Hertza w układzie sferycznym Z r = Z cos θ, Z θ = Z sin θ, Z = p 0 4πr eiϕ (0) gdzie faza ϕ = ωt kr. Ze wzorów na rotację w układzie sferycznym wynika, że jedyną niezerową składową rotacji wektora Hertza będzie składowa kątowa ( Z) φ = [ r r (rz θ) Z ] r () θ Składowa kątowa pomocniczego wektora F, zgodnie z definicją (3),wyniesie więc Ponieważ F φ = r r (rz) sin θ + Z r sin θ (2) stąd F φ = Z sin θ r (rz) = ikz (3) r ( ) r + ik = p ( 0 4π r + ik ) sin θ e iϕ (4) 2 r Pole magnetyczne obliczamy zgodnie ze wzorem (4) F φ B φ = µ 0 = µ 0 iω p ( 0 4π r + ik ) sin θ e iϕ = (5) 2 r = p [ 0 k 3 i sin θ eiϕ 4π ϵ 0 c (kr) ] 2 kr gdzie kr = 2π r/λ jest bezwymiarową wielkością zależną od stosunku odległości od dipola r do długości fali λ. Otoczenie dipola dzielimy odpowiednio na trzy strefy: r λ strefa bliska, r > λ strefa pośrednia, r λ strefa daleka. 2

3 Pole elektryczne obliczamy zgodnie ze wzorem (8), stosując wyrażenia na rotację w układzie sferycznym Stąd E r = ϵ 0 ( F) r = ϵ 0 r sin θ E θ = ϵ 0 ( F) θ = ϵ 0 r θ (sin θ F φ) (6) r (rf φ) E r = p ( 0 2 cos θ e iϕ 4πϵ 0 r + ik ) = p 0 3 r 2 4π [ k 3 2 cos θ e iϕ ϵ 0 (kr) 3 + i ] (kr) 2 (7) Z kolei ponieważ E θ = p 0 4πϵ 0 sin θ r [( ) ] r r + ik e i(ωt kr) (8) [( ) ] r r + ik e iϕ = ( ) ( r 2 eiϕ + r + ik ( ik) e iϕ = e iϕ r ik ) 2 r + k2 (9) więc E θ = p ( 0 sin θ e iϕ 4πϵ 0 r + ik ) 3 r k2 = p 0 2 r 4π k 3 ϵ 0 sin θ e iϕ [ (kr) + i 3 (kr) ] 2 kr (20) Składniki we wzorach na E r i E θ, odwrotnie proporcjonalne do r 3, odpowiadają elektrostatycznemu polu dipola w strefie bliskiej. Wyrazy we wzorach na E r, E θ i B φ, odwrotnie proporcjonalne do r 2, opisują zmienne w czasie pole przejściowe w strefie pośredniej. Wyrazy występujące w wyrażeniach na E θ i B φ, odwrotnie proporcjonalne do r, opisują pole promieniowania, czyli kulistą falę elektromagnetyczną wypromieniowaną przez dipol. Przybliżone wyrażenia dla pola promieniowania dipola punktowego są następujące E θ = p 0 4π k 2 e iϕ ϵ 0 r sin θ, B φ = p 0 4π k 2 ϵ 0 c e iϕ r sin θ (2) 3

4 Pole promieniowania wykazuje typowe cechy fali elektromagnetycznej. Związek między amplitudami pól wynosi E θ = c B φ (22) Wektory pól elektrycznego i magnetycznego są wzajemnie prostopadłe, oraz są prostopadłe do radialnego kierunku propagacji fali. Linie sił pola promieniującego dipola Ponieważ pole magnetyczne ma tylko składową B φ, linie sił pola magnetycznego są okręgami w płaszczyznach zawierających oś z. Równanie linii sił pola elektrycznego w układzie sferycznym jest następujące dr = r dθ, czyli E θ dr E r r dθ = 0 (23) E r E θ Zamiast korzystać z ostatecznych wzorów (7) i (20) na składowe sferyczne E r i E θ pola elektrycznego, lepiej jest zastosować wcześniejsze wzory (6) wyrażające pole elektryczne przez składową F φ pomocniczego wektora r r (rf φ) dr r sin θ θ (sin θ F φ) r dθ = 0 (24) Mnożąc obie strony powyższej równości stronami przez r sin θ otrzymujemy różniczkę zupełną wyrażenia rf φ sin θ r (rf φ sin θ) dr + θ (rf φ sin θ) dθ = d(rf φ sin θ) = 0 (25) Równaniem linii sił pola elektrycznego jest więc r sin θ F φ = const (26) Należy zauważyć, że przy obliczaniu linii sił pola elektrycznego, należy wziąć mające sens fizyczny rzeczywiste częsci wektorów E i F. Z równania (4) mamy Re F φ = p ( 0 cos ϕ 4π sin θ k sin ϕ ) (27) r 2 r Zgodnie ze wzorem (5): B = µ 0 iω F. Co ciekawe, równanie linii sił pola elektrycznego jest więc określone przez wartość pola magnetycznego: r sin θ B φ = const. 4

5 gdzie faza ϕ = ωt kr. Ostatecznie, równanie linii sił pola elektrycznego w układzie sferycznym wynosi [ ] cos(ωt kr) sin 2 θ sin(ωt kr) = const (28) kr Na rysunku przedstawiono obrazy linii sił pola elektrycznego promieniującego dipola, w kilku kolejnych chwilach czasu. W strefie dalekiej, w której obowiązują przybliżone wzory dla pola promieniowania, w równaniu (28) można opuścić czynnik proporcjonalny do /r. Przybliżone równanie linii sił pola elektrycznego, obowiązujące dla odległości od dipola dużych w porównaniu z długością fali λ wynosi sin 2 θ sin(ωt kr) = const (29) Czynnik ωt kr wskazuje, że pole elektromagnetyczne zmienia się periodyczne w kierunku radialnym, z długością fali λ. Zwrot linii pola elektrycznego można ustalić zauważając, że rzeczywista część wektora pola elektrycznego zależy od czynnika cos ϕ = cos(ωt kr). Jak widać na rysunku 2, na odcinku równym długości fali mieszczą się dwie zamknięte pętle linii pola elektrycznego. Promieniowanie dipola magnetycznego Do opisu promieniowania punktowego dipola magnetycznego stosujemy magnetyczny wektor Hertza Z m, spełniający niejednorodne równanie falowe Z m c 2 2 Z m 2 = µ 0 M (30) gdzie M jest wektorem magnetyzacji. Potencjał wektorowy pola elektromagnetycznego jest równy rotacji magnetycznego wektora Hertza A = Z m (3) Pole elektromagnetyczne promieniującego dipola obliczamy za pomocą znanych wzorów B = A, E = A (32) 5

6 Wektor magnetyzacji dla punktowego dipola magnetycznego w początku układu współrzędnych, o zmiennym w czasie momencie dipolowym m(t) jest proporcjonalny do delty Diraca. M( r, t) = m(t) δ( r ) (33) W tym wypadku, rozwiązanie niejednorodnego równania falowego (30) ma postać opóźnionego magnetycznego wektora Hertza Z m = µ 0 4π m(t r/c) r (34) Dla harmonicznej zależności momentu dipolowego od czasu m(t) = m 0 e iωt, opóźniony wektor Hertza wynosi Z m = µ 0 m 0 e i(ωt kr) (35) 4π r gdzie k = ω/c = 2π/λ. Jeśli starannie porównać powyższe wzory z analogicznymi wzorami dla promieniowania elektrycznego dipola punktowego, to można podać następującą analogię pomiędzy teoretycznym opisem promieniowania obu typów dipoli: dipol elektryczny dipol magnetyczny Z = p 0 4π r eiϕ Z m = µ 0 m 0 4π r eiϕ F = Z A = Z m F B = µ 0 E = A E = F B = A ϵ 0 Wzory dla promieniowania dipola elektrycznego można więc bez trudu przepisać dla dipola magnetycznego, stosując następującą zamianę oznaczeń: dipol elektryczny Z F dipol magnetyczny Z m A p 0 µ 0 m 0 ϵ 0 E B B/µ 0 E 6

7 Na podstawie równań (2) możemy od razu napisać analogiczne wzory dla pola promieniowania punktowego dipola magnetycznego, w strefie dalekiej od dipola B θ = m 0 4π k 2 e iϕ ϵ 0 c 2 r sin θ, E φ = m 0 4π k 2 ϵ 0 c e iϕ r sin θ (36) gdzie we wzorze na B θ zamieniliśmy µ 0 przez /(ϵ 0 c 2 ). Jak widać, wartości pól dla promieniowania dipola magnetycznego różnią się od wartości pól dla promieniowania dipola elektrycznego o dodatkowy czynnik c w mianowniku. Pole elektryczne dla promieniowania dipola magnetycznego ma przeciwny znak. Jest to związane z tym, że dla fali elektromagnetycznej trójka wektorów: e r (kierunek propagacji fali), E i B jest wzajemnie ortogonalna. Opór promieniowania dla dipola magnetycznego Rozważmy kołową pętlę o średnicy d, przez którą płynie prąd I(t) = I 0 cos ωt. Magnetyczny moment dipolowy obwodu, równy iloczynowi prądu i powierzchni obwodu, wynosi m(t) = I(t) S = πd2 4 I 0 cos ωt = m 0 cos ωt (37) gdzie m 0 = πd 2 I 0 /4. Wzór Larmora dla średniej po czasie mocy promieniowania magnetycznego dipola punktowego wynosi P = µ 0 ω 4 m 2 0 2πc 3 (38) Zgodnie ze wzorem (36) różni się on od analogicznego wzoru dla promieniowania dipola elektrycznego o czynnik c 2 w mianowniku. Przez opór promieniowania rozumiemy opór omowy R, który dawałby taką samą moc wydzielaną w postaci ciepła P = I 2 R, jak podaje wzór Larmora. Stąd opór promieniowania wynosi P = I(t) 2 R = 2 I2 0 R = µ 0 ω 4 2πc 3 π2 d 2 6 I2 0 (39) R = µ 0 π ω 4 d 4 96 c 3 (40) Zamieniając częstość fali ω przez jej długość λ: ω = 2π c/λ, otrzymujemy 7

8 R = µ 0 π 5 c 6 ( ) 4 d = π5 λ 6 Z 0 ( ) 4 d (4) λ gdzie Z 0 = µ 0 /ϵ 0 = 20π Ω jest oporem falowym próżni. Ostatecznie R = 9, 2 kω ( ) 4 d (42) λ Jak widać, opór promieniowania ma znaczenie dla obwodów elektrycznych, których rozmiar jest większy niż odpowiednia długość fali λ = 2π c/ω. Na przykład, dla prądu zmiennego o częstotliwości f = 00 MHz długość fali wynosi λ = 3 m. 8

9 Rysunek : Ewolucja w czasie linii sił pola elektrycznego promieniującego dipola. 9

10 Rysunek 2: Linie sił pola elektrycznego promieniującego dipola w strefie dalekiej. 0