1. Podstawy rachunku wektorowego

Transkrypt

1 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle w prestreni poostae tm samm wektorem Prkłaem wielkości wektorowe est prękość prspiesenie siła moment sił pę moment pęu Doawanie i oemowanie wektorów b graficnie oać wa wektor i presuwam równolegle een nich np wektor tak b ego pocątek pokrł się końcem rugiego wektora (wektora ) Sumę wektorów i twor wektor łącąc pocątek wektora końcem presuniętego wektora Proceurę tą możem stosować o więkse licb wektorów a koleność ich równoległego premiescania est owolna b graficnie oąć wa wektor możem wkorstać proceurę graficnego oawania astępuąc wektor oemowan wektorem preciwnie o niego orientowanm (Rs 11) Rs 11 Graficne oawanie i oemowanie wektorów Rokła wektora na skłaowe i Rs 1 Rokła wektora na skłaowe w ukłaie współręnch prostokątnch

2 Dowoln wektor możem apisać w postaci sum ego rutów na osie ukłau współręnch: i (11) gie i są enostkowmi wektorami (wersorami) o kierunkach i wrotach pokrwaącch się kierunkami i wrotami osi (Rs 1) W ukłaie trówmiarowm wrażenie (11) prmue postać: k i (1) gie k est wersorem osi Wektor rołożone na skłaowe oaem lub oemuem oaąc lub oemuąc ich opowienie skłaowe: (13) (14) Ilocn skalarn wóch wektorów Ilocnem skalarnm wektorów i est skalar określon pre wrażenie: cos (15) gie (16) (17) są ługościami wektorów i orientowanch wglęem siebie po kątem (Rs 13) Ilocn skalarn można również oblicć sumuąc ilocn opowienich skłaowch wektorów i : (18) Prkłaem ilocnu skalarnego est praca mechanicna efiniowana ako ilocn skalarn sił i presunięcia s : scos s L (19) Powżsa relaca est poprawna pr ałożeniu że w każm punkcie rogi wektor sił ma tą samą ługość i est orientowan wglęem presunięcia po tm samm kątem W ogólnm prpaku pracę którą wkonue pole siłowe premiescaąc punkt włuż owolne traektorii punktu ) ( P o punktu ) ( P określa wrażenie:

3 P P P P s L (11) Rs 13 Ilustraca o efinici ilocnu skalarnego (a) i wektorowego (b) Ilocn wektorow wóch wektorów Ilocnem wektorowm wóch wektorów i nawam wektor C (111) o ługości sin C (11) i orientaci wnacone pre prostą prostopałą o płascn w które leżą wektor i Zwrot wektora C wnaca reguła śrub prawe (Rs13) Ilocn wektorow wektorów i można także prestawić w równoważne postaci: k i (113) W oróżnieniu o ilocnu skalarnego ilocn wektorow nie est premienn: (114) Prkłaem ilocnu wektorowego est moment sił M i moment pęu L efiniowan ako ilocn wektorow wektora położenia (ramienia) r ora opowienio wektora sił i wektora pęu p : r M (115) p r L (116) (a) C (b)

4 Powżse efinice określaą moment obwu wielkości ficnch wglęem punktu wnaconego pre pocątek wektora r Prkła Prkła 11 Dane są wa wektor: 1 i 1 a) Znaleźć sumę i różnicę obwu wektorów metoą graficną Oblicć ilocn skalarn i wektorow tch wektorów posługuąc się efinicami obwu ilocnów uętmi opowienio w formułach (15) i (111) (11) b) Znaleźć sumę różnicę ora ilocn skalarn i wektorow obwu wektorów posługuąc się opowienio relacami (14) ora (18) i (113) Porównać wniki iałań reultatami otrmanmi w punkcie a) Rowiąanie: i a) Suma i różnica wektorów otrmana graficnego oawania i oemowania wektorów metoą równoległoboku wnosi: Długości wektorów i są opowienio równe: Kąt wnacone są pre relace: tan tan cos 8 sin 6 Zgonie efinicą ilocnu skalarnego (15) naiem: cos 5 5 cos3687 4

5 Ilocn wektorow obwu wektorów efiniuą równania (111) (11): k 3k C C C sin 5 5 sin Znak minus pr wersore k wnika pręte w efinici ilocnu wektorowego reguł śrub prawe b) Sumę i różnicę obwu wektorów naiem sumuąc i oemuąc opowienie ich skłaowe - gonie relacą (14): Ilocn skalarn określa równanie (18): Ilocn wektorow (113) prmie postać: k Wniki iałań na obwu wektorach w punkcie a) i b) są więc ientcne Prkła 1 Jaka est wartość i kierunek wpakowego premiescenia ciała eżeli premiescenia skłaowe są takie ak na rsunku? 45 km 1km 5km 4km 3 6 Rowiąanie: Wektor skłaowe premiescenia wnosą opowienio: 1 4cos3 4sin 3 5cos6 5sin 6 1cos18 1sin 18 cos5 sin 5 3 Wartość i kierunek wpakowego premiescenia ciała określa wektor: Z relaci wiążącch współręne karteańskie i współręne biegunowe: cos sin

6 wnika że: km 73 km 5451 arccos arccos Prkła 13 W karteańskim ukłaie współręnch ane są tr wektor: 3 4 C 3 3 Dla akie wartości parametru wektor C leżą w 6 ene płascźnie? Rowiąanie: Oblicam ilocn wektorow i 3 : 4 k i k 1 Wektor i ak każa para wektorów leżą w ene płascźnie o które orientowan est prostopale wektor Wektor C bęie leżał w te same płascźnie eżeli bęie orientowan prostopale o wektora Wektor C bęą więc leżał w ene płascźnie eżeli spełnion ostanie warunek: C Warunek ten ma postać: C Rowiąaniem tego równania są wartości ora 18 Sprawić że la naleionch wartości spełnione są także relace: C C Dane są wektor: 3 4 i 5 Zaania Znaleźć wartości i kierunki następuącch wektorów: 3 Prestawić te iałania graficnie 1 Oblicć algebraicnie ora wnacć graficnie sumę trech wektorów: C 5 13 Dane są wa wektor: C 1 3? Jakie są skłaowe wektora C eżeli

7 14 Dane są wa wektor 3 i 1 5 C? 15 Jakie są skłaowe wektorów i eżeli: C 4C Jakie są współręne wektora C eżeli 3 4 C? 16 Poróżnik preseł 7 kmw kierunku północno-wschonim Jak aleko powinien iść na połunie a następnie na achó ab wrócić o punktu wścia? 17 Statek prepłnął 15milmorskich kursem następnie 1 mil kursem 7 ora 5 mil kursem 13 Jak aleko i akim kursem statek musi płnąć ab wrócić o punktu startu? 18 Na ciało iałaą wie sił Siła 1 ma wartość 1 7 N i est skierowana po kątem 4 wglęem osi Druga siła ma wartość 5 N i wrot gon e wrotem osi Wnacć graficnie i algebraicnie wartość ora kierunek sił wpakowe 19 Skrnia est ciągnięta pre wie osob a pomocą lin Jena osoba ciągnie siłą 1 N po kątem 4 Z aką siłą ciągnie linę ruga osoba eżeli lina naprężona est po kątem 3 a skrnia porusa się włuż osi? Jaka est wpakowa siła aką iałaą obie osob? Tarcie pominąć 1 11 Gb siła popreniego aania miała tą samą wartość co siła 1 to aką oatkową siłę i w akim kierunku należałob prłożć o skrni ab porusała się ona cał cas ruchem enostanm włuż osi? 111 Na ciało iałaą tr sił: 1 i nienana siła 3 Jaka est wartość i kierunek iałania nienane sił eżeli te tr sił równoważą się? Dane: 1 5 N 7 N Dane są wa wektor: 5 3 pomię wektorami i Oblicć ilocn skalarn ora kąt

8 113 Oblicć ługości wektorów i 5 3 wektorami? 114 Pokaać że wektor i Jaki est kąt pomię tmi są waemnie prostopałe 115 Wektor i maą opowienio ługości 4 i 5 Jaki est kąt pomię tmi wektorami eżeli: a) b) c)? 116 Wektor i maą pocątki w pocątku ukłau współręnch a końce opowienio w punktach o współręnch biegunowch 7 7 i 4 13 Oblicć ilocn skalarn 117 Wektor ma ługość 5 Oblicć ilocn skalarn Jaki est kąt pomię tmi wektorami? i wrot gon kierunkiem osi Wektor Oblicć kąt pomię wektorami P i Q eżeli wiaomo że wektor P Q i 4P 5Q są waemnie prostopałe ora że P Q 119 Jaka est skłaowa wektora 3 w kierunku wektora enostkowego 4 / 5 3/ 5 1 Oblicć ilocn wektorow wektorów 3 1 ora 1 3 u? 11 W karteańskim ukłaie współręnch ane są wa wektor: Oblicć: a) ługość każego wektorów b) ilocn skalarn i c) ilocn wektorow i ) kąt awart mię wsstkimi cterema wektorami 1 W karteańskim ukłaie współręnch ane są wa wektor: Znaleźć: a) ługość każego wektora b) ilocn skalarn c) kąt awart mię wektorami i ) sumę i różnicę wektorów: e) ilocn wektorow 3 C f) wektor C taki że 13 Wektor ma ługość 5 i leż w płascźnie po kątem 1 wglęem osi Wektor ma ługość 3 ora kierunek i wrot gon osią Oblicć ilocn skalarn ora ilocn wektorow tch wektorów ora

9 14 Dane są wa wektor: Dokonuąc mnożenia - wra po wraie i korstaąc efinici ilocnu skalarnego ora efinici ilocnu wektorowego uowonić że: i k 15 Kąt to kąt pomię wektorami 1 4 i 3 Opieraąc się na efinici ilocnu skalarnego i wektorowego oblicć wartość sinusa i cosinusa tego kąta Sprawić że sin cos 1 16 Wektor est skierowan preciwnie o osi a wektor preciwnie o osi Jaki est kierunek i wrot wektora? Jaki est kierunek i wrot wektora? 17 Wektor skierowan est gonie e wrotem osi i ma ługość 5 natomiast wektor ma wrot preciwn o osi i ługość 3 Jaki est kierunek i ługość wektora i wektora 3? 18 Oblicć ilocn wektorowe: C C eżeli C 19 Wnacć kąt pomię wektorami i g: a) 3 b) c) 13 Jaki est kąt pomię wektorem C a osiami 1 3? Jaką ługość maą poscególne wektor i C? eżeli Znaleźć wsstkie wektor o ługości enostkowe leżące w płascźnie i prostopałe o r 1 1 wektora 13 Wkaać że wektor est prostopał o wektora eżeli 133 Wektor i spełniaą następuące ależności: Wnacć kąt pomię wektorami i 134 Znaleźć wektor enostkow n prostopał o wektora 1 1 i 1 1

10 135 Dane są tr wektor: C C wektor C leżą w ene płascźnie? C Znaleźć ilocn 136 Współręne biegunowe r wóch punktów na płascźnie wnosą Wnacć współręne karteańskie punktów ora oległość pomię nimi i 137 W ukłaie biegunowm współręne r trech punktów wnosą: 3 / 6 / 3 3 / 3 i 3 Znaleźć wektor położenia tch punktów w ukłaie karteańskim ora oblicć ich sumę 138 Stałe sił ora 5 presunięcia punktu r 5 5 o punktu iałaą równoceśnie na cąstkę w casie e r a) Dla akie wartości parametru praca wkonana pre siłę wnosi ero? b) Dla akie wartości parametru praca wkonana pre siłę wpakową wnosi ero? Jaka est interpretaca tego faktu? 139 Siła 3 5 iała na ciało nauące się w punkcie r a) moment sił wglęem pocątku ukłau współręnch r 1 b) moment sił wglęem punktu 1 Oblicć: 14 G cąstka naowała się w położeniu r e pę wnosił p 1 3 Jaki bł wte moment pęu L cąstki wglęem pocątku ukłau współręnch ora wglęem punktu r 3 5 1? 141 Łóka ma prepłnąć pre rekę która płnie prękością v 4 km/h Po akim kątem sternik powinien skierować łóź eżeli łóka ma prepłnąć strumień prostopale o ego bregów a prękość łóki wglęem wo wnosi u 8 km/h? Jaka bęie prękość łóki wglęem bregów? 14 Dwie cąstki porusaą się włuż osi i opowienio prękościami v 1 i m/s i v 3 m/s W chwili t cąstki nauą się opowienio w punktach o współręnch: 1 3 m 1 m ora 3 m Znaleźć wektor r1 r1 r określaąc położenie rugie cąstki wglęem pierwse w funkci casu Kie i gie obie cąstki bęą nabliże siebie? 1 3 casu g ciała te porusaą się równoległe ora prostopale wglęem siebie 143 Prękości wóch ciał opisane są równaniami: v 4t 3 v 4t Wnacć chwile 144 Dwa samocho porusaą się prękościami v 4km/h po ulicach krżuącch się po kątem prostm Ile wnosi prękość enego samochou wglęem rugiego? 145 Dwie cąstki ostał wsłane pocątku ukłau współręnch i po pewnm casie nalał się w położeniach r i r Oblicć: a) ługości tch wektorów b) wektor premiesceni rugie cąstki wglęem pierwse c) ilocn: r 1 r r 1 r ) kąt pomię wektorami r 1 i r r 1 i r 1 r r i r 1 r

11 146 Dane są wa wektor: sin 4 3 sin gie est pewnm parametrem Sprawić poprawność reguł różnickowania ilocnu skalarnego wóch wektorów: 147 Dane są wa wektor: sin 3 gie est pewnm parametrem Sprawić poprawność reguł różnickowania ilocnu wektorowego wóch wektorów: