PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
|
|
- Dorota Zawadzka
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura (X, ) jest grupą abelową 2) x,y X α K: α (x y) (α x) (α y) α,β K x X :( α β) x α (β x) ) (α + β) x (α x) (β x) ) x X 1 x x Elementy bioru X naywamy wektorami, a elementy ciała K skalarami. Pryjmujemy umowę: x - wektor X - prestreń wektorowa Prykład 1 ( R, R,, ) Definiujemy diałania: R (x 1, y 1, 1 ) (x 2, y 2, 2 ) : (x 1 + x 2, y 1 + y 2, ) R α (x, y, ) : (α x, α y, α ) Sprawdamy cy ( R, R,, ) jest prestrenią wektorową. Cy ( R, ) jest grupą abelową? [(x 1, y 1, 1 ) (x 2, y 2, 2 )] (x, y, ) (x 1 + x 2, y 1 + y 2, ) (x, y, ) (x 1 + (x 2 + x ), y 1 + (y 2 +y ), 1 + ( 2 + )) (x 1, y 1, 1 ) [(x 2, y 2, 2 ) (x, y, )] wniosek: diałanie jest łącne Z premienności dodawania wynika premienność diałania. Elementem neutralnym diałania jest 0 (0, 0, 0) Każdy element (x, y, ) posiada element preciwny równy (-x, -y, -) bo (x, y, ) (-x, -y, -) (0, 0, 0) (-x, -y, -) (x, y, ) (0, 0, 0) Więc struktura ( R, ) jest grupą abelową. Poostałe warunki łatwo sprawdić. Wniosek: ( R, R,, ) jest prestrenią wektorową. Pryjmujemy umowę: Zamiast pisemy +, a amiast pisemy i prestreń wektorową apisujemy: (X, K, +, ) Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 10 Cęść - Prestreń wektorowa
2 Def. 2 Element neutralny diałania + naywamy wektorem erowym i onacamy: 0 Prykład 2 X F(X, ) {f: f: X R } -- b. odworowań R (F(X, R ), R, +, ) Definiujemy diałania: + : F(X, R ) F(X, R ) F(X, R ) f, g F(X, R ) f + g h : x X :(f + g)(x) f(x) + g(x) h(x) α f g : x X (α f)(x) α f(x) W tym prypadku wektorami są odworowania. F(X, R ) 0 : x X 0(x) (Wektorem erowym jest odworowanie!) Łatwo auważyć, że spełnione są odpowiednie warunki i struktura (F(X, R ), R, +, ) jest prestrenią wektorową. Def. U, U X Strukturę (U, K, +, ) naywamy podprestrenią wektorową prestreni X : 1) x, y U :(x + y) U 2) α K x U :(α x) U Prykład (R, R, +, ) prestreń wektorowa (patr: Prykład 1) a). U : {(x, y, ) R : x + y + } Sprawdamy, cy (U, R, +, ) jest podprestrenią prestreni R. U ponieważ np. (1, 0, 1) U U x (x 1, y 1, 1 ) x 1 + y U y (x 2, y 2, 2 ) x 2 + y Pytamy, cy x + y U (pierwsy warunek podprestreni) x + y (x 1 + x 2, y 1 + y 2, ) x 1 + x 2 + y 1 + y (x 1 + y ) + (x 2 + y ) + 0 Tera pytamy, cy α x U (drugi warunek podprestreni) α x α (x, y, ) (αx, αy, α) αx + αy + α α(x + y +) α 0 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 10 Cęść - Prestreń wektorowa
3 Wniosek: ponieważ spełnione są obydwa powyżse warunki to (U, R,+, ) jest podprestrenią prestreni R b). V : {(x, y, ) R : x + y + 1} Sprawdamy, cy struktura (V, R, +, ) jest podprestrenią prestreni R. V ponieważ np. (1, -1, 1) V V x (x 1, y 1, 1 ) x 1 + y V y (x 2, y 2, 2 ) x 2 + y Pytamy, cy x + y U (pierwsy warunek podprestreni) x + y (x 1 + x 2, y 1 + y 2, ) x 1 +x 2 + y 1 +y (x 1 + y ) + (x 2 + y ) Wniosek: Ponieważ powyżsy warunek nie jest spełniony to (V, R, +, ) nie jest podprestrenią prestreni R. Twierdenie 1 Każda podprestreń prestreni wektorowej jest prestrenią wektorową., U U X (U, K, +, ) podprestreń wektorowa prestreni X T: (U, K, +, ) prestreń wektorowa Własności diałań w prestreni wektorowej. 1) x X : x 0 2) α K :α 0 ) α K x X :- (α x) ( α) x α ( x) ) α K x X :α x α x 5) α 0 x, y X :α x α y x y 6) α, β K x 0 :α x β x α β Twierdenie 2 (Warunek koniecny i wystarcający na podprestreń). U U X T: (U, K, +, ) jest podprestrenią prestreni X α, β K x, y U :(α x + β y) U Twierdenie Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 10 Cęść - Prestreń wektorowa
4 U U X T: (U, K, +, ) jest podprestrenią prestreni X α,α2,...,αn K x1, x2,..., U :(α1 x1 + α αn ) 1 Def. x1,x2,..., X α1,α2,...,αn K x α1 x1 + α αn Mówimy, że wektor x jest kombinacją liniową wektorów x, x2,..., α1,α2,..., αn - naywamy współcynnikami kombinacji liniowej. Def. 5 (X, K, +, ) prestreń wektorowa x1,x2,..., X - wektory prestreni X Wektory U 1 n 2 x 1,x2,..., są liniowo ależne : α1 x1 + α αn Σ αi > 0 i 1 Def. 6 (X, K, +, ) prestreń wektorowa x1,x2,..., X Wektory x 1,x2,..., są liniowo nieależne : nie są liniowo ależne (: α 1 x1 + α αn α1,α2,...,αn ) Prykład ( R, R, +, ) prestreń wektorowa a). u (0,1,1) v (1,0,0) w (1,1,1) Sprawdamy, cy wektory u, v, w są liniowo ależne/nieależne Pytamy kiedy α u + β v + γ w α(0,1,1) + β(1,0,0) + γ(1,1,1) (0,0,0) (0,α,α) + (β,0,0) + (γ,γ,γ) (0,0,0) (β+γ, α+γ, α+γ) (0,0,0) Otrymujemy układ równań: β + γ α + γ α + γ Po prostych prekstałceniach otrymujemy: -t - t t R t Cyli α,β,γ : α 0 v β 0 v γ 0 : α u + β v + γ w Np. dla t2 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 10 Cęść - Prestreń wektorowa
5 Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo ależne. b). u (,2,-1) v (1,-2,1) w (1,1,1) Pytamy kiedy α u + β v + γ w α(,2,-1) + β(1,-2,1) + γ(1,1,1) (0,0,0) (α+β+γ, 2α-2β+γ, -α+β+γ) (0,0,0) Otrymujemy układ równań: - α + β + γ 2α - 2β + γ α + β + γ Po prostych prekstałceniach otrymujemy: Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo nieależne. Twierdenie Z: (X, K, +, ) prestreń wektorowa x1,x2,..., X - liniowo nieależne T: Jeżeli wektor x jest kombinacją wektorów x 1,x2,..., to współcynniki tej kombinacji liniowej są wynacone jednonacnie ( dokładnością do kolejności) Cyli Jeżeli: x α1 x1 + α αn x β1 x1 + β βn to: α 1 β 1 α 2 β 2... α n β n Twierdenie 5 x1,x2,..., X T: Wektory x 1,x2,..., są liniowo ależne prynajmniej jeden nich jest kombinacją liniową poostałych ( i : xi α1x αi-1x i-1 + αi+ 1xi αnx n ). Wnioski: 1) Jeżeli wektory są liniowo nieależne to żaden nich nie jest kombinacją liniową poostałych, 2) Zespół wektorów: x 1,x2,...,0,..., jest liniowo ależny. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 10 Cęść - Prestreń wektorowa
6 Def. 7 A X A Liniową powłoką bioru A naywamy biór: LinA : {x X: α,α,...,α K: x,x,...,x A: x α1 x1+ α2 x αn x 1 2 n 1 2 n Cyli: L ina to biór wsystkich kombinacji liniowych wektorów e bioru A. Twierdenie 6 A A X T: ( LinA, K, +, ) jest podprestrenią prestreni X (cyli dla siebie prestrenią) Def. 8 Z: (X, K, +, ) A A X T: ( LinA, K, +, ) naywamy prestrenią generowaną pre biór A Def. 9, A Zbiór A naywamy baą prestreni wektorowej jeżeli: 1) LinA X (każdy wektor X daje się predstawić jako kombinacja liniowa wektorów A) 2) x 1,x 2,..., A wektory x 1,x 2,..,x n są liniowo nieależne Prykład 5 Z: ( R, R, +, ) A {u (,2,-1), v (1,-2,1), w (1,1,1)} Sprawdamy, cy A jest baą prestreni R. Pytamy, cy LinA R R (x, y, ) α(, 2, -1) + β(1, -2, 1) + γ(1, 1, 1) (α+β+γ, 2α-2β+γ, -α+β+γ) (x, y, ) Otrymujemy układ równań: - α + β + γ 2α - 2β + γ y α + β + γ x Po prostych prekstałceniach otrymujemy: 1 1 x x y y + n Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 10 Cęść - Prestreń wektorowa
7 Cyli: (x, y, ) ( 1 1 ) (, 2, -1) + ( y + ) (1, -2, 1) ( y + ) (1, 1, 1) x x 12 Wniosek: LinA R Liniową nieależność wektorów u, v, w sprawdiliśmy w prykładie b). Wniosek: A jest baą prestreni R. Uwaga Każdy podespół espołu wektorów liniowo nieależnych jest espołem wektorów liniowo nieależnych (ale NIE NA ODWRÓT). Twierdenie 7 T: Każda nieerowa (nie łożona tylko 0 ) prestreń wektorowa posiada baę. Ponadto: Jeżeli istnieje baa skońcona i x1, x 2,..., x n X stanowią baę X ora y, y,..., też stanowią baę to n k. 1 2 yn Def. 10 Jeżeli prestreń posiada baę łożoną e skońconej licby wektorów to mówimy, że prestreń jest skońcenie wymiarowa i ilość wektorów w baie naywamy wymiarem prestreni dim X n Jeżeli prestreń posiada baę nieskońconą ilością wektorów to jest nieskońcenie wiele wymiarowa (dim X + ). Jeżeli prestreń składa się tylko wektora erowego to pryjmujemy definicji: dim {0}:0 Def. 11 Reperem baowym (krótko: baą) naywamy baę, w której ustaliliśmy kolejność wektorów. Def. 12 B {e1,e2,...,en} reper baowy i wektor x X predstawiamy jako x α1e1 + α2e αnen to α 1,α2,..., αn naywamy współrędnymi wektora x w baie B (wględem bay B) i stosujemy apis x[α 1,α 2,...,α n] B Prykład 6 Z: ( R, R, +, ) A (u (,2,-1), v (1,-2,1), w (1,1,1)) - baa R Znaleźć współrędne wektora (,, 8) w baie A. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 7 10 Cęść - Prestreń wektorowa
8 (,, 8) α(, 2, -1) + β(1, -2, 1) + γ(1, 1, 1) Korystając prykładu 5 mamy: 1 1 x x y y + Cyli: (,,8) -(,2,-1) + (1, 2,1) + (1,1,1) [ 1,, ] Prykład 7 Pry ałożeniach popredniego prykładu: naleźć wektor, którego współrędne w baie A wynosą [1,-1,2] A. (x, y, ) [1,-1,2] A 1(,2,-1) + (-1)(1,-2,1) + 2(1,1,1) (,6,0) Cyli: (x, y, ) (,6,0) Prykład 8 ( R, R, +, ) B (e1 (1,0,0),e2 (0,1,0),e (0,0,1)) Sprawdamy, cy B jest baą prestreni R. Pytamy, cy wektory baowe generują całą prestreń R. (x, y, ) α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1) (α, β, γ) x α y β Wniosek: wektory B generują całą prestreń R. γ Pytamy, cy wektory e 1,e2, e są liniowo nieależne. α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1) (0,0,0) (α, β, γ) (0,0,0) Wniosek: wektory B są liniowo nieależne. Cyli: B jest baą prestreni R. Współrędne wektora w baie B: (x, y, ) [x, y, ] B baę taką naywamy baą kanonicną. Baa kanonicna prestreni ( R n, R, +, ) ma postać: B (e1 (1,0,...,0), e2 (0,1,0,...,0),..., e n (0,0,...,1)) Wnioski: dim X n a) każdy espół n+1 wektorów jest liniowo ależny b) każdy espół n wektorów które generują prestreń jest liniowo nieależny B Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 8 10 Cęść - Prestreń wektorowa
9 c) każdy espół n wektorów liniowo nieależnych generuje prestreń Uwaga 1) Jeśli namy wymiar prestreni n to aby sprawdić cy n wektorów jest baą prestreni wystarcy sprawdić jeden dwóch warunków na baę (albo liniową nieależność, albo cy generują całą prestreń). 2), dim X n U X, U podprestreń prestreni X To: n dim U dim U n U X Def. 1 (X 1, K, +, ), (X 2, K, +, ) podprestrenie prestreni X Sumą dwóch podprestreni naywamy biór + X : {x X : x X x X : x x x } X Twierdenie 8 Jeżeli: (X, K, +, ) prestreń wektorowa (X 1, K, +, ), (X 2, K, +, ) podprestrenie prestreni X To: 1) (X 1 +X 2, K, +, ) jest podprestrenią prestreni X. 2) (X 1 X 2, K, +, ) jest podprestrenią prestreni X Uwaga Unia dwóch podprestreni (X 1 X 2 ) na ogół nie jest podprestrenią. Prykład 9 ( R 2, R, +, ) X 1 {(0, y): y R } (X 1, R, +, ) podprestreń R 2 X 2 {(x, 0): x R } (X 2, R, +, ) podprestreń R 2 e1 X1 e1 (0,1) e1 (X1 X 2 ) e2 X2 e2 (1,0) e2 (X1 X2) + e (1,1) (X X ) e Def. 1 (X 1, K, +, ), (X 2, K, +, ) podprestrenie prestreni X Sumą prostą podprestreni X 1 X 2 naywamy biór: X X : {x X :!x X!x X : x x + x } Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 9 10 Cęść - Prestreń wektorowa
10 Twierdenie 9 Suma dwóch podprestreni jest sumą prostą cęścią wspólną podprestreni jest wektor erowy. X X X + X X X {0} Def. 15 X 1 podprestreń prestreni X ora X 2 taka podprestreń prestreni X, że: X 2 : XX 1 X 2 to X 2 naywamy prestrenią uupełniającą prestreni X 1 Twierdenie 10 Każda podprestreń posiada prestreń uupełniającą. Twierdenie 11 1) dim (X 1 +X 2 ) dim X 1 + dim X 2 dim (X 1 X 2 ) 2) dim (X 1 X 2 ) dim X 1 + dim X 2 Wniosek: X X 1 X 2 dim X dim X 1 + dim X 2 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona Cęść - Prestreń wektorowa
Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Zadania z AlgebryIIr
Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = 7 + + t = ; + + = ; + 7 6t = + = 7 + + = 8 = 8 + + t = + 9 = 9 ; + 7t = + = 7 + + t = + 8 7 = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu:
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych
Rozdział 9. Baza Jordana
Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,
Algebra z geometrią 2012/2013
Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.
Przestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Zestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx.
Zestaw adań 5: Funkcjonał dwuliniowe i form kwadratowe () Sprawdić, c następujące odworowania ξ : R 3 R 3 R: x x a) ξ( x, c) ξ( x, x ) = xx + + ; b) ξ(, x ) = xx + 2 + ; d) ξ( x, x x ) = x + x + 2; ) =
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n
Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami
Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric
ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.
Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollb.pl Transformacje 3D Podobnie jak w prestreni -wymiarowej, dla prestreni 3-wymiarowej definijemy transformacje RST: presnięcie miana skali obrót
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
zane (warunkowe), mnożniki Lagrange a
Analia matematycna, ce ść cwarta Ekstrema wia ane warunkowe, mnożniki Lagrange a Posukuja c ekstremów lokalnych i globalnych funkcji pomijaliśmy do tej pory jeden bardo ważny prypadek. W wielu agadnieniach
Przestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
>> ω z, (4.122) Przybliżona teoria żyroskopu
Prybliżona teoria żyroskopu Żyroskopem naywamy ciało materialne o postaci bryły obrotowej (wirnika), osadone na osi pokrywającej się osią geometrycną tego ciała wanej osią żyroskopową. ζ K θ ω η ω ζ y
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Optymalizacja (w matematyce) termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia ekstremum (minimum lub maksimum) zadanej funkcji celu.
TEMATYKA: Optymaliacja nakładania wyników pomiarów Ćwicenia nr 6 DEFINICJE: Optymaliacja: metoda wynacania najlepsego (sukamy wartości ekstremalnej) rowiąania punktu widenia określonego kryterium (musimy
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
MACIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI.
MAIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI. k { 1,,..., k} Definicja 1. Macierzą nazyway każde odwzorowanie określone na iloczynie kartezjański.wartość tego odwzorowania na parze (i,j) k j oznaczay aij
1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Zginanie Proste Równomierne Belki
Zginanie Proste Równomierne Belki Prebieg wykładu : 1. Rokład naprężeń w prekroju belki. Warunki równowagi. Warunki geometrycne 4. Zwiąek fiycny 5. Wskaźnik wytrymałości prekroju na ginanie 6. Podsumowanie
1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Analiza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
Fraktale - wprowadzenie
Fraktale - wprowadenie Próba definici fraktala Jak określamy biory naywane fraktalami? Prykłady procedur konstrukci fraktali W aki sposób b diała aą algorytmy generaci nabardie nanych fraktali? Jakie własnow
, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn
EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Deiicja 1,, +, u = ( x x x ) v = ( y y y ),,..., 1 2,,..., 1 2 1 1 2 2 u/ v : = x y + x y +... + xy - aywamy ilocyem skalarym Możemy go rówież oacać
Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.
Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n
MES W ANALIZIE SPRĘŻYSTEJ UKŁADÓW PRĘTOWYCH
MES W ANALIZIE SPRĘŻYS UKŁADÓW PRĘOWYCH Prykłady obliceń Belki Lidia FEDOROWICZ Jan FEDOROWICZ Magdalena MROZEK Dawid MROZEK Gliwice 7r. 6-4 Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Rozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.
Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =
Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład IV Twierdzenia całkowe
4. Twierdenie Greena. Wykład IV Twierdenia całkowe Płascyną orientowaną będiemy określać płascynę wyróżnionym na nie obrotem, wanym obrotem dodatnim. Orientację płascyny preciwną wględem danej orientacji
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.
Praca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);
Grupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Fizyka, II rok FS, FiTKE, IS Równania różniczkowe i całkowe, Zestaw 2a
N : iyka II rok S itk IS Równania różnickowe i całkowe estaw 2a. Prosę definiować pojęcie fory kwadratowej a następnie podać acier fory kwadratowej i określić rąd fory (a!#%$ (b 2. Prosę określić rąd równania
k i j=1 f(ζ) dζ = f(z). (ζ z) f n (ζ) 1 dζ f(z) = 1
+ Analia Zespolona I, uupełnienie. Zasada argumentu. We wore na licbę er i biegunów mamy calkę formy f d. Zauważmy, e forma ta jest f różnicką d log f. Wprawdie funkcja log f jest niejednonacna, to jej
Układy równań - Przykłady
Układy równań - Prykłady Dany układ równań rowiąać trea sposobai: (a) korystając e worów Craera, (b) etodą aciery odwrotnej, (c) etodą eliinacji Gaussa, + y + = y = y = (a) Oblicy wynacnik deta aciery
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
1. Pojęcie równania różniczkowego jest to pewne równanie funkcyjne, które zapisać można w postaci ogólnej
1 Równania różnickowe pojęcie 1 Pojęcie równania różnickowego jest to pewne równanie funkcyjne, które apisać można w postaci ogólnej "! (1) lub w postaci normalnej #%$ & ' () (2) Rąd najwyżsej pochodnej
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A
Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam
Funkcje analityczne LISTA
Funkcje analitycne LISTA 0.0.006. Kiedy prekstałcenie R - liniowe na R jest C - liniowe?. Dla f : C C pokaać, że warunkiem koniecnym C - różnickowalności (cyli holomorficności) jest R - różnickowalność.
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Modelowanie i obliczenia techniczne. Modelowanie matematyczne Metody modelowania
Modelowanie i oblicenia technicne Modelowanie matematycne Metody modelowania Modelowanie matematycne procesów w systemach technicnych Model może ostać tworony dla całego system lb dla poscególnych elementów
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Umowa licencyjna na dane rynkowe - poufne
ZAŁĄCZNIK NR 4 do UMOWY LICENCYJNEJ NA DANE RYNKOWE (obowiąujący od dnia 30 cerwca 2017) CENNIK Wsystkie Opłaty predstawione w Cenniku dotycą i będą nalicane godnie e Scegółowymi Zasadami Korystania i
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,
Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Podstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Informacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J. Cha
MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J Cha dyński Wste p do analiy espolonej wyd VII Wyd U L Lódź 993 [Kr]J Kryż Zbiór adań funkcji analitycnych PWN Warsawa 975 [Ku] K Kuratowski
Wstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
TRANSFORMATORY. Transformator jednofazowy. Zasada działania. Dla. mamy. Czyli. U 1 = E 1, a U 2 = E 2. Ponieważ S. , mamy: gdzie: z 1 E 1 E 2 I 1
TRANSFORMATORY Transformator jednofaowy Zasada diałania E E Z od Rys Transformator jednofaowy Dla mamy Cyli e ω ( t) m sinωt cosωt ω π sin ωt + m m π E ω m f m 4, 44 f m E 4, 44 f E m 4, 44 f m E, a E
Układy równań liniowych, macierze, Google
Układ równań linowych { x+2y = 6, 3x y = 4 (0) Spotkania z Matematyka Układy równań liniowych, macierze, Google Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe
opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Układy liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Przykład: Projektowanie poŝarowe nieosłoniętego słupa stalowego według standardowej krzywej temperatura-czas
Dokument Ref: SX043a-PL-EU Strona 1 5 Prykład: Projektowanie poŝarowe nieosłoniętego słupa stalowego według standardowej krywej temperatura-cas Wykonał Z. Sokol Data styceń 006 Sprawdił F. Wald Data styceń
3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH
Matematyka plusem dla gimnajum PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Algebra linowa w pigułce
Algebra Algebra linowa w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Algebra
PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.
CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o
A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa
Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie
05-0-5. Opis różnicę pomiędy błędem pierwsego rodaju a błędem drugiego rodaju Wyniki eksperymentu składamy w dwie hipotey statystycne: H0 versus H, tak, by H0 odrucić i pryjąć H. Jeśli decydujemy, że pryjmujemy
Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem