Podstawy wytrzymałości materiałów

Transkrypt

1 Podstaw wtrmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 5 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja stanów odkstałcenia, analia płaskiego stanu odkstałcenia podstaw tensometrii oporowej nergia sprężsta: energia właściwa odkstałcenia objętościowego i postaciowego Wdiał Inżnierii Mechanicnej i Robotki Katedra Wtrmałości, Zmęcenia Materiałów i Konstrukcji Dr hab. inż. Tomas Machniewic B, II p., pok. 06 -mail: machniew@agh.edu.pl

2 d (+ )d 5.. Składowe stanu odkstałcenia Płaski stan naprężenia: dkstałcenia w płascźnie diałania naprężeń: d d d α α + β = γ β d d (+ )d d d ; d d d d d d d d Składowe płaskiego stanu odkstałcenia:,, g Pod wpłwem prłożonch obciążeń ciało odkstałca się, a jego prestrenne element donają: mian objętości wiąanch liniowmi odkstałceniami, tj. mianami długości boków elementów prestrennch tw. odkstałcenia objętościowe, mian kstałtu (postaci) wiąanch deformacją kątową elementarnch prostopadłościanów, tj. mianami kątów pomięd poscególnmi ściankami elementów prestrennch tw. odkstałcenia postaciowe T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr 5

3 d T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr 5 d (+ )d 5.. Składowe stanu odkstałcenia Rodaje odkstałceń: odkstałcenia objętościowe (,, ) wględne mian długości boków elementarnego prostopadłościanu mierone na kierunkach,, wwołane naprężeniami normalnmi,,. odkstałcenia postaciowe (g, g, g ) mierone w poscególnch płascnach pochlenia ścianek elementarnego prostopadłościanu wwołane diałaniem naprężeń stcnch, g, g, g. Prestrenn stan odkstałcenia σ τ σ τ d τ τ τ σ τ τ τ σ (+ )d d Składowe prestrennego stanu odkstałcenia:,,, g, g, g

4 T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr Prawo Hooke a w prpadku odkstałceń objętościowch dkstałcenia w jednoosiowm stanie naprężenia: ε = σ ε p = νε = σ ν Prestrenn stan naprężenia: σ σ σ σ + + σ = σ σ σ σ ε = + + σ ν ε = + + σ ν ε = + + σ ν σ σ ν σ ν σ ν σ

5 T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr Prawo Hooke a w prpadku odkstałceń objętościowch W kierunkach głównch: W kierunkach dowolnch: σ σ τ σ σ σ τ τ τ τ τ τ τ σ σ σ ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ

6 = = T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr Prawo Hooke a w prpadku cstego ścinania Cste ścinanie stan naprężenia w prekrojach, w którch diałają jednie naprężenia stcne, aś naprężenia normalne równe są eru. = - σ = σ + σ σ = σ + σ τ = σ σ + σ σ σ σ sin α cos α cos α gd: σ = σ, σ = σ, α = π 4 : σ = σ = 0, τ = σ =- = = - τ = σ

7 = = (-) 5.. Prawo Hooke a w prpadku cstego ścinania = - tg π 4 γ = ε + ε () π 4 γ ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ ε = ε ε = + ν = ε σ () σ = 0; σ = σ; σ = σ (+) = - τ = σ σ α = π 4 sin α τ = σ () tg α β = tgα tgβ + tgα tgβ tg π 4 γ = tg π 4 tg γ + tg π 4 tg γ = tg γ + tg γ γ + γ gd g jest bliskie eru (4) () (4) γ = + ν σ γ ε = γ () () = τ + ν γ = τ G gdie G = ( + ν) G moduł odkstałcenia postaciowego moduł Kirchoffa (MPa) T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr 5 7

8 d d (+ )d (+ )d T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr Uogólnione prawo Hooke a σ W kierunkach głównch: ε = σ ν σ + σ σ d σ (+ )d σ ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ W kierunkach dowolnch: ε = σ ν σ + σ γ = τ G ε = σ ν σ + σ γ = τ G (+ )d d ε = σ ν σ + σ γ = τ G

9 d (+ )d T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr Wględna miana objętości (dlatacja) σ Pocątkowa objętość prostopadłościanu: Końcowa objętość prostopadłościanu: dv 0 = d d d σ d σ (+ )d σ e = dv dv 0 dv 0 dv = + ε d + ε d + ε d Wględna miana objętości (dlatacja): e = + ε + ε + ε + ε ε + ε ε + ε ε + ε ε ε = + ε d + ε d + ε d d d d d d d = + ε + ε + ε d Małe wżsch rędów e = ε + ε + ε Uwględniając: lub w prpadku dowolnch kierunków: e = ε + ε + ε Wględna miana objętości w funkcji naprężeń: ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ lub: ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ ε = σ ν σ + σ e = e = ν ν σ + σ + σ σ + σ + σ

10 d d (+ )d (+ )d T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr Scególne prpadki stanu odkstałcenia i naprężenia Prestrenn stan odkstałcenia: Prestrenn dowoln stanu odkstałcenia opisan jest seścioma składowmi:,,, g, g, g Tensor dowolnego prestrennego stanu odkstałcenia: T ε = γ ε γ ε γ γ (+ )d d γ γ ε W prpadku materiału iotropowego kierunki naprężeń głównch są takie same dla odkstałceń jak i naprężeń. σ Tensor prestrennego stanu odkstałcenia dla kierunków głównch : σ d σ (+ )d σ T ε = ε ε ε Zgodnie prawem Hooke a (g /G) odkstałcenia kątowe są równe eru (g = g = g =0), bo nie wstępują naprężenia stcne ( = = =0)

11 T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr Scególne prpadki stanu odkstałcenia i naprężenia Płaski stan naprężenia (PSN): a) W prpadku kierunków głównch: σ 0, σ 0, σ = 0 - co uwględniając otrmujem: σ σ σ ε = σ νσ ε = σ νσ σ = σ = ν ν ε + νε ε + νε σ ε = ν σ + σ σ = 0 Tensor odkstałceń i naprężeń w PSN na kierunkach głównch: T ε = ε ε ε T σ = σ 0 0 σ

12 T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr Scególne prpadki stanu odkstałcenia i naprężenia Płaski stan naprężenia (PSN): b) W prpadku kierunków dowolnch: σ 0, σ 0, σ = 0, τ 0, τ = 0, τ = 0 σ τ τ ε = σ νσ ε = σ νσ σ = σ = ν ν ε + νε ε + νε σ τ τ σ σ ε = ν σ + σ γ = τ G σ = 0 τ = G γ Tensor odkstałceń i naprężeń w PSN na kierunkach dowolnch: T ε = γ ε 0 γ ε ε T σ = σ τ τ σ Wniosek: W płaskim stanie naprężenia istnieje prestrenn stan odkstałcenia.

13 5.6. Scególne prpadki stanu odkstałcenia i naprężenia Płaski stan odkstałcenia (PS): a) W prpadku kierunków głównch: ε 0, ε 0, ε = 0 - co uwględniając otrmujem: σ σ σ σ ε = σ ν σ + σ = 0 σ = ν σ + σ T ε = ε 0 0 ε T σ = σ σ σ b) W prpadku kierunków dowolnch: ε 0, ε 0, ε = 0, γ 0, γ = 0, γ = 0 σ τ ε = σ ν σ + σ = 0 σ = ν σ + σ σ τ τ σ τ σ T ε = ε γ γ T σ = ε σ τ 0 τ σ σ Wniosek: Płaski stan odkstałcenia można wwołać, odpowiednio dobranm, prestrennm stanem naprężenia T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr 5

14 T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr Analia płaskiego stan odkstałcenia podstaw tensometrii Analogia pomięd ależnościami transformacjnmi w płaskim stanie naprężenia i odkstałcenia: n cos n sin g n cos g n sin (90) ε 0 = ε + ε + ε ε cos α 90 (45) ε 45 = ε + ε + ε ε cos α + 45 ε 90 = ε + ε + ε ε cos α (0) ε, = ε 0 + ε 90 ± ε 0 ε 90 cos α tgα = ε 45 ε 0 ε 90 ε 0 ε 90

15 T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr Analia płaskiego stan odkstałcenia podstaw tensometrii (90) 90 0 (45) ε, = ε 0 + ε 90 ± ε 0 ε 90 tgα = ε 45 ε 0 ε 90 ε 0 ε 90 Uwględniając: cos α = trmujem: cos α (0) ε, = ε 0 + ε 90 ± ε 0 ε 90 + ε 45 ε 90 W tensometrii oporowej wnaca się odkstałcenie na podstawie wględnej mian restancji (R/R) użtego tensometru : R R = εk gdie K stała cujnika + tg α Roet tensometrcne stosowane do wnacania kierunków i wartości odkstałceń głównch

16 T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr nergia sprężsta nergia właściwa odkstałcenia sprężstego w jednoosiowm stanie naprężenia ( n ): A P ഥP L P l l l L P = P l l = Pl A L P = P l A nergia właściwa () energia prpadająca na jednostkę objętości materiału (V) Φ n = L V = P l A Al = P A ; Φ n = σ = σ σ ; Φ n = σε

17 a T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr nergia sprężsta Właściwa energia sprężsta ścinania ( t ): s τ ഥT τ γ τ a τ Φ t = L T V = Ts V T = τa s = aγ V = a Φ t = τγ Całkowita właściwa energia sprężsta w prestrennm stanie naprężenia (): σ τ τ g dla kierunków dowolnch g g σ τ σ τ dla kierunków głównch σ σ σ

18 T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr nergia sprężsta nergia sprężsta odkstałcenia objętościowego ( ) i odkstałcenia postaciowego ( P ): Całkowitą energię odkstałcenia sprężstego () można podielić na dwie cęści: energię odkstałcenia objętościowego P energię odkstałcenia postaciowego P a) dkstałcenia csto objętościowe powstaną, gd element obciążon będie takimi sammi naprężeniami na wsstkich kierunkach: σ σ (σ σ ) σ σ = + σ σ (σ σ ) (σ σ ) σ σ (σ σ ) dkstałcenia wpadkowe () dkstałcenia dkstałcenia objętościowe postaciowe ( ) ( P )

19 5.8. nergia sprężsta nergia sprężsta odkstałcenia objętościowego ( ) i odkstałcenia postaciowego ( P ): σ σ (σ σ ) σ σ = + σ σ (σ σ ) P (σ σ ) σ σ (σ σ ) Prjmujem: Z prawa Hooke a: () () trmujem ( rów. i ): 6 6 T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr 5 - dla kierunków głównch - dla kierunków dowolnch 9

20 T. Machniewic IMiR, Podstaw wtrmałości materiałów, Wkład nr nergia sprężsta nergia sprężsta odkstałcenia objętościowego ( ) i odkstałcenia postaciowego ( P ): σ σ (σ σ ) σ σ = + σ σ (σ σ ) P (σ σ ) σ σ (σ σ ) 6 6 b) dkstałcenia csto postaciowe powstaną, gd elementarn prostopadłościan obciążon będie naprężeniami będącmi dopełnieniem naprężeń ednich ( ) do wjściowch naprężeń głównch. 6 trmujem: P 6 P 6 - dla kierunków głównch - dla kierunków dowolnch