Równania Maxwella. roth t

Transkrypt

1 , H wektory natężenia pola elektrycznego i magnetycznego D, B wektory indukcji elektrycznej i magnetycznej J gęstość prądu elektrycznego Równania Maxwella D roth t B rot+ t J Dla ośrodka izotropowego D ε ε+ P P wektor elektrycznej polaryzacji ε przenikalność dielektryczna ośrodka ε przenikalność dielektryczna próżni B µ H µ µ ośrodek niemagnetyczny µ przenikalność magnetyczna próżni J σ σ - przewodność

2 Równania Maxwella cd Dla ośrodka dielektrycznego σ J Dla ośrodka z wolnymi elektronami (metale, σ ) zgodnie z relacją J σ pole elektryczne przemieszcza elektrony (J ) kosztem energii pola Fala elektromagnetyczna w metalach jest pochłaniana lementy toru służącego do propagacji fali elektromagnetycznej budowane są z dielektryków lub półprzewodników

3 Równania Maxwella cd Niniejszy wykład ogranicza się do wyłącznie do ośrodków niemagnetycznych µ µ i w zasadzie ośrodków dielektrycznych σ Rodzaje ośrodków z punktu widzenia różnych własności przenikalności dielektrycznej ε liniowy nieliniowy jednorodny niejednorodny dyspersyjny bezdyspersyjny statyczny zmienny izotropowy anizotropowy Współczynnik załamania metali - później

4 Równania Maxwella cd Dla ośrodka liniowego P ε χ wektor polaryzacji elektrycznej χ - podatność elektryczna Ponieważ D εε+ P ε ε ( χ) + Dla ośrodka nieliniowego wektor polaryzacji elektrycznej ogólnie PP( ) Wygodnie oddzielić część nieliniową wektora polaryzacji elektrycznej od liniowej pisząc P NL ( ) P ε χ+ P NL ( ) optyka nieliniowa

5 Równania Maxwella cd Ośrodek jednorodny grad ε( r) ε( r) const grad[f(r)] jest wektorem w kierunku maksymalnej zmiany funkcji f(r) r - wektor położenia punktu w przestrzeni Warunek sprowadza się do współczynnik załamania n(r) const Ośrodek dyspersyjny εε( ) λ λ długość fali odniesiona do próżni Przenikalność dielektryczna jest funkcją długości fali λ Współczynnik załamania jest funkcją długości fali λ Poza próżnią, nie ma ośrodków bezdyspersyjnych Mogą być bezdyspersyjne tylko lokalnie w widmie

6 Równania Maxwella cd Ośrodek statyczny ε t niezmienny w czasie Warunek nieistotny, gdy czas propagacji światła między źródłem a odbiornikiem jest krótszy od czasu reakcji odbiornika Dla zmiennego ośrodka zbiór ośrodków statycznych Ośrodek anizotropowy przenikalność dielektryczna ε zależna od rozpatrywanej składowej i x, y, z D i εij sumowanie po kierunkach głównych j j

7 Pole elektromagnetyczne w próżni H roth ε rot +µ t t zmiana H zmiana H Zmiana w czasie jednego pola generuje drugie pole wirowe H H H Poglądowy rysunek propagacji fali elektromagnetycznej

8 µ Rozwiązanie równań Maxwella w próżni roth ε rot+ µ H rot t rot ε t H t t H t ( rot) + rot roth ε t rot rot rot Dla pola bezźródłowego div + µ t H t Po eliminacji zmiennej H rot( rot) +εµ t Tożsamość teorii pola ( rot) grad( div) rot( rot) Równanie falowe pola skalarnego jednej ze składowych ε µ t

9 Laplasjan skalara Dla współrzędnych sferycznych ( ) ϕϑ, r, ϑ ϑ + ϑ + ϕ ϑ + + ctg r r sin r r r r z y x + + Dla współrzędnych prostokątnych ( ) ( ) x,y,z r x z y ϕ rθ Dla współrzędnych cylindrycznych ( ) ( ) ϕ ρ,,z r x z y ϕ r ρ z r r r r + ϕ + +

10 Równanie płaskiej fali elektromagnet. w próżni Rozwiązaniem jest dowolna funkcja argumentu to znaczy z ct a ( ) ( ) z ct a cbdo t c z gdzie c µ ε dla fali płaskiej, kiedy pole w kierunkach osi x i y jest stałe Laplasjan z i równanie falowe Ponieważ równanie falowe t µ ε gdyż ( ) a a c t ( ) a a c t ( ) a a z

11 Zaburzenie Równanie fali płaskiej w próżni cd ( z) ct propaguje się z prędkością c w kierunku osi z gdyż dla dwóch dowolnych chwil t i t funkcja nie ulegnie zmianie dla płaszczyzn, odpowiednio, z i z z z jeżeli ct z ct z to znaczy c t t ε µ prędkość zaburzenia fali elektromagnetycznej w próżni z Propagacja impulsu z z W próżni impuls złożony z fal płaskich nie ulega zmianie!! w chwili t w chwili t

12 Fala elektromagnetyczna w ośrodku dielektrycznym liniowym izotropowym jednorodnym roth ε t H rot+ µ t t roth rot rot ε t + µ H t rot µ ( ) +εµ H t rot Przez analogię do rozważań w próżni rot rot t ε t H t ( rot) + rot Dla pola bezźródłowego div i dla osi z tożsamość rot z ( rot)

13 Równanie fali płaskiej z v gdzie v t ( χ) ε ε + εµ Rozwiązaniem jest dowolna funkcja argumentu c vt z ε µ W tym przypadku v byłoby prędkością propagacji zaburzenia (vt-z), ale tylko w ośrodku bezdyspersyjnym, lub gdyby promieniowanie było monochromatyczne Ccos(..) Ponieważ przenikalność dielektryczna ε ε(λ ), więc bezwzględny współczynnik załamania ośrodka n c ε +χ v ε n jest również funkcją λ χ - podatność elektryczna c v

14 Równanie falowe cd z v t Rozwiązaniem jest dowolna funkcja argumentu z - vt Ilustracja propagacji dowolnego kształtu fali mechanicznej Lina bezdyspersyjna

15 Fala płaska cd W ośrodku dyspersyjnym o współczynniku załamania n(λ ) tylko fala monochromatyczna może się rozchodzić z prędkością fazową v Nie ma fal monochromatycznych!!! Dowolny rozkład (λ) można rozłożyć ( λ const) na fale monochromatyczne mon mon Różne fale mon rozchodzą się z różną prędkością fazową W ośrodku dyspersyjnym propagująca się fala ulega deformacji

16 Fala sferyczna ( r) Pole zależy tylko od odległości r r r r r + ( r) Laplasjan v t r t równanie falowe ( r) albo po pomnożeniu przez r r r v r ( r) v t ( r) Analogia do równania fali płaskiej z v t r rozwiązanie ( vt) r - dowolna funkcja argumentu r - vt r r ( vt)

17 Fala sferyczna cd r r ( vt) Rozwiązaniem jest dowolna funkcja argumentu a r - vt Fala propaguje się promieniowo z prędkością v bez zmiany kształtu, ale z malejącą amplitudą Brak zmiany kształtu tylko w ośrodku bezdyspersyjnym, lub dla promieniowania monochromatycznego Ccos(..) Różne fale mon rozchodzą się z różną prędkością fazową W ośrodku dyspersyjnym propagująca się fala ulega deformacji

18 Propagacja Czoła fali z Fala płaska - poglądowo promienie Promienie dla fali płaskiej są prostopadłe do czół fali Fala sferyczna - poglądowo Propagacja Promienie dla fali sferycznej są normalne do czół fali promienie Ogólnie promienie są ortogonalne do czół fali

19 Fala płaska i sferyczna w próżni Propagacja impulsu Impuls na całej płaszczyźnie z const z Propagacja impulsu r Fale teoretyczne nie do zrealizowania Impuls na całej sferze

20 Ośrodki liniowe Fala monochromatyczna w ośrodkach liniowych pozostaje tą samą falą monochromatyczną Ośrodek liniowy Fala niemonochromatyczna (praktycznie każda, gdyż nie ma fal monochromatycznych) ulega deformacji podczas propagacji w ośrodkach materialnych Propagacja sumy dwóch fal monochromatycznych V V k Sumy fal V i V k są różne wzajemne przesunięcie fazowe fal

21 Zmiana argumentu rozwiązania równania falowego Argument ct z miano długości Znane relacje falowe Aby opisać rozkład za pomocą funkcji cos(x), lub dla zespolonej formy exp(ix), argument x powinien być wyrażony w radianach Ponieważ więc k π c ν πν λ λ c ct z t kz k π λ k k ω ( πνt k z) ( ωt k z) radiany

22 Znane relacje falowe Monochromatyczna fala płaska w próżni Pole optyczne Częstotliwość kołowa ν - częstotliwość [Hz] Kołowa liczba falowa w próżni k ω πν [( ωt k z) ] V a exp i amplituda zespolona π λ a faza a exp i ( ϕ ) ϕ faza początkowa a const ( R) λ długość fali promieniowania w próżni Powierzchnie stałej fazy czoła fali (fronty falowe)

23 Równanie Helmholtza Niech dla fali monochromatycznej ( r,t) V( r) exp( iωt) Podstawiając do równania falowego v t ponieważ iωv( r) exp( iωt) ω V( r) exp( iωt) t t ω v π będzie ν c V n π n λ V ( r) + k V( r) k n ω v k V r Ale kołowa liczba falowa w ośrodku o współczynniku załamania n ( r) + ( ) Równanie Helmholtza Dla fali monochromatycznej można pominąć zmiany pola w czasie

24 Harmoniczne Fala monochromatyczna (nazywana też harmoniczną) o częstotliwości ν długości fali w próżni λ c/ν długości fali λ λ /n w ośrodku o współczynniku załamania n(λ ) lub n(ν) propaguje się w ośrodku dyspersyjnym bez zniekształceń z prędkością fazową v n c ( λ ) Z tego faktu wynika waga analiz propagacji harmonicznych

25 Wpływ dyspersji ośrodka Nie ma promieniowania monochromatycznego!!! Każde promieniowanie jest sumą harmonicznych o różnych długościach fal Harmoniczne o różnych długościach fal λ rozchodzą się z różną prędkością fazową v(λ ) c/n Poszerzenie wygenerowanego rozkładu (impulsu) będącego sumą harmonicznych podczas propagacji

26 Ośrodek dielektryczny nieliniowy izotropowy ( ) P D + ε ε t P t c z µ Po eliminacji H równanie fali płaskiej dla jednej ze składowych t rot t rot + B D H t rot t t rot +µ +µ ε µ µ H P H

27 Ośrodek dielektryczny nieliniowy cd z c t µ P t χ - podatność elektryczna Gdyby P ε χ Ośrodek nieliniowy znane równanie falowe w ośrodku liniowym P ε χ+ P NL z v t składowa nieliniowa wtedy równanie falowe z v t µ P t NL Mamy oprócz fali mamy dodatkową falę P NL zależną od

28 Ośrodki nieliniowe cd Fala monochromatyczna dużej mocy w ośrodkach nieliniowych generuje harmoniczne o wyższych częstotliwościach kosztem fali padającej Ośrodek nieliniowy Podobnie w elektronice. Nieliniowa charakterystyka wzmacniacza generuje harmoniczne

29 Prędkość grupowa Dotyczy propagacji paczki fal o różnych długościach fali Literatura.Hecht i A.Zajac: Optics. AddisonWesley Publ. Comp., Massachusetts 974, rozdział 7 ( 7.6) M.Born i.wolf: Principles of Optics. Pergamon Press, London 988, VIII wydanie, rozdział, (.3.4) pomocnicza zalecana naukowa

30 Prędkość fazowa a prędkość grupowa Prędkość fazowa dotyczy prędkości propagacji fali monochromatycznej, a więc przypadku teoretycznego Zawsze mamy do czynienia ze zbiorem fal monochromatycznych Dla prostoty propagacja dwóch fal monochromatycznych o niewiele różniących się częstotliwościach i tych samych amplitudach V Różnica częstotliwości ω równoważna różnica kołowych liczb falowych k

31 Prędkość fazowa a prędkość grupowa V exp i V(z, t) V + V [( ωt kz) ] + V exp{ i[ ( ω+ ω) t ( k+ k) z] } przy czym k π λ c c πν c ω c k ω c Oznaczając V (z, t) V ω exp i przez analogię s ω+.5 ω k s k+.5 k { i[ ( ωs.5 ω) t ( ks.5 k) z] } V exp[ i( ω t k z) ] exp[.5i( ωt kz) ] s s [( ω t k z) ] exp[.5i( ωt kz) ] V (z, t) V exp i s s

32 Prędkość fazowa a prędkość grupowa cd Ponieważ exp( ix) + exp( ix) cos x wynik interferencji dwóch fal o różnych częstotliwościach V ( z, t) V cos[.5( t ω z k) ] exp[ i( k z t) ] s ωs amplituda faza Prędkość zmiany fazy v ω k s s i amplitudy ω v g k prędkość grupowa ponieważ v λ T λν πν λ π ω k

33 Prędkość grupowa cd Gdy ν jest dostatecznie małe ( ν << ν a więc i ω << ω) można rejestrować zmiany z częstotliwością ν I i wtedy rejestrowalny rozkład intensywności ( z, t) V( z, t) V ( z, t) 4V cos [.5( t ω z k) ] Propagacja zmian intensywności z prędkością grupową ω v g k

34 Prędkość fazowa a prędkość grupowa c.d. V(z,t) t lub z π w lub π k I(z,t) t lub z

35 Interferometria heterodynowa ν ν + ν λ λ + λ A r r x O (r r ) Biegnące prążki interferencyjne A π Prędkość ν Różnica częstotliwości wprowadzana za pomocą modulatorów akustooptycznych

36 Interferometr heterodynowy do pomiaru kształtu powierzchni O CCD sygnał PC α K Powierzchnia badana f' S S MS KSP OM AM AM GC OM Dz Laser He-Ne GC Praca doktorska: T.Tkaczyk Wydział Mechatroniki, rok

37 Wyniki 5 Powierzchnia sferyczna Wysokość [µm] Wymiar poprzeczny x [mm] 4 Uskok Wysokość [µm] Wymiar poprzeczny x [mm]