Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 17, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 17, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek"

Henryka Dobrowolska
7 lat temu
Przeglądów:

1 Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 17, wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner

2 Wykład 16 - przypomnienie dyfrakcja Fresnela obrazek strefowy dyfrakcja Fresnela obrazek sub-strefowy całki Fresnela i spirala Cornu

3 Dyfrakcja Fraunhofera = trans. Fouriera ostatecznie y ( xy, ) R x r 01 E x 0, y 0, z C e ikr dx y 0 ( x, y ) 0 0 = C e ikr dx E(x, y, 0)e = C " F E x, y, 0 k x 0, k y 0 = R R z x 0 dla obrazu Fraunhofera E x 0, y 0, z = C dx Ponieważ E(x, y, 0)e ikr 10 dy r 01 = x x 0 + y y 0 + z to definiując R jako mamy E(x, y, 0)e ik xx 0+yy 0 /R dy i kx0 R x+ky 0 R y R = x 0 + y 0 + z r 01 = R 1 + x + y R xx 0 + yy 0 R dy R 1 xx 0 + yy 0 R R xx 0 + yy 0 R dwuwymiarowa transformata Fouriera W dalekim polu obserwujemy transformatę Fouriera pola

4 propagacja metoda spektralna z = 0 E(x, y, 0) Analogicznie E x, y, z = 1 π ze współczynnikami E k x, k y, z = 1 π z E x, y, z =? dk x dk y E(k x, k y, z)e i k xx+k y y dxdy E(x, y, z)e i k xx+k y y Rozważając fale monochromatyczne pole w z = 0 zawsze możemy zapisać pole elektryczne fali o skończonych rozmiarach poprzecznych jako superpozycję fal płaskich E x, y, 0 = 1 π dk x dk y E(k x, k y, 0)e i k xx+k y y przy czym, amplitudy fal płaskich liczymy z transformaty Fouriera pola w płaszczyźnie z = 0 E k x, k y, 0 = 1 π dxdy E(x, y, 0)e i k xx+k y y Pole E(x, y, z) musi spełniać r-nie Helmholtza + k E x, y, z dk x dk y = 0. Wstawiamy pole w postaci całki do tego r-nia d dz E k x, k y, z + k k x k y E k x, k y, z e i k xx+k y y = 0 = 0

5 propagacja, d dz E k x, k y, z + k k x k y E k x, k y, z = 0 z = 0 z E k x, k y, z = E k x, k y, 0 e iμz E(x, y, 0) E x, y, z =? μ = ± k k x k y = k z k k x k y > 0 E k x, k y, z = E k x, k y, 0 e ik zz fale propagujące się k k x k y < 0 E k x, k y, 0 e μz fale zanikające (ewanescencyjne) Jeśli tylko z λ to E x, y, z = 1 π k x + k y k dk x dk y E(k x, k y, 0)e i k xx+k y y e iz k k x ky Kompletny przepis - bardzo szybkie metody numeryczne

6 Propagacja - proste wnioski E x, y, z = 1 π Oznaczmy: f k x Mamy wtedy k x + k y k E x, y, z = 1 π eikz dk x dk y E(k x, k y, 0)e i k xx+k y y e iz k k x ky = k x x k x z, g k k y = k y y k y z k dk x dk y E k x, k y, 0 e if k x e ig k y E x, y, z = 1 π eikz Jeśli funkcja E k x, k y, 0 jest wolnozmienna to wkład do całki pochodzi tylko z obszarów gdzie funkcje f i g mają zerowe pochodne bo wszędzie indziej exponensy tych funkcji oscylują bardzo szybko wokół zera. Zerowe pochodne funkcji f i g dają: Niezbyt bliskie pole (obraz Fresnela) k x + k y k k z k k x +k y dk x dk y E(k x, k y, 0)e i k xx+k y y e iz k x +ky k k k x = k x z, k y = k y z ReE k x, k y, 0 Re e if k x punkt stacjonarny fazy zasada Fermata

7 propagacja, 3 z = 0 E(x, y, 0) E x, y, z =? z Rozważamy tylko fale propagujące się ze skończonym rozkładem składowych poprzecznych wektora falowego skupionym wokół zera wiązka rozchodzi się głownie w kierunku z możemy wtedy całkować k x i k y od do E x, y, z = = 1 π dk x dk y E(k x, k y, 0)e i k xx+k y y e iz k k x ky Do r-nia powyżej wstawiamy E k x, k y, 0 = 1 π E x, y, z = dx dy E(x, y, 0)e i k xx +k y y = 1 4π dk xdk y e i k xx+k y y e iz k k x ky = 1 4π = 1 4π dx dy E x, y, 0 dx dy E x, y, 0 h x x, y y, z dx dy E(x, y, 0)e i k xx +k y y dk x dk y e i k x x x +k y y y e iz k k x ky h x x, y y, z =

8 propagacja, 4 z = 0 z Propagacja jest przykładem zagadnienia liniowego w wymiarach: E x, y, z = 1 4π dx dy E x, y, 0 h x x, y y, z h x x, y y, z to odpowiedź impulsowa układu E(x, y, 0) E x, y, z =? Dla źródła punktowego E x, y, 0 = δ x x p δ y y p (impulsu) mamy E x, y, z = 1 4π h x x p, y y p, z Matematycznie całka E x, y, z = 1 4π dx dy E x, y, 0 h x x, y y, z to splot funkcji E x, y, 0 oraz h x x, y y, z E x, y, z = E x, y, 0 h x x, y y, z Wiadomo, że transformata Fouriera splotu to iloczyn transformat E k x, k y, z = E k x, k y, 0 h k x, k y, z gdzie funkcja h k x, k y, z nazywana (amplitudową) funkcją przenoszenia jest transformatą Fouriera funkcji odpowiedzi impulsowej h = F h = e i k k x ky z

9 f. impulsowa i f. przenoszenia w przybliż. Fresnela Jeśli rozważane pole jest mało rozbieżne: k x, k y k to z = 0 z k k x k y k k x + k y i funkcja przenoszenia ma postać h k x, k y, z = e ikz ik x +ky z k k E(x, y, 0) E x, y, z =? Korzystamy z faktu, że funkcje h oraz h to para sprzężona fourierowsko aby policzyć funkcję odpowiedzi impulsowej. Rachunki h x, y, z = i x z+ +y eik z λz Teraz możemy już wypisać pole E x, y, z w obrazie Fresnela E x, y, z = 1 4π = i λz eikz dx dy E x, y, 0 h x x, y y, z dx dy E x, y, 0 e ik z x x + y y Wynik identyczny jak ten podany w wykładzie 16. i wyprowadzony z całki Sommerfelda ogólny opis układów liniowych D np., układów obrazujących w języku odpowiedzi impulsowej oraz funkcji przenoszenia

10 funkcja przenoszenia cienkiej soczewki Funkcję impulsową i funkcję przenoszenia możemy zdefiniować także dla układów optycznych. Przykład, cienka soczewka n = 1 Δ 0 Δ n > 1 z Cienka oznacza tutaj, że promienie świetlne nie zmieniają odległości od osi przy przejściu przez soczewkę. Wtedy jedynym efektem działania soczewki jest zmiana fazy fali zależna od położenia czyli x oraz y: φ(x, y) Δ(x, y) φ x, y = kδ 0 + n 1 kδ(x, y) E 1 x, y 1 E x, y Rachunki zrobimy dla soczewki płaskowypukłej Δ x, y = Δ 0 R + R x y dla x, y R mamy Δ x, y Δ 0 x + y R i φ x, y = n 1 k x + y R = k x + y f R R x y Δ 0 x + y Wynik końcowy nie zależy od kształtu soczewki tak długo jak długo obowiązuje przybliżenie cienkiej soczewki E x, y = E 1 x, y e ik x +y f

11 pole za soczewką E 1 x, y E x, y E 3 x, y z Zakładamy cienką soczewkę, dla której E x, y = E 1 x, y e ik x +y f 1 Pole w odległości z za soczewką liczymy w obrazie Fresnela E 3 x, y, z = i λz eikz = i λz eikz = i x z+ +y eik λz Jeśli z = f to E 3 x, y, z dx dy E x, y, 0 e ik z x x + y y dx dy E 1 x, y e ik f x +y z dx dy E 1 x, y e = iπ x f+ +y eik f λf = iπ f+ eik λf 1 π x +y ik e ik z x x + y y 1 z 1 f x +y e ik z xx +yy dx dy E 1 x, y e ik f xx +yy f E 1 k x f, k y f Rozkład natężenia w płaszczyźnie ogniskowej jest takie jak w dalekim polu

12 Soczewka i fala płaska y E x, y, z = E 0 e i k yy+k z z y 0 = Θ y f Θ y sin Θ y = k y k Θ y x0, y0 xf, yf

13 fala płaska i soczewka o skończonej aperturze E 0 e ikz E 1 x, y = E 0 A(x, y) E x 0, y 0 = C " F E 1 k x 0 d, k y 0 d f d E 1 x 0, y 0 = C (x, y)f E 1 k x 0 f, k y 0 f W płaszczyźnie Fraunhofera pole jest (z dokładnością do czynnika skalującego) takie samo jak w strefie dalekiego pola

14 wpływ apertury na jakość obrazowania

15 Rozmiary ogniska Funkcja odpowiedzi impulsowej dla układu obrazującego z pojedynczą soczewką h x 0, y 0 d 1 h x, y Jeżeli (wiązka skolimowana) to i: x y 0 d f 0 0 /, J D d h x y h(0,0), x y ρ s ρ s = 1. λd D D / d J D / f h x, y h(0,0) D / f 1

16 Rozdzielczość obrazowania h x, y 0 0 d d ' D d 1 d Kryterium Rayleigha: maksimum jednego rozkładu przypada na pierwsze zero drugiego ' 1. d d s D d1 1 Ale ' 1. d d d d D 1. d s D obrazowanie spójne vs niespójne

17 Dyfrakcyjne ograniczenie na rozdzielczość I x, y 0 0 y 0 f Rozdzielczość rośnie z liczbą f D d x 0 J D / d I x y C D / d 1 1 0, 0 d s 1. D Układy o dużej jasności mają dobrą rozdzielczość Uwaga: aberracje

18 rozdzielczość układu obraz. wg. Abbego płaszczyzna Fraunhofera obrazowanie filtrowanie r-nie siatki dyfrakcyjnej: sin sin l nd ale 0 Minimum: na soczewce mieszczą się przynajmniej rzędy 1-,0,1. d nsin NA

19 soczewka jako transformata Fouriera E 1 x, y E 4 x, y z E x, y E 3 x, y Zakładamy cienką soczewkę; liczymy po kolei pola: przed soczewką, za soczewką, w płaszczyźnie ogniskowej. Rachunki są takie jak dla robiliśmy wcześniej tylko bardziej żmudne. Wynik: E 4 x 0, y 0 = C F E 1 k x 0 f, k y 0 f Rozkład pola w płaszczyźnie ogniskowej jest proporcjonalny do transformaty Fouriera pola w dugiej płaszczyźnie ogniskowej

20 układ 4f - filtrowanie przestrzenne Prostokątna siatka dyfrakcyjna regulowana przesłona Obraz ilustruje sytuację, dla której obraz powstaje z ugięcia fal na składowych fourierowskich siatki: l 1,3 f f f f Obraz (pomarańczowa krzywa) nie jest ostry. y y 0 E x 0, y 0 = C F E 1 k x 0 f, k y 0 f t y t y = l=1,3,5,... 1 l sin l πy d d - stała siatki

21 układ 4f obróbka i rozpoznawanie obrazów Duże częstości przestrzenne wysokie składowe fourierowskie maski - modulatory ciekłokrystaliczne

22 Fale monochromatyczne układ 4f pulse shaper, 1 f f f f siatka dyfrakcyjna w λ w 0 f w siatka dyfrakcyjna x sinα sinβ dx dλ f dβ dλ s λ d s f d cosβ Rozdzielczość spektralna D=w 0 dx/d

23 Impulsy femtosekundowe układ 4f pulse shaper, f f f f siatka dyfrakcyjna maska albo modulator siatka dyfrakcyjna E out iφω ω Sω e E ω in Spatial Light Modulator (liquid crystal) pixel

24 Holografia, 1 REJESTRACJA Naświetlamy film drobnoziarnisty tak, że jego transmisja jest proporcjonalna do natężenia światła ODTWARZANIE * E ter Eo Er Er Er Er Eo ErEo * * o r o r o r o r t E E E E E E E E

25 Holografia, REJESTRACJA ODTWARZANIE E r E o * r o r r r o o r E te E E E E E E E

26 Holografia, 3 REJESTRACJA ODTWARZANIE E o E r * r o r r r o o r E te E E E E E E E

27 Hologramy objętościowe REJESTRACJA r I x, y, z I e I e k k k g o r r ik r ik or o I I I I cos k o r k r r r o r o I I I I cos k g r r o r o ODTWARZANIE

Podobne dokumenty

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 17, Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 17, 01.12.2017 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz Radosław Łapkiewicz Wykład 16 - przypomnienie