Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Transkrypt

1 Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera, funkcja przenoszenia i odpowiedź impulsowa układu liniowego funkcja przenoszenia przestrzeni swobodnej dyfrakcja jako filtracja dolnoprzepustowa, ograniczenie dyfrakcyjne Wzory dyfrakcyjne Fresnela i Fraunhofera

2 Podsumowanie: równania Maxwella, wektorowe równanie falowe, równanie Helmholtza Równania Maxwella i równania na pola pomocnicze w materii E= B / t D= D= 0 E P H= J D / t B=0 H= 1 B M 0 Liniowość + monochromatyczność + zapis zespolony + brak źródeł D= 0 E H= 1 1 B 0 J = E U t =ℜ(U e i ωt ) ϵ (ϵ±σ i /ω ϵ0) k 0 = /c Równania Maxwella w dziedzinie częstości E=±i ωμ 0 μ H H = i ω ϵ 0 ϵ E (ϵ E)=0 (μ H )=0 Wektorowe równanie falowe 1 1 n= (ośrodek jednorodny i izotropowy) Równanie Helmholtza H=k 0 H n k 0 H=0

3 Sygnał optyczny Rodzaje sygnałów optycznych: - sygnały czasowe i przestrzenne X R, X R u: X Y - sygnały cyfrowe i analogowe Y = { y 1, y, }, Y =[ y min, y max ] - sygnały koherentne i niekoherentne (zespolone i rzeczywiste) X C, X R + - sygnały skalarne i wektorowe (polaryzacja) dim (Y )=1, dim (Y )= - sygnały monochromatyczne, szerokopasmowe i wykorzystujące dyskretne linie widmowe

4 Systemy liniowe Sygnał wejściowy u we SYSTEM LINIOWY L Sygnał wyjściowy u wy= L u we System L jest liniowy, jeśli jest opisywany operatorem liniowym L: u1 : X Y,u : X Y u : X Y, α Y L (u1 +u )=L u1 + L u L (α u )=α (L u)

5 Składanie operatorów liniowych L1 u we L L3 Ln u wy u wy=(l n L 3 L L 1) u we L wyp u we u we, u wy Sygnał optyczny np. rozkład pola bądź natężenia, stan polaryzacji itp. Li Operatory liniowe reprezentujące działanie kolejnych elementów układu optycznego L wyp Operator wypadkowy reprezentujący działanie całego systemu

6 Przykład: macierzowy opis geometrycznej optyki przyosiowej (tzw. optyka macierzowa ABCD) j we [] j= y j we, j wy Ai j wy Wektory opisujący promień przyosiowy Macierze przekształcenia dla promienia dla wyróżnionych płaszczyzn prostopadłych do osi optycznej A wyp =A n A n 1 A 1 [] j= y

7 Przykład: opis macierzowy stanu polaryzacji światła w układzie j we P Px LC Py V j we, j wy Wektory Jonesa (lub Stokesa) M P, M P, M P, M LCD x y M wyp =M n M n 1 M 1 Macierze Jonesa (lub Muellera) j wy

8 Przykład: układ warstwowy a 0 =1 0 I 1... n n+1 N b N =0 b n 1 bn an a n 1 b 0 =R=? a N =T =? y x n k x, k y n k x,k y n, n an n 1, n 1 [] [ ] an bn xn bn =T n 1 a n 1 b n 1 a n 1 b n 1 n 1, ky n 1,k y k x k x

9 Przykład: opis propagacji wiązki z pominięciem odbić Dyskretyzacja pola w (dobrze określonym) kierunku propagacji u N r u 0 r u n 1 r u n r u n r =P n u n 1 r Propagator

10

11 Przykład: propagacja (dyfrakcja) w przestrzeni swobodnej Przestrzeń swobodna jest układem: 1. liniowym. niezmienniczym ze względu na przesunięcia

12 Układy liniowe niezmiennicze translacyjnie (jeśli niezmienniczość dotyczy czasu, to o układzie mówi się, że jest stacjonarny, jeśli niezmienniczość dotyczy przesunięć w 1 lub wymiarach to jest on izoplanatyczny) Definicja niezmienniczości ze względu na przesunięcie: H ( r ', r )=h ( r ' r) Opis układu: Interpretacja: u wy ( r ' )= h ( r ' r ) u we ( r ) d r h ( r ' )= h ( r ' r ) δ( r ) d r odpowiedź impulsowa układu

13 Splot Całka splotowa: u wy ( r ' )= h( r ' r ) u we ( r) d r=: [ h u we] ( r ' ) Własności splotu: - liniowość: g ( f 1 ( r)+ f (r))=g f 1 (r)+g f ( r) - przemienność f (r) g (r)=g (r) f (r) - tw. o przesunięciu: f (r) δ(r r 0 )= f ( r r 0 ) - tw. o splocie: FT { f (r) g(r) }= ^f (k) g^ ( k) ^ )=FT { h(r ) } = h(r )exp ( i k r )d r h(k R n

14 Filtracja liniowa (przestrzenna) u wy ( r ' )= h( r ' r ) u we ( r) d r=: [ h u we] ( r ' ) Odpowiedź impulsową i funkcję przenoszenia łączy transformata Fouriera (konsekwencja tw. o TF splocie) u wy ( r ' )=[ h u we ] ( r ' ) FT IFT ^ u ^ wy ( k )= h ^ we ( k ) u

15 Filtracja liniowa (przestrzenna) Płaszczyzna wyjściowa Dziedzina przestrzenna: FT IFT Dziedzina częstości przestrzennych System liniowy Odpowiedź impulsowa Płaszczyzna wejściowa splot E '( x, y)=h( x, y) E ( x, y) Funkcja przenoszenia ^ ^ (k, k ) E^ '( k x, k y )=h(k, k ) E x y x y mnożenie

16 Filtracja liniowa (przestrzenna) Dwuwymiarową odpowiedź impulsową i funkcję przenoszenia łączy dwuwymiarowa transformata Fouriera ^ k, k )exp (i ( k x +k y )) dk dk h( x, y )=( π) h( x y x y x y FT IFT ^ h(k x, k y )= h( x, y )exp ( i( k x x +k y y ))dx dy

17 Funkcja przenoszenia Opis układu: Interpretacja: g( r ' )= H ( r ', r ) f ( r ) d r H ( r ', r 0)= H ( r ', r) δ( r r 0 ) d r odpowiedź impulsowa układu Dla układu niezmienniczego ze względu na przesunięcie: H ( r ', r )=h ( r ' r) g( r ' )= h ( r ' r ) f ( r ) d r=[ h f ] r ' Transformata Fouriera ^ ^f ]v ' g^ ( v ' )=[ h Funkcja przenoszenia układu Uwaga: Dla układów stacjonarnych i przyczynowych funkcja przenoszenia dodatkowo spełnia warunki Kramersa-Kroniga

18 Przykład: opis układu w ramach skalarnej optyki Fouriera u we u wy h r, r ' h 1 r, r' h 5 ( r, r ') h 3 r, r' h 4 r, r ' Amplituda zespolona albo natężenie światła: Sekwencja elementów liniowych: Składanie odpowiedzi impulsowych: W praktyce występują tylko dwa rodzaje operacji: u n ( r) u n ( r)= hn (r, r ' ) u n 1( r ') d r ' h n (n 1) (h n h n 1 )= h n ( r, r ') h n 1 (r ', r ' ') d r' ' h 5 ( r, r ')=h 5 (r r ' ) (splot) h 4 (r, r' )=h 4 (r)δ( r r' ) (mnożenie)

19 Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja) Rozkład pola na fale płaskie (na widmo przestrzenne): E^ (k t, z ) d r t E (r t, z ) exp( i k t r t ) Oznaczenia: [] Ex E= E y Ez [] r t= x y exp i k r E x x,y k t =[ k x, k y ]= π [ v x, v y ]

20 Przestrzeń swobodna jako filtr liniowy Rozkład pola w dowolnej płaszczyźnie z=const na częstości przestrzenne: E^ (k t, z ) d r t E (r t, z ) exp( i k t r t ) Rozkład pola na fale płaskie: E (r t, z)= d k t E^ (k t, z =0 ) exp (i k r )

21 Przestrzeń swobodna jako filtr liniowy Rozkład pola na częstości przestrzenne: E^ (k t, z ) d r t E (r t, z ) exp( i k t r t ) Rozkład pola na fale płaskie: E (r t, z)= d k t E^ (k t, z =0 ) exp (i k r )= [ ] = d k t E^ (k t, z=0 ) exp (i β z) exp(i k t r t ) Funkcja przenoszenia

22 Przestrzeń swobodna jako filtr liniowy Rozkład pola na częstości przestrzenne: E k t, z d r t E r t, z exp i k t r t Rozkład pola na fale płaskie: k, z=0 exp i k r = E r t, z = d k t E t [ ] Związek dyspersyjny (z równ. Helmholtza): k, z=0 exp i z exp i k r = d k t E t t t Funkcja przenoszenia ( [ k= k x, k y, ] k x k y =n k0 = n / ) ( ^h =exp ( i β z )=exp i z ( k n ) k k =exp π i z ( n /λ ) v v z 0 x y x y ) Uwaga: to sformułowanie pochodzi od Goodmana, ale można wykazać jego równoważność ze wzorem dyfrakcyjnym Rayleigha-Sommerfelda

23

24

25 Dyfrakcja podejście optyki fourierowskiej oparte na filtracji liniowej widma przestrzennego obrazu Przepis na wyznaczanie obrazu dyfrakcyjnego 1. Rozkład pola na częstości przestrzenne: k, z=0 = d r E r, z=0 exp i k r E t t t t t. Filtracja przestrzenna k, z=d = E k, z=0 h k E t t d t h z =exp i z k 0 n k x k y 3. Rekonstrukcja pola E r t, z=d d k t E k t, z=d exp i k t r t

26 Właściwości filtracyjne przestrzeni Funkcja przenoszenia z =10 λ Odpowiedź impulsowa h^ z ( k x, k y )=exp ( i z k 0 k x k y ) f. ewanescentne k ρ = k x +k y ρ /λ z - Przestrzeń swobodna jest filtrem dolnoprzepustowym - Fale ewanescentne zanikają na bardzo krótkim odcinku

27 Ograniczenie dyfrakcyjne Dla dowolnych dwóch funkcji wzajemnie powiązanych transformatą Fouriera zachodzi zasada nieoznaczoności: 1 σ h (x ) σ h (k ) + (x m f ) f ( x) dx σf= + f ( x) dx + x f ( x) dx m f = + f (x ) dx

28 Ograniczenie dyfrakcyjne Dla dowolnych dwóch funkcji wzajemnie powiązanych transformatą Fouriera zachodzi zasada nieoznaczoności: 1 σ h (x ) σ h (k ) + σf= ( x m f ) f ( x) dx + f ( x) dx Dla prostokątnej funkcji przenoszenia: ) =rect h(k ( k n k 0 ) σ h (k )= + x f ( x) dx m f = + f (x ) dx n k 0 3 σ h (x )> 0.4 λ n Rozdzielczość układu optycznego nie może być lepsza niż ok. połowa długości fali w ośrodku.

29 Właściwości filtracyjne przestrzeni Pole bardzo bliskie Funkcja przenoszenia z =0.1 λ Odpowiedź impulsowa Fale ewanescentne Na odległościach rzędu długości fali lub mniejszych, przenoszone są także fale ewanescentne i nie obowiązuje ograniczenie dyfrakcyjne w zwykłej postaci. Uwaga: obecność detektora zaburza nasz opis

30 Dyfrakcja w przybliżeniu Fresnela Dyfrakcja w bliskim polu: funkcja przenoszenia przestrzeni swobodnej: [ h z ( v)= exp ( π i z n / λ v x v y ) ] ( n λ v + v Przybliżenie Fresnela: n / λ v v λ 1 ( x y) n x y Warunek stosowalności przybliżenia Fresnela: N F n r t / 4z 1 Liczba Fresnela: N F = rt / λ z )

31 Dyfrakcja w przybliżeniu Fresnela Dyfrakcja w bliskim polu: Funkcja przenoszenia przestrzeni swobodnej: [ v = exp i z h z n / v x vy ] Przybliżenie Fresnela: [ v = exp i z h z n x / v v y n n / v v 1 v v x y n ] exp i k Odpowiedź impulsowa: 0 x y [ ] n z exp v n/i z IFT (-wym): [ ] exp i k 0 n z r t h z r t = exp i z/n i z/ n Warunek stosowalności przybliżenia Fresnela: N F n r t / 4z 1 Liczba Fresnela: N F = r t / z

32 Związek dyfrakcji Fresnela z transformatą Fouriera Odpowiedź impulsowa przestrzeni swobodnej (przybliżenie Fresnela): [ ( )] ik n z π r t e h z ( r t )= exp i λ z/n i λ z /n 0 Rozkład pola w obrazie dyfrakcyjnym: (Splot pola wejściowego z odpowiedzią impulsową) E ( r t ', z )= E( r t, z =0) h z ( r t ' r t ) d r t= [ ( ik nz π ( r t r t ' ) e = E ( r t, z=0) exp i λ z / n i λ z/n 0 )] d rt =

33 Związek dyfrakcji Fresnela z transformatą Fouriera Odpowiedź impulsowa przestrzeni swobodnej (przybliżenie Fresnela): i k0 n z h z r t = [ ] r t e exp i z/n i z/n Rozkład pola w obrazie dyfrakcyjnym: (Splot pola wejściowego z odpowiedzią impulsową) E r t ', z = E rt, z=0 h z r t ' r t d r t = [ ] ] ( )] ( ik nz r t r t ' e = E r t, z=0 exp i z/ n i z/ n 0 [ d rt= ik nz r t ' r t i r t r t ' e = exp E r t, z=0 exp exp d rt i z/n i z/n i z/ n z/ n 0 E (v t ', z)= i k0 n z e i π vt ' λ z / n e i λ z/n [ E( r t, z =0) exp π r t i λ z/ n exp π i r t v t ' ) d r t vt'= Jądro transformaty Fouriera rt ' z/n

34 Dyfrakcja w przybliżeniu (Dyfrakcja w dalekim polu) Fraunhofera Dyfrakcja Fresnela: E (v t ', z)= e i π vt ' λ z / n i k0 n z e i λ z/n [ E( r t, z=0) exp ( )] π r t i λ z/ n exp ( π i r t v t ' ) d r t r t / z 1 (Przybliżenie Fraunhofera dalekiego pola) Dyfrakcja Fraunhofera: i k0 n z E (v t ', z)= vt ' = e i π vt ' λ z / n e i λ z /n E (r t, z=0) exp ( π i r t v t ' ) d r t rt ' z/n Warunek stosowalności przybliżenia Fraunhofera: N F = r t / z 1 N n r / 4z 1 + F t