Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II

Transkrypt

1 1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność operatorów ˆD, ˆQ, ˆ0 oraz ˆπ (b) Które z powyższych operatorów są operatorami liniowymi? Opowieź uzasanij rachunkiem 2 Niech Â, ˆB, Ĉ są operatorami, a [, ] komutatorem wóch operatorów Uowonij następujące relacje (a) [Â, ˆB] = [ ˆB, Â], (b) [ ˆB, Ĉ] = Â[ ˆB, Ĉ] + [Â, Ĉ] ˆB, (c) [Â, ˆBĈ] = [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â, Ĉ], [ ] () [Â, [ ˆB, Ĉ]] + ˆB, [ Ĉ, Â] + [Ĉ, [ Â, ˆB] ] = 0, (e) [αâ + β ˆB, Ĉ] = α[â, Ĉ] + β[ ˆB, Ĉ], α, β C 3 Wyznacz Â2 oraz Â3, gy operator  jest postaci (a)  = 5 (b)  = x + x, (c)  = 2 x + 2 x 4 Dany jest operator  = eâ = x e x x + 1 x Stosując metoę inukcji matematycznej pokaż, że prawziwa jest relacja: 5 Stosując metoę inukcji matematycznej uowonij, że zachozi relacja (  n) 1 = ( 1 ) n Załóż, że  1 istnieje 6 Niech ane są liczby λ, µ C oraz operatory  i ˆB określone w przestrzeni Hilberta stanów pewnego ukłau fizycznego Pokaż, że (a) sprzężeniem hermitowskim liczby λ C jest λ C, (b) ( ) = Â, (c) ( ˆB) = ˆB Â, () (λâ + µ ˆB) = λ  + µ ˆB, (e) operatory  + Â, i(â  ) oraz  są hermitowskie, (f) [Â, ˆB] = [ ˆB,  ], (g) zakłaając, że  jest hermitowski oraz, że istnieją operatory  1 i ( ) 1, spełnione są relacje: ( ) 1 = ( 1 ) oraz ( ) 1 =  1 7 Niech operatory  i ˆB są operatorami hermitowskimi Sprawź, czy poane poniżej operatory są hermitowskie: (a)  ˆB, (b)  ˆB ˆBÂ, (c)  ˆB + ˆBÂ, () i(â ˆB ˆBÂ) 8 Niech ana jest przestrzeń l 2 nieskończonych ciągów liczb zespolonych zbieżnych w kwaracie Dla każego elementu x = (x 1, x 2,, x n, ) takiej przestrzeni prawziwa jest relacja x k 2 <, z iloczynem skalarnym zefiniowanym następująco: (x, y) = x k y k Niech w takiej przestrzeni zefiniowany jest operator ˆT : ˆT x = ˆT (x 1, x 2, x 3,, x n, ) = (x 2, x 3,, x n, ) Wyznacz sprzężenie hermitowskie operatora ˆT oraz sprawź, czy jest to operator unitarny 1

2 9 Niech operator  jest macierzą n n określoną w przestrzeni Cn Wyznacz sprzężenie hermitowskie operatora  10 Pokaż, że operatory (a) ˆp = i x, (b) ˆx = x operator mnożenia przez (rzeczywistą) współrzęną położenia są liniowe i hermitowskie w przestrzeni funkcji falowych Ψ(x), 11 Wyznacz postać sprzężenia hermitowskiego operatorów (a) x, (b) 2 x 2, określonych w przestrzeni funkcji falowych Ψ(x) 12 Pokaż, że (a) wartości własne operatora ientycznościowego są równe 1, lim Ψ(x) 0 x (b) wartości własne owolnego operatora hermitowskiego są rzeczywiste, (c) wektory własne owolnego operatora hermitowskiego opowiaające różnym wartościom własnym są ortogonalne, () wartości własne λ i owolnego operatora unitarnego spełniają warunek: λ i = 1 13 Dane są operatory σ 1 = określone w wuwymiarowej przestrzeni wektorowej C 2, σ 2 =, σ 3 = 0 1 (a) Pokaż, że operatory te są hermitowskie (b) Wyznacz wartości własne oraz unormowane wektory własne każego z operatorów własne anego operatora opowiaające różnym wartościom własnym są ortogonalne Następnie pokaż w bezpośrenim rachunku, że spełnione są relacje: (c) [σ i, σ j ] = 2iɛ ijk σ k, la i, j, k = 1, 2, 3, () [σ i, σ j ] + = 2δ ij 1, (e) σ 2 i = 1, i = 1, 2, 3 Pokaż, że wektory 14 Pochona operatora Â(λ) jawnie zależnego o parametru λ zefiniowana jest równaniem Pokaż, że zachozą relacje Â(λ) λ = lim λ 0 Â(λ + λ) Â(λ) λ (a) (b) λ ( ˆB) = Â λ ˆB +  ˆB λ, λ ( 1 (λ)) =  1 (λ) Â(λ) λ  1 (λ), przy założeniu, że  1 (λ) istnieje 15 Niech ane są wa operatory  oraz ˆB spełniające warunek [Â, ˆB] = 0 Pokaż, że la takich operatorów zachozi związek [Â, f( ˆB)] = 0 16 Niech ane są wa operatory  oraz ˆB takie, że zachozi [Â, ˆB] = 1 Pokaż, że prawziwa jest wówczas relacja [Â, f( ˆB)] = f( ˆB) ˆB 17 Relacja Bakera Hausorffa Uowonij, że la operatorów Â, ˆB spełniających związek [Â, [ Â, ˆB] ] = [ ˆB, [ Â, ˆB] ] = 0 prawziwa jest relacja eâ+ ˆB = e 1 2 [Â, ˆB] eâe ˆB 2

3 18 Pokaż, że la owolnych wóch operatorów Â, ˆB zachozi relacja e ˆB Âe ˆB =  + [ ˆB, Â] + 1 [ ˆB, [ ˆB, Â] ] + 1 [ [ ˆB, ˆB, [ ˆB, Â] ]] + 2! 3! 19 Niech  i ˆB są woma operatorami Pokaż, że (a) ˆBe ˆB 1 1 ˆB ˆB = e zakłaając, ( (b) eâ) = e Â, że ˆB 1 istnieje, (c) jeśli λ jest wartością własną operatora  to eλ jest wartością własną operatora exp  20 Pokaż, że gy operator  jest hermitowski, to operator ˆT = e iâ jest unitarny 21 Pokaż, że operator ˆF = t s k(s, t) s t jest operatorem liniowym i hermitowskim Przyjmij, że funkcja k(s, t) jest rzeczywista, a wektory s, t są wektorami stanu pewnego ukłau fizycznego 22 Niech U jest operatorem unitarnym postaci: U = 1 + iɛf, gzie ɛ jest owolnie małą liczbą rzeczywistą, ɛ 0 Pokaż, że unitarność operatora U implikuje hermitowskość operatora F 23 Operator hermitowski  jest oatnio określony, gy la owolnego wektora stanu u spełniony jest warunek u  u 0 Pokaż, że operator postaci ˆPa = a a jest (a) hermitowski (b) oatnio określony (c) inempotentny, tzn spełnia warunek ˆP 2 a = ˆP a Załóż, że a jest unormowanym wektorem własnym pewnego operatora hermitowskiego Rachunki wykonaj w notacji Diraca Operator ˆP a = a a nazywany jest operatorem rzutującym (projektorem) na stan a 24 Niech są zefiniowane operatory ˆP ab = a b oraz ˆP a = a b c Pokaż, że (a) sprzężeniem hermitowskim operatora ˆP ab jest operator ˆP = b a, (b) sprzężeniem hermitowskim operatora ˆP a jest operator ˆP a = c b a Rachunki wykonaj w notacji Diraca 25 Niech any jest ukła N wzajemnie ortogonalnych wektorów stanu Ψ 1,, Ψ N, Ψ i Ψ j = δ ij Niech ˆP N jest liniowym operatorem zefiniowanym w następujący sposób Pokaż, że (a) ˆP 2 N = ˆP N, (b) ˆP N Φ = N k c k Ψ k ˆP N = Ψ k Ψ k 26 Dany jest operator ˆσ y, którego macierzową reprezentacją w wuwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej przez wektory bazowe 0 i 1 0 =, 1 =, jest macierz ˆσ y = ( ) 3

4 (a) Pokaż, że operator ˆσ y jest hermitowski Wyznacz wartości własne operatora ˆσ y Wyznacz wektory własne operatora ˆσ y i przeprowaź ich normalizację Przestaw znormalizowane wektory własne jako kombinację liniową wektorów bazowych, (b) Pokaż, że wektory bazowe 0, 1 stanowią ukła ortonormalny, (c) Wyznacz postać macierzową projektorów ˆP 0 oraz ˆP 1, tj operatorów rzutujących na stany, opowienio 0 i 1 Pokaż, że ˆP 2 0 = ˆP 0, ˆP 2 1 = ˆP 1 oraz ˆP 0 ˆP1 = ˆP 1 ˆP0 = 0, () Przyjmując, że Ψ = (5 17) T, wyznacz ziałanie ˆP 0 Ψ oraz ˆP 1 Ψ, (e) Pokaż, że wektory bazowe spełniają rozkła jeynki, tzn 1 = Rozpatrzmy trójwymiarową przestrzeń stanów pewnego ukłau fizycznego Niech ukła { u 1, u 2, u 3 } stanowi ortonormalną bazę tej przestrzeni oraz niech ane są wa wektory stanu zefiniowane w następujący sposób Ψ 0 = 1 u 1 + i 2 2 u u 3 ; Ψ 1 = 1 u 1 + i u (a) sprawź, czy poane kety Ψ 0 i Ψ 1 są unormowane, (b) wyznacz macierzową postać projektorów rzutujących na poane stany Czy macierze te są hermitowskie? 28 Niech w N wymiarowej przestrzeni Hilberta H zefiniowany jest operator hermitowski  posiaający N różnych wartości własnych λ k oraz opowiaające im wektory własne u k, k = 1,, N Pokaż, że prawziwy jest rozkła operatora  postaci  = λ i u i u i Powyższe równanie określa tzw rozkła spektralny operatora  Zbiór wszystkich wartości własnych {λ i} N operatora nazywany jest jego wimem (spektrum) 29 Funkcję operatorową operatora  efiniuje się przez rozwinięcie w szereg f(â) = a n  n, gzie a n są liczbowymi współczynnikami rozwinięcia Pokaż, że gy istnieje rozkła spektralny operatora   = n=0 λ i u i u i, to funkcję f(â) można zapisać równoważnie w postaci N f(â) = f(λ i ) u i u i 30 Niech  jest owolnym operatorem, a Û operatorem unitarnym Pokaż, że prawziwa jest relacja f(û ÂÛ) = Û f(â)û 31 Korzystając z rozkłau spektralnego operatora Â:  = i a i a i a i, gzie  a i = a i a i, a i a j = δ ij oraz z faktu, że f(â) = i f(a i) a i a i pokaż, że zachozi relacja:  n  m = Ân+m 32 Hamiltonian atomu wupoziomowego o poziomach energetycznych równych opowienio E 1 oraz E 2 można zapisać w postaci Ĥ = E E 2 2 2, gzie wektory 1, 2 reprezentują opowienio postawowy i wzbuzony stan energetyczny atomu Pokaż, że operator ewolucji czasowej Û(t) = e i Ĥt można zapisać Û(t) = e i E1t e i E2t 2 2 4

5 33 Niech ane są trzy hermitowskie macierze 2 2 (macierze Pauliego) postaci ˆσ x =, ˆσ y =, ˆσ z = Macierze te spełniają związek ( 0 1 e iϕˆσ k = 1 cos ϕ + iˆσ k sin ϕ (*) (a) Wyznacz wartości własne i unormowane wektory własne każej z macierzy ˆσ k Pokaż, że wektory własne każej z macierzy są ortogonalne, a macierze są hermitowskie (b) Wykaż w bezpośrenim rachunku poprawność relacji (*) la każej z macierzy ˆσ k (c) Wykaż poprawność relacji (*) korzystając z rozkłau spektralnego operatorów ˆσ k (patrz zaanie (29) 34 Pokaż, że zachozi równość exp(θ ˆL cos θ sin θ 0 3 ) = sin θ cos θ 0, 0 ) gzie ˆL 3 jest macierzą 3 3 postaci ˆL 3 = Jaką interpretację geometryczną posiaa przekształcenie v e θ ˆL 3 v, gzie v R 3? 35 Niech ane są macierze postaci: I =, A =, B = Pokaż, że exp(i) = e e 0, exp(a) =, exp(b) = 0 e 36 Wielomiany stopnia co najwyżej n o ogólnej postaci f(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c n x n można interpretować jako elementy przestrzeni wektorowej C n+1 z bazą {1, x, x 2,, x n } Dla przykłau, funkcję f(x) = 2x reprezentuje wektor f = (7, 0, 0, 2, 0,, 0) C n+1 Wyznacz postać macierzową operatora różniczkowania ziałającego na wielomiany f(x) w poanej bazie 0 Opowieź: x = n C A 37 Śla (T r( ) ) operatora  w N wymiarowej przestrzeni Hilberta zefiniowany jest następująco: x Tr(Â) = N ψ k  ψ k, gzie {ψ k } N jest owolną ortonormalną bazą przestrzeni Hilberta (a) Pokaż, że zachozi równość Tr( ˆB) = Tr( ˆBÂ) (b) Uowonij, że Tr( φ ψ ) = ψ φ (c) Uowonij, że śla jest niezmienniczy wzglęem transformacji bazy, tzn wyznaczony w bazie { ψ i } jest ientyczny z wyznaczonym w bazie { ϕ i }, gzie ϕ i = U ψ i oraz U jest przekształceniem unitarnym () Korzystając z efinicji ślau wyznacz śla macierzy Pauliego poanych w zaaniu 33 5