Analiza Matematyczna MAT1317

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 Opracowanie: dr Adam Marczak

2 Lista. Zadanie. Rozpisa moduªy algebraicznie, a nast pnie naszkicowa wykresy podanych funkcji, przeksztaªcaj c odpowiednie wykresy y = x + 3 y = x x y = cos x Zadanie. Rozwi za równania i nierówno±ci x 4 3 = 0 x 4 > x + x 4 x > y = sin x (e) y = 4 x + (f) y = x 3 x 4 x > (e) sin x = (f) sin x < Zadanie.3 Naszkicowa na pªaszczy¹nie nast puj ce zbiory A = {(x, y) R : x y } B = {(x, y) R : x + y } C = {(x, y) R : x y + } D = {(x, y) R : (x y) + < ( x + ) }

3 Zadanie. Rozªo»y na czynniki nierozkªadalne wielomiany Lista. x 4 x 3 x x + x 3 7x + 7x x 3 x 5x + 6 (e) x 3 5x x 3 (f) x x x + 3 Zadanie. Wykona dziaªania. Wynik poda w postaci mo»liwie najprostszej funkcji wymiernej x + x + x x x + Zadanie.3 Rozwi za równania i nierówno±ci x + x x + x + x (x )(x 3x + ) x x + x 3x + 0 x x = x x + x x 3 + x = 0 (e) x x x x + (f) 3x + 4x 4 x + x > Zadanie.4 Wprowadzaj c zmienn pomocnicz t = x +, rozwi za równanie x x 4 9x 3 + 4x 9x + = 0 9x 4 5x 3 3x 5x + 9 = 0 3

4 Lista 3. Zadanie 3. Okre±li dziedzin i naszkicowa wykres funkcji y = x + y = log x + y = ln(x ) Zadanie 3. Rozwi za równania i nierówno±ci y = e x e 5 x 5 x+ + 5 = 5 x x + 3 x = 58 ( 4 9 ) x ( ) 7 x = 8 3 x + x + x +... = 3 x + 4 Zadanie 3.3 Rozwi za równania i nierówno±ci log 3 ( + x ) x log x = 00 = log 3 + log x 3 x log 5 = x log 5 + log log( + x ) (e) 3 3x x < 9 x (f) (g) ( 4x ) 5x+3 ( 4 3x < ) ( ) x x (h) (3 x) 3x 5 3 x < ln(3x + ) ln x > (e) log (x + ) > log x+ 6 (f) log 8 x + log 8 x + log 3 8 x +... = Zadanie 3.4 Narysowa na pªaszczy¹nie zbiór A = {(x, y) R : log y (log x y) 0} Zadanie 3.5 Wyznaczy dziedzin funkcji f(x) = log (x ) log(5 3x) 0 4

5 Lista 4. Zadanie 4. Korzystaj c z twierdze«o arytmetyce granic oraz o granicach niewªa±ciwych ci gów, obliczy podane granice n n 3 + n + n 3n 3 (n 0 + ) 3 n (n 3 + ) 0 n n3 + 3 n5 + + n ( n + 4n + n + n) (e) n ( 4 n n) ( 3 5 n + n + 3 (f) n 5 n 4 n (g) n 3 8 n+ + 3 n + ) 5 (h) n (n 4 3n 3 n ) ( ) n + n (i) n n (j) n (n + )! n! + Zadanie 4. Korzystaj c z twierdze«o trzech i o dwóch ci gach, znale¹ podane granice n n n + 3 n 5 n + 4 n n n n n + n ( ) 3 n n n3 + n n n + ( ) n 3n + (e) n (sin n! )n (f) n n Zadanie 4.3 Korzystaj c z denicji liczby e, obliczy podane granice ( 5n + n 5n + ( ) 3n n n 3n + n ( n n + ) 5n ) n 5

6 Lista 5. Zadanie 5. Korzystaj c z twierdze«o arytmetyce granic oraz o granicach niewªa±ciwych funkcji, obliczy podane granice x x 5x + 4 x(x 5) x x + 3 x + x x 3 x 4 3 x 4 x 64 x 8 (e) + x x x (f) x 6 (g) x x 6 tg x + x π tg x + 5 (h) x ( x + x) (i) x (4x4 3x 3 + x x + ) ( (j) x ) x (k) x 3x + x + x + Zadanie 5. Korzystaj c z twierdze«o trzech i o dwóch funkcjach, uzasadni podane równo±ci: x + sin x x = 0 x + sin x x x + cos x = ( ) x cos = 0 + x x 3 = 0 x (e) x x + x (f) = ( ( )) 3 cos x x = 3 Zadanie 5.3 Korzystaj c z granic podstawowych wyra»e«nieoznaczonych, obliczy podane granice funkcji sin (3x) x e 3x sin(x) + x 4 x ln( + x ) x 3 x (e) ( + sin x) /3x 6

7 Zadanie 5.4 Obliczaj c granice jednostronne, zbada, czy istniej podane granice funkcji x x 4 x x 3 x x 3 x 3 Zadanie 5.5 Uzasadni,»e podane granice nie istniej ( ) x cos x x sin x + Zadanie 5.6 Znale¹ asymptoty pionowe i uko±ne podanych funkcji f(x) = x3 + x x 4 f(x) = sin x x π f(x) = x 3 9 x Zadanie 5.7 Zbada ci gªo± podanej funkcji we wskazanym punkcie, przy czym w przypadku nieci gªo±ci okre±li jej rodzaj: ( x cos dla x < 0 x) f(x) = 0 dla x = 0 ( ) x sin x dla x > 0 x 0 = 0 f(x) = x 0 = x x dla x (0, ) (, ) 3 dla x = e x + f(x) = e x + dla x 0 e dla x = 0, x 0 = 0 x + x dla x 0 f(x) = x 0 dla x = 0 x 0 = 0 Zadanie 5.8 Dobra parametry a, b R tak, aby podana funkcja byªa ci gªa w obu wskazanych punktach: dla x 0 f(x) = a x + b dla 0 < x <, x = 0 oraz w x = 3 dla x f(x) = { x + ax + b dla x < x x 4 dla x, x = oraz w x = 7

8 Lista 6. Zadanie 6. Korzystaj c z denicji, zbada istnienie pochodnych wªa±ciwych lub niewªa±ciwych podanych funkcji we wskazanych punktach f(x) = x sin x, x 0 = 0 f(x) = { x dla x x dla x >,, x 0 = f(x) = 3 5 x, x 0 = 0 f(x) = sin x, x 0 = 0 Zadanie 6. Korzystaj c z reguª ró»niczkowania, obliczy pochodne podanych funkcji f(x) = (x 3 + x ) e x f(x) = sin x x f(x) = 3 arc sin(x ) f(x) = arctgx 3 x (e) f(x) = ( + 4 x) tg( x) (f) f(x) = sin x 3 cos x (g) f(x) = x tg x (h) f(x) = x x Zadanie 6.3 Korzystaj c z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, obliczy (f ) (e + ) dla f(x) = x + ln x (f ) (4) dla f(x) = x x Zadanie 6.4 Obliczy f (x), f (x), f (x) dla podanych funkcji f(x) = x 3 x f(x) = x sin x f(x) = ex x f(x) = sin 3 x + cos 3 x Zadanie 6.5 Napisa równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach f(x) = x +, (3, f(3)) f(x) = x + x, (, f( )) f(x) = arctg(x ), (0, f(0)) Zadanie 6.6 Korzystaj c z reguªy de l'hospitala, obliczy podane granice x ln( x + ) x x arctgx x x ln x + ( ) x ctg x (e) (cos x) x 8

9 Lista 7. Zadanie 7. Znale¹ przedziaªy monotoniczno±ci podanych funkcji f(x) = x 3 30x + 5x f(x) = xe 3x x3 f(x) = 3 x f(x) = x ln x Zadanie 7. Znale¹ wszystkie lokalne ekstrema funkcji f(x) = x 3 4x f(x) = (x 5)e x f(x) = x ln x f(x) = x x 4 (e) f(x) = x 5x 6 Zadanie 7.3 Znale¹ warto±ci najmniejsze i najwi ksze podanych funkcji na wskazanych przedziaªach f(x) = x 3 5x + 36x, [;, 5] f(x) = 9 x, [ 4, ] Zadanie 7.4 Okre±li przedziaªy wypukªo±ci i wkl sªo±ci oraz punkty przegi cia wykresów podanych funkcji f(x) = ln( + x ) f(x) = f(x) = sin x + 8 sin(x) x Zadanie 7.5 Zbada przebieg zmienno±ci funkcji i naszkicowa ich wykresy f(x) = x ln x x f(x) = x f(x) = x x f(x) = 3 4 x 4 x 9

10 Lista 8. Zadanie 8. Obliczy podane caªki nieoznaczone x 4 x + x x x x 5 x 0 x cos(x) cos x sin x Zadanie 8. Korzystaj c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz ±ci, obliczy caªki nieoznaczone x sin x x arctg x ln(x + ) e x sin x Zadanie 8.3 Stosuj c odpowiednie podstawienia, obliczy podane caªki nieoznaczone (5 3x) 0 cos x + sin x cos x x (e) 4x x 5 5x 3 + (f) x Zadanie 8.4 Obliczy podane caªki nieoznaczone z funkcji wymiernych x x + (x )x (4x + ) x + x + (5 4x) x 4x + 0 Zadanie 8.5 (dla koneserów) Obliczy podane caªki nieoznaczone z funkcji trygonometrycznych sin x + tg x cos x + cos x 3 sin x + 4 cos x + 5 0

11 Lista 9. Zadanie 9. Korzystajac z twierdzenia Newtona-Leibniza, obliczy podane caªki oznaczone ( ) x + x 9 0 x + 9 π 0 sin x cos x Zadanie 9. Metod caªkowania przez cz ±ci obliczy podane caªki oznaczone 0 x e x e ln x e ln x x e 0 e x cos(πx) Zadanie 9.3 Obliczy podane caªki oznaczone, dokonuj c wskazanych podstawie«6 + 3x, y = 3x e ln x, y = ln x 3 3 x x3 x 4, y = x 0 + x x, x = cos y Zadanie 9.4 Uzasadni równo±ci, zauwa»aj c parzysto±, nieparzysto± lub okresowo± funkcji podcaªkowych 3π π x 5 3 x = 0 sin 7 x 4 + cos x = x(x 3 + x) = 0 x(x 3 + x) Zadanie 9.5 Obliczy pola obszarów ograniczonych krzywymi x + y =, x = 0, y = 0 4y = x, y(x + 4) = 8 y = ln x, x = e, y = y = tg x, y = ctg x, 0 < x < π/ (e) y = 9 x, y =, y = y = x, y = 4 x, y = 6

12 Lista 0. Zadanie 0. Obliczy pochodne cz stkowe pierwszego i drugiego rz du nast puj cych funkcji f(x, y) = ye xy f(x, y) = cos(x + y ) f(x, y) = x + y3 x f(x, y) = y ln x y (e) f(x, y, z) = y + x + z (f) f(x, y, z) = ln (x + y + z 3 ) Zadanie 0. Napisa równania pªaszczyzn stycznych do podanych powierzchni we wskazanych punktach z = e x+y, (,, z 0 ) z = x y +, (, 3, z 0 ) z = Zadanie 0.3 Wyznaczy lokalne ekstrema funkcji arc sin x arc cos y, ( ) 3,, z 0 f(x, y) = x 3 + y 3 3xy f(x, y) = y x y x + 6y f(x, y) = e x y (5 x + y) f(x, y) = xy + ln y + x (e) f(x, y) = 8 x + x y + y (x, y > 0) (f) f(x, y) = xe y + x + ey Zadanie 0.4 Wyznaczy lokalne ekstrema funkcji, których argumenty speªniaj wskazane warunki f(x, y) = x + y, 3x + y = 6 f(x, y) = x y ln x, 8x+3y = 0 f(x, y) = x + 3y, x + y = f(x, y) = x + y 8x + 0, x y + = 0 Zadanie 0.5 Wyznaczy najmniejsze i najwi ksze warto±ci funkcji na wskazanych zbiorach f(x, y) = x 3 + 4x + y xy, D = {(x, y) R : x y 4} f(x, y) = x y, D trójk t o wierzchoªkach (0, ), (0, ), (, ) f(x, y) = x 4 + y 4, D = {(x, y) R : x + y 9} Zadanie 0.6 Jakie powinny by wymiary prostopadªo±ciennej otwartej wanny o ustalonej obj to±ci, aby ilo± blachy zu»ytej do jej zrobienia byªa najmniejsza? Wyznaczy odlegªo± mi dzy prostymi sko±nymi w przestrzeni R 3 k : { x + y = 0 z + = 0 l : { x y + 3 = 0 z = 0