METODA SIŁ - ŁUKI

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 1 1. 1. METODA SIŁ - ŁUKI 1.1. Deinicja i podział łuków Łuk to pręt zakrzwion w pewnej płaszczźnie, pracując zarówno na zginanie, ścinanie jak i ściskanie. Jego poszczegóne części składowe, nazwane są następująco: rozpiętość najkrótsza odegłość międz podporami zewnętrznmi strzałka łuku odegłość od cięciw łączącej podpor do najwższego punktu łuku Łuki kasikujem najczęściej według poniższch krteriów. 1. W zaeżności od krzwizn: paraboiczne, sinusoidane, kołowe.. W zaeżności od rodzaju podparcia (konstrukcji podpór): jednoprzegubowe, dwuprzegubowe, bezprzegubowe (utwierdzone). 3. W zaeżności od przekroju: o stałm przekroju, o zmiennm przekroju (np. konstrukcja optmana gdzie wmiar przekroju zmienia się według rozkładu sił wewnętrznch). Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 4. W zaeżności od materiału z jakiego są zbudowane: staowe, żebetowe, drewniane. 5. W zaeżności od budow: ze ściągiem, z zakratowaniem. 1.. Praca sił wewnętrznch w łukach W prac łuku decdującą roę najczęściej odgrwają sił normane. Z tego też powodu w wieu przpadkach nie wono pominąć ich wpłwu na przemieszczenia układu. Wpłw sił normanch na układ jest tm większ im mniejszą łuk ma wsokość, czi wpłw ten jest znaczn w łukach płaskich (anaogia do kratownic Misesa). Da łuków płaskich, o wsokim przekroju, nie wono pominąć wpłwu sił tnącej (anaogia do beki Timoshenki). Poniższa tabea przedstawia ogóne warunki, na podstawie którch pomijam bądź uwzgędniam wpłw odpowiednich sił wewnętrznch na przemieszczenia. Tabea 1.1. Wpłw odpowiednich sił wewnętrznch na przemieszczenia w zaeżności od wmiarów łuku (h-wsokość przekroju, - rozpiętość łuku, - strzałka łuku) Łuki płaskie 1 5 Łuki wniosłe 1 5 jeżei jeżei jeżei jeżei jeżei h 1 1 1 3 h 1 1 h 1 3 h 1 1 h 1 1 to uwzgędniam w obiczeniach wpłw M, N, T to uwzgędniam w obiczeniach wpłw M i N to uwzgędniam w obiczeniach wpłw M i N (wpłw N jest znacznie mniejsz) to uwzgędniam w obiczeniach tko wpłw M to uwzgędniam w obiczeniach M i T Warto zauważć, że pominięcie sił normanch podczas obiczania przemieszczeń w łukach płaskich ma dużo większ wpłw na ostateczn wnik niż w innch układach prętowch (błąd może nawet przekroczć 1 %). 1.3. Opis matematczn łuków 1. Łuk paraboiczn: Równanie łuku paraboicznego ma następującą postać: = 4 (1.1) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 3 φ Zatem kąt nachenia stcznej do krzwej w danm punkcie jest równ: tg = '= d d = 4 =arctg[ 4 1 ] (1.). Łuk kołow: Równanie łuku kołowego ma następującą postać: = R R (1.3) Zatem kąt nachenia stcznej do krzwej w danm punkcie jest równ: tg = '= [ =arctg R R ] (1.4) φ R α α R R - Rs. 1.1. Zaeżności geometrczne w łuku kołowm Promień łuku znajdujem korzstając z twierdzenia Pitagorasa (rs. 1.1): Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 4 R = R R= 8 (1.5) 1.4. Sposob całkowania unkcji sił wewnętrznch Całkując wkres w ceu wiczenia przemieszczeń w łukach, nie możem skorzstać z twierdzenia Mohra-Wereszczagina. Żaden z wkresów nie jest prostoiniow (obdwa są krzwoiniowe). Naeż więc dokonać całkowania w sposób tradcjn ub skorzstać ze sposobów ułatwiającch całkowanie. Poniżej podajem różne sposob radzenia sobie z tm probemem. 1.4.1. Metoda matematczna W ogónm przpadku, w prostokątnm układzie współrzędnch można dokonać zamian całki krzwoiniowej na iniową, stosując następujące matematczną zaeżność: ds= d (1.6) 1 ' 1.4.. Metoda numerczna Metod numerczne są szczegónie przdatne tam gdzie mam do cznienia z dość skompikowanmi krzwmi (warunkiem jest stał wmiar przekroju w obszarze całkowania). W takim przpadku musim najpierw dokonać następującego przekształcenia: d d =cos ds= ds cos (1.7) φ ds d A po podstawieniu tej zaeżności do wzoru na współcznniki równania kanonicznego (we wszstkich wstępuje całka z wrażenia będącego iocznem unkcji momentów) otrzmujem: M ip = P M i j=1 s ds= j=1 M P M i d cos = 1 j=1 q j d= 1 j (1.8) i=1 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 5 q() Ω gdzie Ω j oznacza poe wkresu pod krzwą q j() w granicach od do. metoda prostokątów - poe pod krzwą dzieim na prostokąt, a następnie dokonujem zsumowania ich pó (jedna z mniej dokładnch metod), q 1 q q q() q n a a Ω 1 Ω Ω 3 a a a a a a a a a a a Ω n a a a a a a a a a a n = k =a 1 q q q... q 1 1 n 1 n q (1.9) k=1 metoda trapezów - poe pod krzwą dzieim na trapez, a następnie dokonujem zsumowania ich pó (jedna z dokładniejszch metod), n 1 = k= n q k =a k q k 1 k= (1.1) metoda parabo (Simpsona) - poe pod krzwą dzieim na prostokąt i paraboe, a następnie dokonujem zsumowania ich pó (najdokładniejsza metoda). Warto zaznaczć, że paraboe budujem na trzech koejnch punktach datego podział odcinka musi bć parzst (=an, n=k, k=1,,...). n = k=1 k = a 3 q 4 q 1 q 4 q 3... q n 4 q n 1 q n (1.11) Warto zaznaczć, że we wszstkich powższch metodach całkowania numercznego, czm gęstsz jest podział obszaru całkowania tm uzskane wniki są dokładniejsze (szczegónie gęst podział zaecan jest gd mam do cznienia z łukami wniosłmi). Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 6 1.4.3. Metoda akademicka Metoda ta poega na założeniu, że łuk ma zmienn przekrój. Zmiana przekroju odbwa się tak, że moment bezwładności zaeżn jest od cosinusa kąta pochenia stcznej: J = J cos (1.1) gdzie: J o - to tzw. moment porównawcz któr znajduje się w kuczu łuku (da =, cos =1, stąd J =J ). Po wprowadzeniu tej sztucznej zaeżności całki w wieu przpadkach można w prost sposób obiczć anaitcznie: M ip = P M i i=1 s ds= i=1 M P M i E J cos d cos = 1 E J i=1 M P M i d (1.13) 1.4.4. Zamiana współrzędnch prostokątnch na biegunowe (dotcz włącznie łuków kołowch) Zaeżności prz zamianie współrzędnch prostokątnch na biegunowe wnikają z geometrii układu: sin = R =R sin cos = R =R R cos =R 1 cos R ds =d ds=r d R (1.14) φ R (,) R - R dφ R ds φ R P(,) P(r,φ) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 7 Po podstawieniu tch zaeżności do wzoru na współcznniki równania kanonicznego otrzmujem proste całki z unkcji trgonometrcznch: M ip = P M i i=1 s ds= i=1 M P M i R d (1.15) Warto zauważć, że granice w całce ustaone został od φ do φ, ponieważ pomiędz tmi skrajnmi wiekościami może zmieniać się kąt φ (w szczegónch przpadkach np. gd mam do cznienia z połówką ub ćwiartką okręgu kąt φ zmieniać się będzie odpowiednio od do π i od do π/). - -φ Sφ R Wartość kąta φ obiczam z następującej zaeżności: sin = R =arc sin [ (1.16) R] Zadanie 1 Znaeźć inie wpłwowe wiekości statcznch łuku paraboicznego, dwuprzegubowego, statcznie niewznaczanego, przedstawionego poniżej: φ,a Zakładam, że mam do cznienia z łukiem płaskim 1 5, w którm h 1, zatem w obiczeniach (we 1 współcznnikach równań kanonicznch metod sił) pominiem wpłw sił tnącej na przemieszczenia. Łuk posiada stopień statcznej niewznaczaności równ jeden, zatem układ podstawow będzie mógł wgądać następująco: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 8 P=1 X 1 =1 Równanie kanoniczne w tm przpadku ma postać: 11 X 1 1 P = (1.17) Z niego wznaczam wartość nadiczbowej reakcji X 1 = 1 P 11 (1.18) gdzie Δ 1P to przemieszczenie po kierunku sił X 1 wwołane siłą P, a δ 11 przemieszczenie wwołane działaniem sił X 1=1. Korzstając z równania (1.1) oraz z zaeżności trgonometrcznch możem wznaczć i narsować wkres sił M i N da układu podstawowego prz X 1=1. Zaeżności pomocne prz wznaczeniu wkresów sił wewnętrznch dotczą kąta pochenia stcznej: tg = d d = 4 1 cos = 1 tg sin =tg cos = tg 1 tg (1.19) T N φ M 1 sin φ 1 φ 1 cos φ Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 9 - -1 - M 1 == 4 N 1 = - cos φ - + T 1 = - sin φ Prz obiczaniu przemieszczeń skorzstam z zaeżności (1.1) i zmodikujem parametr przekroju. 11 = M 1 E J cos d cos N 1 E A cos d cos Po skróceniu i podstawieniu wzorów na unkcje wkresów sił M 1 i N 1 mam: 11 = 16 4 E J cos d d= 8 [1 ] E A 15 E J (1.) gdzie = 15 8 J A oraz i promień bezwładności, { 1 gd cos =1 = arc tg 4 J A =i Wpłw sił normanej na przemieszczenia łuku iustruje poniższa tabeka. Tabea 1.. Wpłw sił normanej na przemieszczenia η[%] (dane da =1 m) I3 I5 1, m h =,3 h =,5 h =,1 1,,1,66 7, 15,63 1,5,15 1,18 3, 6,94,,,66 1,8 3,91 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 1 Z anaiz tabei (1.) można stwierdzić, iż wpłw sił normanej będzie większ gd strzałka łuku będzie maeć ub gd wsokość przekroju będzie wzrastać. Następnie obiczam współcznnik Δ 1P: Korzstając z twierdzenia Mawea możem zapisać: Δ1P= ΔP1 Δ1P - przemieszczenie po kierunku sił X1 wwołane działaniem sił P, Δ P1 - przemieszczenie pionowe punktu pod siłą P wwołane działaniem sił X 1 (inia ugięcia łuku wwołana przez działanie X1=1) P=1 Δ 1P Δ P1 X 1 =1 Wprowadzam nową zmienną a. P=1 A B R A = 1 1 R B = 1 a M P= 1 R A a Korzstam z zasad prac wirtuanch w ceu wznaczenia przemieszczenia δ P1 (w obiczeniach pominiem wpłw sił normanej): 1 P1 = s M 1 M ds s N 1 N ds (1.1) EA Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 11 Do daszch obiczeń skorzstam z zaeżności geometrcznch: J =J = J cos ds= d cos Moment w stanie X1 opiszem jedną unkcją M 1 a = = 4 a a A w stanie P dwoma unkcjami: M ={ a a R A a= 1 1 a R B a = 1 a Ponieważ jest współrzędną sił P=1 całkowanie trzeba wkonać według zmiennej od której zaeż wartość momentu zginającego w dowonm przekroju (podczas całkowania jest traktowane jako stała). Po podstawieniu powższch warunków mam: a a 1 a 4 a a da a da E J E J P1 = { 4 3 3 }= 3 E J 3 { 4 3 4 3 } 4 P1 = Wprowadzam współrzędną bezwmiarową 4 3 4 = 4 3 = 3 = I otrzmujem unkcję: P1 = 3 E J [ 4 3 ]= 3 (1.) gdzie = 4 3 Wkorzstując zaeżności (1.18) i (1.) uzskujem równanie inii wpłwu: wx 1 = P1 11 = 5 8 1 (1.3) 1 Możem zatem narsować inie wpłwu X1, inia ta jest smetrczna i ma postać krzwej. Jeżei da ułatwienia Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 1 przjmiem, że 1, to będziem mogi pominąć wpłw sił normanej μ=. 5 α α P=1 X 1 =1 R A = 1 1 R B = 1 w X 1 [-] w M n w M w T [-] n w T [-] w N [-] n w N [-] Podobnie postępujem da wznaczenia inii wpłwu sił w przekroju α - α: da momentu wm n =wm o wx 1 M X 1 =1 (1.4) gdzie M X 1 =1 - wartość momentu zginającego w przekroju α - α od sił X 1=1. da sił poprzecznej wt n =wt o wx 1 T X 1 =1 (1.5) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 13 gdzie T X 1 =1 - wartość sił tnącej w przekroju α - α od sił X 1=1. da sił normanej wn n =wn o wx 1 N X 1 =1 (1.6) gdzie N X 1 =1 - wartość sił normanej w przekroju α - α od sił X1=1. Jak widać inie wpłwu w przekroju α - α też są krzwmi wższego stopnia. Zadanie Wznaczć i narsować wkres sił M, N i T w układzie niewznaczanm da łuku kołowego, przegubowego, o stałch parametrach przekroju J i A, przedstawionego poniżej: q [kn/m] R α α R Da powższego łuku stopień statcznej niewznaczaności wnosi dwa, zatem układ podstawow możem przjąć następując: q =1 [kn/m] q =1 [kn/m] X X X 1 X 1 Korzstając ze wzoru (1.5) możem wznaczć promień łuku - wnosi on R=7,5 (da =1, =3). Układ równań kanonicznch, któr zapewnia kinematczną zgodność ma postać: { 11 X 1 1 X 1 P = 1 X 1 X P = (1.7) W przjętm układzie podstawowm możem narsować wkres od sił X1=1 i X=1 odnosząc je do inii prostej (jest to odwzorowanie jedno-jednoznaczne w stosunku do wkresów odniesionch na krzwej łuku). Jak widać nasz łuk jest smetrczn możem zatem okreśić, które wartości przemieszczeń będą równe zeru: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 14 - + M 1 - - M q q 8 8 - - M p 1 = 1 P = (1.8) Nasze równania przjmą zatem postać: { 11 X 1 = X P = (1.9) Wkres momentów zginającch mają postać unkcji w układzie prostokątnm, zamieniając współrzędne prostokątne na współrzędne biegunowe korzstam z zaeżności (1.14), taka zamiana ułatwia obiczenia potrzebnch nam przemieszczeń. w stanie X 1 =1 w stanie X =1 w stanie P X 1 =1 X =1 q -q M p = M 1 = M = - M 1 ==R sin M = = R R cos =R cos 1 M o P = q = qr sin (1.3) Z pierwszego równania kanonicznego (1.9) wnika, że nie musim iczć przemieszczenia δ 11 Przstępujem zatem do wiczenia pozostałch przemieszczeń: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 15 = s M 1 ds= 1 R3 R cos 1 Rd = 1 3 1 sin 4 sin P = s M P M ds= 1 1 qr3 sin cos 1 Rd P = 1 1 qr4 sin3 3 sin 3 (1.31) (1.3) Mając dane powższe przemieszczenia możem obiczć wartość sił X (X1=): X = P (1.33) oraz narsować wkres sił wewnętrznch w układzie statcznie niewznaczanm: q - - M P n - + T P n - N P n Zadanie 3 Znaeźć inie wpłwowe wiekości statcznch łuku paraboicznego, bezprzegubowego, statcznie niewznaczanego, o zmiennm przekroju, przedstawionego poniżej. P=1 α α Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 16 Dane zadanie rozwiążem za pomocą bieguna sprężstego (sił nadiczbowe będą przłożone na wspornikach o sztwności dążącej do nieskończoności). Łuk posiada SSN=3, zatem układ podstawow będzie mógł wgądać następująco: e - e X X X 1 X 1 e X 3 X 3 Układ równań kanonicznch zapewnia kinematczną zgodność układu podstawowego. Wzajemne przemieszczenia odciętch przekroi muszą bć równe zero: { 1= 11 X 1 1 X 13 X 3 1 P= = 1 X 1 X 3 X 3 P = 3 = 31 X 1 3 X 33 X 3 3 P = (1.34) Mając dan układ podstawow możem narsować wkres od sił X 1=1, X =1 i X 3=1 odnosząc je do inii prostej (jest to odwzorowanie jedno-jednoznaczne w stosunku do wkresów odniesionch na krzwej łuku). Ponieważ łuk ma smetrczną budowę a obciążenia dają smetrczne ub antsmetrczne unkcje możem okreśić, które wartości przemieszczeń będą równe zeru: e - e - e - - - + e 1 + - + - e M 1 = + e M = 1 M 3 =- Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 17 13 = 31 = 3 = 3 = (1.35) Jeżei przekrój łuku zmienia się tak, że ds = d (1.36) to 1 = 1 = s M 1 M ds= 1 1 = 1 e 1 d= 1 4 1 = e 1 d= (1.37) 4 e 1 d= e d= d e d= 4 d 4 4 4 3 e = 3 4 e = 3 Zatem po przekształceniach widać, że: 1 = 1 = e= 3 Biorąc pod uwagę powższe dane układ równań kanonicznch będzie wgądał następująco: { 11 X 1 1 P= X P = 33 X 3 3 P = (1.38) Przekształcając równania możem wznaczć szukane sił jako zmienne niezaeżne: 1 P {X 1= 11 X = P X 3 = 3 P 33 (1.39) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 18 Najpierw obiczam anaitcznie przemieszczenia znajdujące się w mianownikach. Przjmując (na podstawie wcześniejszch obiczeń) e= 3 otrzmujem: oraz unkcje momentów jednostkowch M 1 = 3 = 4 3 11 = 1 [ 4 3 ] d= 1 4 45 = 1 33 = 1 1 d= 1 d= 1 3 1 (1.4) Następnie iczm przemieszczenia w icznikach (skorzstam jak w przkładzie 1 z twierdzenia Mawea oraz wkorzstam smetrię zadania rozwiązując połowę łuku). W ceu ułatwienia obiczeń wprowadzim dodatkową zmienną a, która okreśa położenie sił P=1. Podczas całkowania a jest traktowane jako stała, zmienną jest. Wznaczm unkcję momentu od obciążenia M, która także zaeż od położenia sił P=1 (współrzędnej a). a P=1 -a - M = { a a a (1.41) 1 P = P1 = M 1 M a 4 d= P1 = 1 4 3 a a4 1 1 6 a3 1 d a 4 3 1 a (1.4) d Po wprowadzaniu zmiennch bezwmiarowch (teraz a jest traktowane jako zmienna) a = mam: P1 = 3 1 (1.43) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 19 Podobnie postępujem prz pozostałch przemieszczeniach: P = P = M M a d= 1 a d a 1 d P = 1 a = 1 (1.44) 3 P = P3 = M 3 M a d= a d a P3 = 1 a3 6 a 4 = 1 3 1 3 d (1.45) Teraz możem wiczć szukane wartości sił będące jednocześnie iniami wpłwowmi w przedziae,5 =. {X 1= 15 1 4 X = X 3 = 3 (1.46) W ceu wznaczenia inii wpłwowch w całm łuku naeż skorzstać z smetrii układu i odwzorować rozwiązanie na przedział,5 : P=1 - w X 1 + w X - - + w X 3 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI Zadanie 4 Da przedstawionego łuku wznaczć sił wewnętrzne i narsować ich wkres od podanego obciążenia 6 kn/m 4,5,5 6 6 Łuk ma kształt paraboi, której unkcje znajdujem ze wzoru: = 4 Po podstawieniu wmiarów otrzmujm równanie krzwizn, Oraz unkcję stcznej w dowonm punkcie: =5 m =1 m = 4 5 1 1 = 5 3 5 36 tg = d d = 5 3 5 18 Przjmujem następujące przekroje prętów: - da łuku dwuteownik I3 J = 98 cm 4 = 98 1-8 m 4 ; t =,3 m - da ściągu przekrój kołow o średnic d = 4 cm A = 1,57 cm = 1,57 1-4 m A 1 4 =1,57 J 98 1 [ =1,83 1 8 m ] EA=1,83 Obiczam długość ściągu (poszukujem współrzędnej, da której =,5): Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 1,5 = 5 3 5 18 1 =,31 =11,69 s = 1 =11,69,31 =11,38 Ab okreśić sposób iczenia współcznników ik trzeba sprawdzić cz łuk jest kręp, cz wniosł. Ponieważ: = 5 1 1 5 t =,4 1 = 1 5 1 1 nie uwzgędniam w obiczeniach wpłwu sił normanch nie uwzgędniam w obiczeniach wpłwu sił tnącch Zadan łuk jest dwa raz statcznie niewznaczan (SSN = ) raz wewnętrznie i raz zewnętrznie. Pierwszm etapem rozwiązania zadania metodą sił jest przjęcie układu podstawowego 6 kn/m 4,5,5 A X 1 X 1 B C X 6 6 Warunkiem kinematcznej zgodności przjętego układu podstawowego z układem wjściowm jest zerowe zbiżenie punktów A i B i zerowe przemieszczenie pionowe punktu C. AB = v c = (1.47) Równania kanoniczne przjmują postać: AB = X 1 11 X 1 1 P = v c = X 1 1 X P = (1.48) Współcznniki macierz podatności naeż wznaczć całkując odpowiednie unkcje momentów po krzwiźnie łuku: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI ik = S M i M k ds (1.49) Oraz mnożąc odpowiednie unkcje sił normanch w ściągu: ik = N i N k EA d (1.5) W przpadku ściągu siła normana jest stała na całej długości, tak więc całkę możem zastąpić iocznem: ik = N i N k EA s (1.51) Natomiast całkowanie po krzwiźnie łuku zastąpim całkowaniem po współrzędnej. Na podstawie związków geometrcznch: ds d φ d można zapisać: d d =cos ds= ds cos Ostatecznie przemieszczenia obiczam ze wzoru: ik = M i M k cos d N i N k EA s (1.5) Następnie wkonujem wkres momentów od sił jednostkowch przłożonch koejno w miejsca niewiadomch X 1 i X, oraz od obciążenia zewnętrznego. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 3 Stan od obciążenia X1=1 4,5,5,31 X 1 = 1 X 1 = 1 A B 5,69 5,69,31 4,5 M 1 = 1 ( -,5) M 1 Stan od obciążenia X = 4,5,5 A B O O C X = 1 6 6 M M = 1 1 Stan od obciążenia P Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 4 6 kn/m 4,5,5 A O O B C 6 6 34 M P = 36 ( - 3) 18 M P = 3 M P [knm] Całki w łuku obiczane będą metodą Simpsona, w której unkcja jest przbiżana odcinkami paraboi drugiego stopnia. W metodzie tej wartość całki z unkcji () w przedziae (a;b) jest równa sumie: b a = 3 4 1 4 3... n 4 n 1 n (1.53) gdzie: Δ długość odcinków, na które dziei się przedziae (a;b), =n (n musi bć parzste),, 1,..., n wartości unkcji na końcach przedziałów Δ. W naszm przpadku unkcją podcałkową jest wrażenie: = M i M k cos (1.54) Przjmujem: Δ = 1m. Da gęstszego podziału (większe n) dokładność obiczeń jest większa. Da ułatwienia obiczeń wniki umieszczam w tabei (1.1) Tabea 1.1. Zestawienie obiczeń da wznaczenia ij M X Y tg cos w M 1 M M P wm 1 M 1 cos wm M cos wm 1 M cos wm 1 M P cos wm M P cos, 1,6667,5145 1,,,,,,,, 1 1,53 1,3889,5843 4-1,3 1, -3, 7,6 6,84-7,4 1,1 -,5,78 1,1111,669 -,8, -1, 15,54 11,96-13,6 81,7-71,76 3 3,75,8333,768 4-3,5 3, -7, 54,99 46,88-5,76 456,88-41,76 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 5 X Y tg cos w M 1 M M P wm 1 M 1 cos wm M cos wm 1 M cos wm 1 M P cos wm M P cos 4 4,44,5556,874-3,94 4, -48, 35,51 36,6-36,1 433,18-439,8 5 4,86,778,9635 4-4,36 5, -75, 78,9 13,8-9,5 1357,88 1556,8 6 5,, 1, -4,5 6, -18, 4,5 7, -54, 97, 196, 7 4,86 -,778,9635 4-4,36 7, -144, 78,9 3,44-16,7 67,1-4184,68 8 4,44 -,5556,874-3,94 8, -18, 35,51 146,4-7, 164,4-394,6 9 3,75 -,8333,768 4-3,5 9, -16, 54,99 41,76-15,8 3655, -11,8 1,78-1,1111,669 -,8 1, -5, 15,54 98,96 68,1 1716,8-7534, 11 1,53-1,3889,5843 4-1,3 11, -88, 7,6 88,3-77,4 6,3-1687,3 1, -1,6667,5145 1, 1, -34,, 79,89,, -7556,91 suma: 44,94 456,85-748,77 4983,977-19395,4 11 M = 1 3 44,94 ; 1 M =1 3 748,77 ; 1 M = 3 456,85 11 M = 141,96 1 ; 1 M = 49,59 ; 11 M = 818,95 ; Musim obiczć jeszcze ij N. Wpłw sił w ściągu (któr traktujem jako pręt kratownic) na przemieszczenia. Rachunki i wniki umieszczone są poniżej. 11 N = N N 1 1 EA 1 11,38 s =1 11,38 = EA 1,83 =,887 1 N = N 1 N EA s = N = N N EA s = 1 P N = N 1 N P EA s = P N = N N P EA s = Ab obiczć ij uwzgędniając sił w łuku i ściągu, naeż zsumować ij N oraz ij M : 11 = M M 1 1 cos d N N 1 1 EA = 141,696 s,887 = 14,583 1 = M 1 M cos d N N 1 EA s = 49,59 = 49,59 = M M cos d N N EA = 818,95 s = 818,95 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 6 1 P = M M 1 P cos d N N 1 P EA = 4983,977 s = 4983,977 P = M M P cos d N N P EA s = 19395,4 = 19395,4 Obiczone przemieszczenia wstawiam do układu równań kanonicznch { X 1 14,583 X 49,59 4983,977 = X 1 49,59 X 818,95 19395,4 = i wznaczam wartości sił: { X 1 =13,938 [kn ] X =7,931 [kn ] Po otrzmaniu wartości niewiadomch X 1 i X można dokonać anaiz końcowej zadania, czi stworzć wkres rzeczwistch sił wewnętrznch w układzie podstawowm, obciążonm zewnętrznie oraz przez sił X 1 i X. Układ podstawow obciążon zewnętrznie oraz przez sił X 1 i X wgąda następująco 6 kn/m 4,5,5 13,938 kn 13,938 kn A B 6 6 7,931 kn C Wartości poszczegónch momentów zginającch da stanu statcznie niewznaczanego można też obiczć z zasad superpozcji: M P n =M P X 1 M 1 X M (1.55) Ponownie posłużm się tabeą, obiczam wartości momentu zginającego według wzoru (1.53) w każdm punkcie. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 7 Tabea 1.. Zestawienie obiczeń da wznaczenia M ij (n) X Y tg cos M 1 M M P [knm],, 1,6667,5145,,,,31,5 1,586,5347,,31 -,3 1, 1,53 1,3889,5843-1,3 1, -3,,,78 1,1111,669 -,8, -1, 3, 3,75,8333,768-3,5 3, -7, 4, 4,44,5556,874-3,94 4, -48, 5, 4,86,778,9635-4,36 5, -75, 6, 5,, 1, -4,5 6, -18, 7, 4,86 -,778,9635-4,36 7, -144, 8, 4,44 -,5556,874-3,94 8, -18, 9, 3,75 -,8333,768-3,5 9, -16, 1,,78-1,1111,669 -,8 1, -5, 11, 1,53-1,3889,5843-1,3 11, -88, 11,69,5-1,586,5347, 11,69-31,8 1,, -1,6667,5145, 1, -34, X 1 [kn ] X [kn ] 13,94 7,93 M n [knm] 8,3 1,61 1,11 11,49 8,75 3,87-3,13-9,7-11,53-9,9-4,44 4,9 13,63 11,17 Korzstając z wartości zawartch w tabei (1.) możem narsować wkres momentów zginającch da łuku w stanie statcznie niewznaczanm M P (n) [knm] 9,9 11,53 9,7 3,13 4,5,5,31 4,44 4,9 13,63 11,71 3,87 8,75 11,49 1,11 1,61 8,3 5,69 5,69,31 Sprawdzenie kinematczne: W ceu wkonania sprawdzenia kinematcznego posłużm się wzorem redukcjnm: 1 = M n P M cos d N P EA n N s (1.56) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 8 Ab dokonać sprawdzenia musim poiczć znane przemieszczenia w innm układzie podstawowm. Obiczm kąt obrotu przekroju w punkcie D. W tm ceu przkładam tam jednostkow moment wirtuan. W rzeczwistości jest tam utwierdzenie, tak więc wszstkie przemieszczenia są równe zero. 4,5,5 D A B C 1 6 6 Po obiczeniu wartości reakcji możem narsować wkres momentów zginającch od jednostkowego momentu działającego w punkcie D 4,5,5 D 1 1 M () [ - ] 1 A B O O C 1 1 1 6 6 1 M () = 1 Obiczenia umieszczono w tabei: Tabea 1.3. Zestawienie wartości da sprawdzenia kinematcznego X Y tg cos w M P n [knm] M [ ] wm P n M, 1,6667,5145 1,,, 1 1,53 1,3889,5843 4 1,61,8 6,4 cos Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 9 X Y tg cos w M P n [knm] M [ ] wm P n M,78 1,1111,669 1,11,17 6,4 3 3,75,8333,768 4 11,49,5 14,96 4 4,44,5556,874 8,75,33 6,68 5 4,86,778,9635 4 3,87,4 6,68 6 5,, 1, -3,13,5-3,14 7 4,86 -,778,9635 4-9,7,58 -,44 8 4,44 -,5556,874-11,53,67-17,58 9 3,75 -,8333,768 4-9,9,75-38,7 1,78-1,1111,669-4,44,83-11,6 11 1,53-1,3889,5843 4 4,9,9 3,84 1, -1,6667,5145 1 11,17 1, 1,71 Zgodnie ze wzorem (1.51) mam: D M = 1 3,18 D M =,6 1 cos suma:,18 Pracę sił w ściągu obiczam ze wzoru: D M = N n N 13,938 EA s = 11,38= (1.57) 1,83 Biorąc pod uwagę wartości przemieszczenia poiczone od prac sił w łuku i ściągu otrzmujem: 1 D =,6 =,6 Sprawdźm jeszcze iu procentow błąd popełniiśm. W tm ceu zsumujem iczb z ostatniej koumn tabei (1.3) przjmując ich bezwzgędne wartości. M P n M cos =1,71,6 1,71 1 %=,8 % Okazuje się, że zmieściiśm się w umownej granic dopuszczanej jednego procenta. Na tm etapie możem wznaczć już rozkład sił tnącch i normanch w zadanm łuku. Da ułatwienia wkonam rsunki i obiczenia pomocnicze: da przedziału ;,31 da prawej stron: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 3 6 kn/m N φ T 7,887 kn Wznaczenie unkcji sił normanej i tnącej od zmiennej : N = 7,931 sin 6 sin T = 7,931 cos 6 cos da przedziału,31 ;6 da prawej stron: 6 kn/m N φ T 13,794 kn B 7,887 kn C Wznaczenie unkcji sił normanej i tnącej od : N = 7,931 sin 13,938 cos 6 sin T = 7,931 cos 13,938 sin 6 cos da przedziału 6 ;11,69 da prawej stron: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 31 6 kn/m φ N T 13,794 kn B 7,887 kn C Wznaczenie unkcji sił normanej i tnącej od : N =7,931 sin 13,938 cos 6 6 sin T = 7,931 cos 13,938 sin 6 6 cos da przedziału 11,69 ;1 da prawej stron: 6 kn/m T 13,794 kn 13,794 kn A B N φ Wznaczenie unkcji sił normanej i tnącej od : 7,887 kn C Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 3 N =7,931 sin 6 6 sin T = 7,931 cos 6 6 cos Podobnie jak poprzednio da uproszczenia rachunków obiczenia zestawiono w tabei. Tabea 1.4. Zestawienie obiczeń da okreśenia wartości N P (n) i T P (n) X Y tg cos sin N P n [kn ] T P n [kn ],, 1,6667,5145,8575-3,951-14,37,31,5 1,586,5347,8451 -,3-13,939,31,5 1,586,5347,8451-9,484 -,161 1, 1,53 1,3889,5843,8115-5,94-1,53,,78 1,1111,669,7433-1,165 -,97 3, 3,75,8363,768,64-17,65 1,94 4, 4,44,5556,874,4856-14,93 3,333 5, 4,86,778,9635,676-1,876 5,74 6, 5,, 1,, -13,938 8,69 7, 4,86 -,778,9635,676-15,589 4,44 8, 4,44 -,5556,874,4856-16,13,85 9, 3,75 -,8333,768,64-15,873 -,74 1,,78-1,1111,669,7433-15,3-4,96 11, 1,53-1,3889,5843,8115-14,69-6,596 11,69,5-1,586,5347,8451-14,71-7,464 11,69,5-1,586,5347,8451-6,819 4,314 1,, -1,6667,5145,8575-6,919 4,151 Pozostało jeszcze narsowanie wkresów sił wewnętrznch w układzie statcznie niewznaczanm. M P (n) [knm] 9,9 11,53 9,7 3,13 4,5,5,31 4,44 4,9 13,63 11,71 3,87 8,75 11,49 1,11 1,61 8,3 5,69 5,69,31 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater

Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 33 4,5,5 T P (n) [kn] 4,31 + 4,15,31 4,96 + 4,4,8 +,7 + + -6,6-7,46 8,7 + + 5,7 + 3,33 + 1,9 -,3-13,94-14,37-1,5 _ -,16 5,69 5,69,31 _ 4,5,5 N P (n) [kn] _ -1,88 _ -13,49-14,9-15,87-15,59-16,1-17,7-15,3 _ 13,938-1,17 _ + -14,69-5,94-6,8-14,7 _ -9,48 -, -6,9-3,95,31 5,69 5,69,31 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater