( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją
|
|
- Natalia Białek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ..7. Płaskie ramy i łuki paraboiczne Wstęp W bieżącym podpunkcie omówimy kika przykładów zastosowania metody sił do obiczeń sił wewnętrznych w płaskich ramach i łukach paraboicznych statycznie niewyznaczanych, obciążonych w dowony sposób. Przypomnijmy, że wzór okreśający stopień statycznej niewyznaczaności ma w przypadku ramy płaskiej postać gdzie: r iczba składowych reakcji podpór, a iczba obwodów zamkniętych (patrz podpunkt..), "" iczba równań równowagi, n= r+ a g, (..80) g suma przegubów (z uwzgędnieniem ich krotności patrz podpunkt..). Rys...6 Istotnymi eementami ram anaizowanych w niniejszym podpunkcie są łuki paraboiczne, przy czym L jest rozpiętością łuku, a f miarą wyniosłości łuku. W daszym opisie przyjmiemy oznaczenie f η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi paraboicznej, opisanej funkcją ( ) y( ξ ) = 4 L η ξ ξ, (..8) x gdzie ξ = jest zmienną bezwymiarową taką, że ξ [0,] przy x [0, L]. L 0
2 J W anaizie łuków skorzystamy również z oznaczenia µ=, gdzie J oznacza moment bezwładności przekroju łuku, natomiast A jest poem przekroju łuku. Przyjmiemy, że obie wiekości są stałe AL na długości łuku. Wiekość µ charakteryzuje smukłość pręta. Niech δ oznacza dowone przemieszczenie statycznie wyznaczanego układu zastępczego ramy płaskiej z eementami łukowymi powstałe w wyniku działania sił nadiczbowych o wartości jednostkowej w miejscach zwonionych więzów ub w wyniku działania obciążenia zewnętrznego. Przemieszczenie obiczymy, korzystając ze wzoru Maxwea-Mohra δ = M ds+ Nεds R = O S S M α t N = α t M ds M ds N ds N t tds R h EA S S S S O (..8) przy czym: w eementach prostoiniowych mamy ds= dx= Ldξ, w eementach łukowych zachodzi osi łuku w punkcie (, y( )) Ldξ ds=, gdzie ϕ = ϕ( ξ ) jest kątem nachyenia stycznej do cosϕ ξ ξ, (por. rys...6). W anaizie łuków małowyniosłych (tj. przy stosunkowo niewiekich wartościach parametru η) przyjmiemy, że cosϕ oraz ds Ldξ, czyi całkowanie wzdłuż osi łuku S zastąpimy całkowaniem wzdłuż cięciwy łuku. Dodatkowo przyjmiemy, że przemieszczenia ramy wynikające z podłużnych odkształceń prętów prostych pracujących w złożonym stanie sił wewnętrznych ( M 0, N 0 ) są pomijanie małe w stosunku do odkształceń zgięciowych tych eementów. Odkształcenia odpowiadające siłom N uwzgędnimy jedynie w odniesieniu do prętów kratowych anaizowanej ramy i przy równomiernym przyroście temperatury. Rozważania dotyczące zaeżności przemieszczeń łuku paraboicznego od wartości parametrów µ (wpływ sił N) oraz η (wyniosłość) są zamieszczone w podpunkcie.. tego opracowania. Przyjęte we wzorze (..8) założenie o niezaeżności przemieszczeń ramy płaskiej od sił po- L przecznych w prętach prostych jest słuszne, gdy 0, gdzie h jest wysokością przekroju pręta, a h L jego rozpiętością. W łukach założenie to jest dodatkowo ograniczone, (por. podpunkt..). 0
3 Zadanie 9 W pokazanej na rys...64 ramie z prętami kratowymi wyznacz: a) wartość momentu w utwierdzeniu A, b) przemieszczenie poziome punktu B. W obiczeniach przyjmij, że = const. Pręty F-C, A-G, B-D są niewydłużane i nieskracane ( EA ), sztywności prętów F-G i G-B są stałe i wynoszą EA s - pręty te nie będą zginane. Przyjmujemy, że EA = s 0. Rys...64 Przyjmijmy statycznie wyznaczany układ zastępczy pokazany na poniższym rysunku. Rys
4 Przemieszczenia układu zastępczego obiczymy na podstawie wykresów momentów zginających w prętach ramy (ub sił podłużnych w przypadku prętów kratowych) odpowiadających niezaeżnie działającym siłom =, = oraz obciążeniu zewnętrznemu q. Pomijamy wykresy N, N N, 0, gdyż istotne są tyko wartości tych sił na prętach F-G i G-B. Rys...66 Rys...67 Rys
5 Obiczone z wykorzystaniem techniki mnożenia wykresów przemieszczenia δ, δ = δ, δ oraz δ 0, δ 0 wynoszą odpowiednio: δ= [ 5 ] +, 4, 4 6 4,8 4,8 EA + = s = 5 5, 76 46, 08 5,4, + + = 0 δ = δ= 6 4,8 ( 6 ) = 57, 6, δ = [ ] EA = + = 0 44,, s (..8) δ0 = = 4 δ = 0. 0 q 4 4,5q, 4 8,, (..84) Równania zgodności przemieszczeń układu wyjściowego (rys...64) oraz układu zastępczego (rys...65) mają postać δ + δ + δ0 = 0, δ + δ + δ0 = 0. (..85) Rozwiązując układ równań (..85) otrzymamy wartości nadiczbowych = 0, 76 q, = 0, q. (..86) Wykresy M, T, N w ramie wyjściowej znajdziemy anaizując konstrukcję zastępczą z rys...65 poddaną działaniu obiczonych powyżej nadiczbowych oraz obciążenia q. W ten sposób otrzymamy wykresy ostateczne, por. rys
6 Rys...69 Rys...70 Rys
7 Rys...7 Na podstawie wykresu z rys...70 znajdujemy odpowiedź do części a) zadania. Czytenikowi pozostawiamy okreśenie wartości x, x (czy będą one różne?) oraz wartości ekstremanych momentów zginających z rys...70,..7. Obiczenia sprawdzimy, wykorzystując twierdzenie Maxwea-Mohra, przyjmując we wzorze (..8) koejno: M M = M w prętach zginanych oraz N = N w prętach kratowych, = M w prętach zginanych oraz N = N w prętach kratowych i wykorzystując technikę mnożenia wykresów M, N (rys...70) i (rys...7) odpowiednio z wykresami M, N (rys...66) M, N i (rys...67). W ten sposób otrzymujemy S S +,88q.4 q( ), q + q [ q ] + = EAs M N M dx+ N dx= EA S M N M dx+ N dx= EA 4 6 0, 665 4,8 0, , 0 0, S 4 q + 6 0, 665q , 66 6 [ 0, ] 0, q + q = EAs 07 (..87) W rozwiązaniu części b) zadania ponownie skorzystamy ze wzoru Maxwea-Mohra oraz twierdzenia redukcyjnego. W ceu obiczenia poziomego przemieszczenia punktu B ramy statycznie niewyznaczanej obciążamy konstrukcję z rys...64 odpowiednio skierowaną siłą u, por. rys...7.a. Bezpośrednie zastosowanie wzoru Maxwea-Mohra do obiczenia u B wymaga wyznaczenia roz-
8 kładu sił wewnętrznych pochodzących od obciążenia wirtuanego przy użyciu pełnego agorytmu metody sił. Probem obiczenia przemieszczeń konstrukcji statycznie niewyznaczanej w większości przypadków upraszcza się po zastosowaniu twierdzenia redukcyjnego, pozwaającego na okreśenie wirtuanych sił wewnętrznych w konstrukcji o dowonym schemacie statycznie wyznaczanym (por. uwagi pod koniec p...). Poniżej, do wyznaczenia M przyjmiemy układ z rys w ceu uproszczenia obiczeń. Mamy zatem wykres M wyłącznie na słupie B-D (rys...7). a) b) Rys...7 Przemieszczenie u B obiczymy metodą mnożenia wykresów (rys...7.b) i (rys...70) u q 4 q = 7,9 u B = 6 0, 66 6 u B (..88) Zadanie 0 W pokazanej na rys...74 ramie z prętami kratowymi wyznacz siłę podłużną w pręcie AB wywołaną: a) działaniem siły P, b) równomierną zmianą temperatury t. Niech sztywność prętów zginanych wynosi = const i kratowych EA s = const oraz EA = 0. s 08
9 Rys...74 Rys...75 Przyjmijmy siłę podłużną w pręcie A-B jako nadiczbową, zdefiniujmy układ zastępczy (rys...75) i narysujmy wykresy sił wewnętrznych, które posłużą do obiczeń przemieszczeń układu zastępczego Rys
10 Przemieszczenie δ wynosi 6 6 δ= 5 4 6,79, EA + s = 5 5 (..89) natomiast przemieszczenia δ 0 P, 0 t δ wywołane działaniem obciążeń zewnętrznych są równe 5 6 P δ0 = 5 P P EA s P + 4 P 4 P 4, 6, + = t δ0 = αt t=,6 αt t. 5 (..90) Nadiczbowa przyjmuje przy obciążeniu statycznym (siłą P) wartość P P δ0 = = 0,847P (..9) δ t oraz przy obciążeniu równomiernym przyrostem temperatury t δ α t t = = 0, 4. (..9) t 0 t δ Wykresy momentów zginających i sił podłużnych powstałych w wyniku działania obciążenia statycznego i termicznego pokazano poniżej. 0
11 Rys...77 Rys...78 Obiczenia sprawdzamy wykorzystując wzór Maxwea-Mohra, przyjmując M = M, N = N we wzorze (..8). W ten sposób otrzymujemy S M N M dx+ N dx= EA S s + 4 0, 8P 4 0,8P , 74P 5 ( 0,847P) 5 ( 0,P) 0,588P + EA + + s 5 = P = 0, (..9)
12 M N M dx+ N dx+ Nα tdx= EA S S s S αtt = 4 0, αtt 6 αtt + 5 0,4 0, 57 EA + s α t t+= 0,004 αt t ~ 0 5 t (..94) Zadanie W przedstawionej na rys...79 ramie z prętem kratowym wyznacz wykresy sił przekrojowych wywołanych obciążeniem P. W obiczeniach przyjmij, że = const, EA s = const oraz EA = s 5. Rys...79 Przyjmijmy statycznie wyznaczany układ zastępczy pokazany na rys Rys...80
13 Narysujmy wykresy momentów zginających w prętach zginanych oraz wyznaczmy wartości siły podłużnej w pręcie kratowym, pochodzące od niezaeżnie działających sił =, = oraz obciążenia zewnętrznego P. Rys...8 Rys...8 Rys...8 Przemieszczenia δ, δ = δ, δ oraz δ 0, δ 0 obiczamy na podstawie wykresów (rys...8 rys...85) wykorzystując technikę mnożenia wykresów. Otrzymujemy w ten sposób następujące współczynniki:
14 δ= 650, 67, δ = δ= 76, δ = 5,6, (..95) P δ0 = 0, P δ0 =,. (..96) Równania zgodności przemieszczeń układu wyjściowego (rys...79) oraz układu zastępczego (rys...80) mają postać δ + δ + δ0 = 0, δ + δ + δ0 = 0, (..97) skąd możemy wyznaczyć nadiczbowe = 0, 046 P, = 0, 657 P. (..98) Wykonanie rysunków sił wewnętrznych w układzie wyjściowym oraz sprawdzenie obiczeń pozostawiamy Czytenikowi. Zadanie W pokazanej na rys...84 ramie z prętami kratowymi wyznacz wykres momentów zginających. W obiczeniach przyjmij = const, EA s = const oraz EA = s 5. 4
15 Rys...84 Wobec symetrii zadania, układ wyjściowy z rys możemy zastąpić zmodyfikowanym układem zredukowanym z odpowiednio dobranym warunkiem brzegowym na osi symetrii, tzw. schematem połówkowym na podstawie którego przyjmiemy schemat zastępczy przedstawiony na rys Rys
16 Rys...86 Narysujmy wykresy sił wewnętrznych niezbędne do daszych obiczeń. Rys...87 Rys
17 Rys...89 Przemieszczenia układu zastępczego wywołane działaniem sił jednostkowych i obciążenia zewnętrznego obiczamy na podstawie wykresów M, M, N, M 0 i otrzymujemy: δ= 5, 6, δ = δ= 4,95, δ = 5, 4, (..99) P δ0 = 5,05, P δ0 =, 489. (..00) Z rozwiązania układu zgodności przemieszczeń otrzymujemy wartości nadiczbowych = 0, 70 P, = 0, 7 P. (..0) Następnie, korzystając ze wzoru superpozycyjnego M = M+ M + M 0, wyznaczamy wykres momentów zginających i wartości sił normanych w prętach kratowych w układzie wyjściowym. 7
18 Rys...90 Proponujemy Czytenikowi samodziene sporządzenie wykresu sił poprzecznych i sprawdzenie obiczeń. Zadanie W ramie pokazanej na rys...9 wyznacz wykres momentów zginających wywołanych obciążeniem geometrycznym. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów wynosi = const. Rys...9 W rozwiązaniu skorzystamy z możiwości reprezentacji dowonego obciążenia jako sumy części antysymetrycznej i symetrycznej: a) Rys...9 8
19 Łatwo zauważyć, że antysymetryczna część obciążenia geometrycznego (rys...9.a) działającego na konstrukcję jest ruchem sztywnym, a więc nie powodującym powstania sił wewnętrznych w prętach ramy. W związku z tym, do rozwiązania zadania wystarczy przyjąć symetryczną część obciążenia z rys...9.b. Wprowadźmy uwzgędniający symetrię konstrukcji i obciążenia układ zredukowany do połowy ramy (rys...9), w którym przyjmiemy nadiczbowe według schematu przedstawionego na rys Rys...9 Rys...94 Obiczenia wykonamy na podstawie wykresów momentów zginających w stanach obciążenia układu zastępczego nadiczbowymi o wartościach = oraz =. 9
20 Rys...95 Rys...96 Wykorzystując technikę mnożenia wykresów obiczymy wartości przemieszczeń spowodowanych działaniem momentów jednostkowych δ= 78,555, δ = δ=,, δ = 7, 667, (..0) a przemieszczenia spowodowane działaniem obciążenia zewnętrznego okreśimy ze wzoru Maxwea-Mohra jako 7 7 δ0 = δ0 =, 6 (..0) δ0 = δ 0 =. Nadiczbowe wyznaczamy z rozwiązania układu równań zgodności przemieszczeń układu wyjściowego i zastępczego. Wynoszą one 0
21 = 0, 0, = 0, 096. (..04) Poszukiwany wykres momentów zginających połowę ramy ma zatem postać przedstawioną na rys Rys...97 Sprawdzenie obiczeń wymaga ponownego skorzystania z twierdzenia Maxwea-Mohra. Proponujemy Czytenikowi samodziene wykonanie tego kroku agorytmu metody sił. Zadanie 4 W konstrukcji łukowej z rys...98 wyznacz wykresy momentów zginających pochodzących od: a) obciążenia statycznego, b) obciążenia geometrycznego. W obiczeniach przyjmij, że sztywność łuków na zginanie jest stała i wynosi. Rys...98
22 Zauważmy, że rama jest symetryczna o sztywnych węzłach B i C, z zaznaczoną na rys...98 osią symetrii przecinającą środkowy łuk w punkcie o maksymanej wyniosłości (tj. w kuczu łuku). Anaizując tego typu przypadki nie będziemy wprowadzać schematów zredukowanych do połowy ramy. Zamiast tego, przyjmiemy układ zastępczy z tzw. niewiadomą grupową. Rys...99 Narysujmy wykres momentów zginających w stanie = (przyjmiemy konwencję odnoszenia wykresów momentów zginających do cięciwy łuku) Rys...00 Da wszystkich łuków mamy η = 0, 5, a rozwiązanie zadania wymaga okreśenia sumy wzajemnych kątów obrotu przekrojów w punktach zaczepienia nadiczbowych. Wykresy momentów zginających pochodzących od obciążenia = oraz od obciążenia P (rys...0) są prostoiniowe (. rodzaj obciążenia w Tabei.., podpunkt..). W związku z tym, do daszych obiczeń przyjmiemy założenie o małej wyniosłości pomijając jednocześnie wpływ sił podłużnych na przemieszczenia łuku zastępczego. A zatem, przemieszczenie δ obiczamy korzystając z techniki mnożenia wykresów, dopuszczanej w przypadku anaizy łuków mało wyniosłych i otrzymujemy 5 δ= + =. (..05) Rozwiązanie części a)
23 Rys...0 Narysujmy wykres momentów zginających pochodzących od obciążenia zewnętrznego siłą P i obiczmy przemieszczenie δ 0 P δ0 = P. = 4 8 (..06) Wartość nadiczbowej wynosi zatem δ = = = 0, 075, (..07) 0 δ 40 P P a wykres M odpowiadający obciążeniu statycznemu ma postać pokazaną na poniższym rysunku. Rys...0 Rozwiązanie części b) Przemieszczenie δ 0 odpowiadające obciążeniu geometrycznemu jest równe wo δ0 = wo δ0 =, (..08)
24 a więc nadiczbowa przyjmuje wartość 6 w = o. (..09) 5 Wykonanie rysunku M da tego przypadku obciążenia oraz sprawdzenie obiczeń w obu częściach zadania pozostawiamy Czytenikowi. Zadanie 5 W ramołuku pokazanym na rys...0 wyznacz wykres momentów zginających. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi. Rys...0 Przyjmijmy układ zastępczy da schematu zredukowanego do połowy ramy (rys...04) i narysujmy wykresy momentów zginających w poszczegónych stanach obciążenia (rys ). Rys
25 Rys...05 Wykres M wzdłuż osi łuku jest dany wzorem M ( ξ ) = ξ, x ξ =, (..0) Rys...06 natomiast wykres M wzdłuż łuku jest okreśony funkcją M ( ξ ) = ξ. (..) 5
26 Rys...07 Wykres M 0 przedstawiono na rys...07; na łuku wykres ten jest dany funkcją M 5 0( ξ ) = ξ ξ P. (..) Zauważmy, że da parametr wyniosłości łuku wynosi η = 0,67 (por. rys...0). Wykresy momentów zginających pochodzących od obciążeń =, = są prostoiniowe, natomiast wykres pochodzący od obciążenia zewnętrznego jest opisany funkcją drugiego stopnia (por.. i. rodzaj obciążenia w Tabei..., podpunkt..). W związku z tym, do daszych obiczeń przyjmiemy założenie o małej wyniosłości i pominiemy wpływ sił podłużnych na przemieszczenia łuku w ramie zastępczej. Przemieszczenia układu zastępczego spowodowane działaniem obciążeń obiczamy korzystając z techniki mnożenia wykresów i otrzymujemy: oraz δ= 4, δ = δ=, δ = 4, 7655, P δ0 = 4, P δ0 =, 65. (..) (..4) 6
27 Nadiczbowe wyznaczone z układu równań zgodności przemieszczeń układu wyjściowego i zastępczego wynoszą = 0,9 P, = 0, 68 P. (..5) a wykres momentów zginających pokazano na rysunku poniżej. Rys...08 Funkcja opisująca moment zginający na łuku jest okreśona równaniem ( ) M ( ξ ) = ξ, ξ P. (..6) Czytenikowi pozostawiamy sprawdzenie obiczeń. Zadanie 6 W ramołuku pokazanym na rys...09 wyznacz wykresy sił przekrojowych wywołanych nierównomiernym wzrostem temperatury t w łuku. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi = const. Rys
28 Przyjmijmy układ zastępczy jak na rys...0. Rys...0 Równanie łuku w przyjętym układzie współrzędnych ma postać Widzimy, że: x y( ξ ) = 4 ξ ( ξ ), ξ =. (..7) 6 przemieszczenie δ jest wzajemnym poziomym przesunięciem punktów przyłożenia sił wywołanych działaniem sił jednostkowych przyłożonych w tych samych punktach, przemieszczenie δ ( δ ) = jest wzajemnym poziomym przesunięciem punktów przyłożenia sił wywołanych działaniem sił jednostkowych przyłożonych w punktach działania sił, przemieszczenie δ 0 jest wzajemnym poziomym przesunięciem punktów przyłożenia sił wywołanych działaniem obciążenia t. Sens wiekości δ, δ 0 jest anaogiczny. Anaizując czwarty wiersz Tabei... w podpunkcie... dochodzimy do wniosku, że wobec η = 0,67, obiczenie każdego z tych przemieszczeń możemy przeprowadzić przy założeniu małej wyniosłości łuku. Wykresy momentów zginających odpowiadające poszczegónym stanom obciążenia układu zastępczego siłami jednostkowymi mają postać przedstawioną na rys... przy czym na łuku funkcja momentu zginającego dana jest wzorem M ( ξ ) = 4 ξ ( ξ ) = y( ξ ). (..8) Rys... 8
29 Rys... Funkcja M (ξ) zapisana wzorem (..8) jest funkcją drugiego stopnia, a więc w obiczeniu przemieszczenia δ wykorzystamy całkowanie anaityczne wzdłuż cięciwy łuku. Pozostałe przemieszczenia obiczymy stosując technikę mnożenia wykresów. Otrzymamy w ten sposób współczynniki oraz δ= M ( ξ )6 dξ = 69,98, 0 δ = δ=, 78, + = δ =, 78, + = 4 α t t αt t δ0 = 6 = 4, h h δ = 0. 0 (..9) (..0) Z warunku zgodności przemieszczeń układu wyjściowego z rys i układu zastępczego z rys...0. otrzymujemy Sprawdzenie obiczeń pozostawiamy Czytenikowi. αt t = 0, 08, h (..) α t t = 0, 08. h Zadanie 7 9
30 W ramołuku pokazanym na rys... wyznacz wykres momentów zginających oraz kąt obrotu ψ A w przekroju łuku w sąsiedztwie przegubu A, pochodzące od równomiernego obciążenia temperaturą t. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku. Rys... Przyjmijmy następujący statycznie wyznaczany układ zastępczy: Rys...4 Narysujmy wykres momentów zginających w stanie obciążenia siłą = (rys...5). Rys...5 Na łuku mamy M ( ξ ) = y ( ξ ) = 4 ηξ ( ξ ) = ξ ( ξ ) (..) 0
31 Wobec dość znacznej wyniosłości łuku ( η = 0, 5) przemieszczenie δ obiczymy jako δ= + M ( ξ ) ( ξ ) dξ 0,9 + = (..) 0 por.. rodzaj obciążenia w Tabei..., podpunkt... W obiczeniach przemieszczeń spowodowanych równomiernym obciążeniem termicznym wyniosłość łuku nie ma znaczenia, a więc otrzymujemy Z warunku zgodności przemieszczeń otrzymujemy δ0 = αt t. (..4) αt = 8, 40. (..5) Wykonanie pozostałych kroków agorytmu zostawiamy Czytenikowi. Nadiczbowa obiczona przy założeniu małej wyniosłości przyjmuje wartość αtt = 8,57, a więc wzgędny błąd obiczenia nadiczbowej wynosi.4 %. Wpływ wynio- słości eementu łukowego na obiczenia wiekości statycznych jest w tym przypadku pomijanie mały, ponieważ podatność prętów prostych na zginanie jest dość znaczna w porównaniu z podatnością łuku pod wpływem obciążenia =, por. (..). Obiczenie kąta obrotu ψ A wymaga wprowadzenia jednostkowego obciążenia wirtuanego i obiczenia momentów zginających w tym stanie obciążenia Rys...6 a zatem wartość ψ A wynosi gdzie ψ A = M ( ξ ) M ( ξ ) + ( ξ ) dξ = 0,764α t t, (..6) 0 αtt M ( ξ ) = 8, 40 ξ ( ξ ) (..7)
32 oraz M ( ξ ) = ξ. (..8) Przyjmując założenie o małej wyniosłości łuku otrzymamy ψ = 0, 74 α, czyi wzgędny błąd A obiczeń wynosi 6,5%. Widać więc, że wyniosłość łuku ma w tym wypadku istotne znaczenie. t t Zadanie 8 W ramołuku pokazanym na rys...7 wyznacz wykres momentów zginających. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi. Rys...7 Rys...8 Wprowadźmy statycznie wyznaczany układ zastępczy z rys...8 przy czym, z uwagi na symetrię ramołuku, przed przystąpieniem do daszych obiczeń możemy założyć, że = 0. W przeciwnym przypadku i wobec symetrii wykresów M, M, M 0 (por. rys...9,..0...), wykres momentów zginających ramę z rys...7 wyznaczony ze wzoru superpozycyjnego M = M+ M + M byłby asymetryczny. Wykresy niezbędne do daszych obiczeń pokazano na rys...9-.
33 Na łukach zapisujemy funkcję: x gdzie η =, ξ =. 6 6 Rys...9 M ( ξ ) = y ( ξ ) = 4 η 6 ξ ( ξ ), (..9) Rys...0 Rys... W świete rozważań zamieszczonych w podpunkcie..., łuki możemy potraktować jako mało wyniosłe, więc w obiczeniach przemieszczeń δ = δ, δ, δ 0, δ 0 skorzystamy z techniki mnożenia wykresów. Wyznaczając przemieszczenie δ zastosujemy całkowanie anaityczne wzdłuż cięciwy łuku, ponieważ M (ξ) jest funkcją drugiego stopnia. Otrzymamy w ten sposób
34 oraz δ= 4, 067, δ = δ= 60, δ = 7, P δ0 = 7, P δ0 = 6. (..0) (..) Wartości nadiczbowych obiczamy z warunków zgodności przemieszczeń układu wyjściowego z układem zastępczym i otrzymujemy = 0, P, = 0,7 P. (..) Szczegółowe obiczenia przemieszczeń we wzorach (..0), (..) i wykonanie pozostałych kroków agorytmu metody sił pozostawiamy Czytenikowi. Zadanie 9 W ramołuku pokazanym na rys... wyznacz wykres momentów zginających i kąt obrotu przekroju łuku w przekroju A. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuków i wynosi. Ponadto przyjmij, że pręty proste są nieodkształcane podłużnie. Rys... 4
35 Ramołuk jest obciążony antysymetrycznie, przy czym oś antysymetrii konstrukcji pokrywa się z osią środkowego pręta ramy. Do rozwiązania przyjmiemy układ zredukowany do połowy ramy. Nastepnie, skrajny pręt kratowy zastąpimy podporą przesuwną, niepodatną w kierunku pionowym. Taka zamiana jest dopuszczana jedynie przy założeniu o podłużnej nieodkształcaności zastępowanego pręta. Jednocześnie, działające na skrajny pręt obciążenie równomierne zastąpimy siłą skupioną w punkcie łączenia pręta z łukiem. Obciążenie działające na pręt eżący na osi antysymetrii ramy oraz sztywność tego pręta również zredukujemy do połowy. W wyniku tych działań otrzymamy na układ zredukowany pokazany na rys.... Rys... Układ zastępczy przyjmiemy w postaci przedstawionej na rys...4. Rys...4 Równania osi łuków w układach współrzędnych z rys...4 wyrażają się równaniami oraz y ( ξ ) = 4 ηξ ( ξ ), t ξ =, η = (..) 5
36 t y( ξ ) = 4 ηξ ( ξ ), ξ =, η =. (..4) 6 Narysujmy wykresy momentów zginających w poszczegónych stanach obciążenia układu zastępczego, zapisując funkcje momentów zginających na łukach: M ( ξ ) ξ = (..5) Rys...5 Rys...6 M ( ξ ) = q y ( ξ ). (..6) o Przed obiczeniem przemieszczeń δ, δ 0 (wzajemnych obrotów przekrojów, w których działa obciążenie ) zwróćmy uwagę na to, że wyniosłości łuków wynoszą odpowiednio η = 0,, η = 0,67. Na podstawie Tabei... w podpunkcie... (. typ obciążenia) stwierdzamy, że łuk 6
37 . nie może być traktowany jako małowyniosły, co wiąże się z wprowadzeniem pod całkę wyrażenia cos ϕ( ξ ) = 6 η ( ξ ). Otrzymujemy zatem: oraz 6 δ= M ( ) ( ) d 0, 764 ξ + ξ ξ+ = (..7) 9 0 δ ξ ξ ξ ξ 6 q 0 = M( ) M0( ) ( ) d q 0, = (..8) Wartość nadiczbowej wynosi δ 0 = = 0,4q, (..9) δ a wykres momentów zginających ramę statycznie niewyznaczaną ma postać pokazaną na rysunkach poniżej. Rys...7 Na łukach obowiązują funkcje 4 M( ξ ) = 0, 4 q ξ q ξ ( ξ ) (..40) oraz M ( ξ ) = 0,4 q ξ q ξ ( ξ ) (..4) Sprawdzenie obiczeń pozostawiamy Czytenikowi. 7
38 Dodajmy, że przy założeniu o małej wyniosłości łuku nr. otrzymaibyśmy δ = 0,667, 0 0,67 q δ =, = 0, 5q, a więc wzgędny błąd obiczeń wymienionych trzech wiekości wyniósłby odpowiednio,7 %, 9,4% oraz,7%. Przemieszczenie ψ A obiczymy korzystając z twierdzenia redukcyjnego. Przyjmijmy obciążenie wirtuane i narysujmy wykres momentów zginających (rys...8). Rys...8 Na łuku mamy obowiązuje funkcja M ( ξ ) = ( ξ ) (..4) Szukane przemieszczenie wynosi zatem 6 q ψ A = M ( ξ ) M( ξ ) ( ξ ) dξ 0, =. (..4) 9 0 Przyjęcie założenia o małej wyniosłości obu łuków prowadzi do wzgędny błąd obiczeń ψ A wynosi 5,%. q ψ A = 0, 06944, a więc Zadanie 0 Obicz poziomą składową reakcji podpór łuku mało wyniosłego o stałym przekroju, poddanego działaniu nierównomiernego obciążenia termicznego t. Rys...9 8
39 Przyjmijmy układ zastępczy pokazany na rys...0. Rys...0 Na podstawie rozważań zamieszczonych w p...., łuk możemy traktować jako mało wyniosły. Jednocześnie zauważmy, że nie możemy pominąć wpływu sił podłużnych w obiczeniach przemieszczenia δ. Na podstawie (..7), (..9) wyznaczamy oraz 8 5 δ= η + µ (..44) αt t δ0 = η. (..45) Poszukiwana wartość składowej poziomej reakcji podpór łuku wynosi zatem 5 α t t = 4 h η 5. (..46) + µ 8 5 Ostatecznie, da η = oraz µ 0 =, por. (..), otrzymujemy 0 η αt t = 0, 5. (..47) h Pominięcie wpływu sił podłużnych na wartość δ (tj. przyjęcie µ = 0we wzorze (..46)) prowa- α t t dzi do =,5, a więc wzgędny błąd obiczeń wynosi 8,75%. h 9
Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
Bardziej szczegółowo5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
Bardziej szczegółowoCzęść 2 8. METODA CROSSA 1 8. METODA CROSSA Wprowadzenie
Część. ETOA CROSSA 1.. ETOA CROSSA.1. Wprowadzenie etoda Crossa pozwaa w łatwy sposób okreśić wartości sił wewnętrznych w układach niewyznaczanych, jednak dokładność obiczeń zaeży od iczby przeprowadzonych
Bardziej szczegółowoSił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł
echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami
Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych
Bardziej szczegółowoLinie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej
Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też
Bardziej szczegółowoCzęść ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1
Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna
Bardziej szczegółowo2ql [cm] Przykład Obliczenie wartości obciażenia granicznego układu belkowo-słupowego
Przykład 10.. Obiczenie wartości obciażenia granicznego układu bekowo-słupowego Obiczyć wartość obciążenia granicznego gr działającego na poniższy układ. 1 1 σ p = 00 MPa = m 1-1 - - 1 8 1 [cm] Do obiczeń
Bardziej szczegółowoZ1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych
Bardziej szczegółowo1. Obciążenie statyczne
. Obciążenie statyczne.. Obliczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności n = Σ ϕ + Σ = + = p ( ) Σ = w p + d u = 5 + 5 + 0 0 =. Schemat podstawowy metody przemieszczeń . Schemat odkształceń łańcucha
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Bardziej szczegółowo2P 2P 5P. 2 l 2 l 2 2l 2l
Przykład 10.. Obiczenie obciażenia granicznego Obiczyć obciążenie graniczne P gr da poniższej beki. Przekrój poprzeczny i granica pastyczności są stałe. Graniczny moment pastyczny, przy którym następuje
Bardziej szczegółowoNOŚNOŚĆ GRANICZNA
4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie
Bardziej szczegółowo6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
Bardziej szczegółowoRozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2
Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Bardziej szczegółowoMechanika Analityczna i Drgania
Mechanika naityczna i rgania Zasada prac przygotowanych dr inż. Sebastian akuła Wydział nżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Mechaniki i Wibroakustyki mai: spakua@agh.edu.p dr inż. Sebastian akuła
Bardziej szczegółowoLaboratorium Dynamiki Maszyn
Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
Bardziej szczegółowoUwaga: Linie wpływu w trzech prętach.
Zestaw nr 1 Imię i nazwisko zadanie 1 2 3 4 5 6 7 Razem punkty Zad.1 (5p.). Narysować wykresy linii wpływu sił wewnętrznych w przekrojach K i L oraz reakcji w podporze R. Zad.2 (5p.). Narysować i napisać
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoProjekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
Bardziej szczegółowoPodpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA
POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS
Bardziej szczegółowoObliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład echaniki Budowli Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Rama Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Oblicz i wykonać
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoRozwiązanie stateczności ramy MES
Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiążemy stateczność ramy pokazanej na Rys.. λkn EA24.5 kn EI4kNm 2 d 5,r 5 d 6,r 6 2 d 4,r 4 4.m e e2 d 3,r 3 d,r X d 9,r 9 3 d 7,r 7 3.m d 2,r 2 d 8,r 8 Y Rysunek
Bardziej szczegółowo2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:
adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,
Bardziej szczegółowo1. METODA PRZEMIESZCZEŃ
.. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Dla ramy przestrzennej przedstawionej na rys. 1 wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił wewnętrznych. DANE
4. Obiczanie sił wewnętrznych w ramach płaskich i przestrzennych. Sporządzanie wykresów 4.1 Zadanie 1. Da ramy przestrzennej przedstawionej na rys. 1 wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił wewnętrznych.
Bardziej szczegółowoNarysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. 3ql
Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. q l Określamy stopień statycznej niewyznaczalności: n s = r - 3 - p = 5-3 - 0 = 2 Przyjmujemy schemat podstawowy: X 2 X Zakładamy do obliczeń,
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI 11
Oga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech awłowski, Michał łotkowiak, Krzysztof Tymper Konsutacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI oznań / MECHANIKA BUDOWLI rzykład iczbowy: Dana beka, po której porusza
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr
Bardziej szczegółowoPrzykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1
Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 Schemat analizowanej ramy Analizy wpływu imperfekcji globalnych oraz lokalnych, a także efektów drugiego rzędu
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład
Bardziej szczegółowoPrzykład 1.9. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego metodą kinematyczną
Przykład.9. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego metodą kinematyczną Anaizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne da zadanych wartości przekrojów prętów A [m ] i napręŝeń
Bardziej szczegółowo1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu... Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] Strona:1 2. Ustalenie stopnia
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoMetody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii
Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład
Bardziej szczegółowo3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy
Bardziej szczegółowoZADANIA - POWTÓRKA
Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 5. 5. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie W ramie przedstawionej na rys 5. obliczyć kąt obrotu przekroju w punkcie K oraz obrót cięciwy RS. W obliczeniach można pominąć wpływ sił normalnych
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoAl.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowoZ1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej
Bardziej szczegółowo3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ
3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie
Bardziej szczegółowoWstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy
Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.
Ewa Kloczkowska, KBI 1, rok akademicki 006/007 Ćwiczenie nr 3 Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Dla układu prętowego przedstawionego na rysunku naleŝy: 1) Obliczyć i wykonać wykresy
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Siła skupiona Mechanika teoretyczna Wykłady nr 5 Obliczanie sił wewnętrznych w belkach przykłady 1 2 Moment skupiony Obciążenie ciągłe równomierne 3 4 Obciążenie ciągłe liniowo zmienne Obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 4
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoKatedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI
Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI
Bardziej szczegółowoOlga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością
Bardziej szczegółowoALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia
LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE RĘTÓW ŚCISKANYCH 8.1. Ce ćwiczenia Ceem ćwiczenia jest doświadczane wyznaczenie siły krytycznej pręta ściskanego podpartego przegubowo na obu
Bardziej szczegółowoSPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM
LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA
Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu
Bardziej szczegółowoPraca siły wewnętrznej - normalnej
Praca siły wewnętrznej - normanej Uzyskujemy ostatecznie: L L 1 1 1 N N s N EA N EA Gzie ostatni wzór pokazuje pracę sił normanych w całym pręcie (przypomnienie z poprzeniego wykłau) Ważna ygresja Współczynnik
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium
Bardziej szczegółowoZgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 3 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopieo statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
Bardziej szczegółowo7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
7. WYZNCZNIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W ELKCH Zadanie 7.1 Dla belki jak na rysunku 7.1.1 ułożyć równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy. Dane: q, a, M =. Rys.7.1.1 Rys.7.1. W zależności od rodzaju podpór
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
Bardziej szczegółowoRysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku..
rzykład 10.. Łuk obciążony ciężarem przęsła. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, którego oś ma kształt części półokręgu. Łuk obciążony jest ciężarem własnym. Zakładamy, że prawe przęsło łuku jest nieporównanie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl
MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Bardziej szczegółowoDla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek
Bardziej szczegółowo{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.
Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI LINIE WPŁYWU BELKI CIĄGŁEJ
Zadanie 6 1. Narysować linie wpływu wszystkich reakcji i momentów podporowych oraz momentu i siły tnącej w przekroju - dla belki. 2. Obliczyć rzędne na wszystkich liniach wpływu w czterech punktach: 1)
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 6 Kratownice
ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja
Bardziej szczegółowo1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH
5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1.1 naliza kinematyczna podstawowe definicje Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza sztywna. Jest
Bardziej szczegółowo8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH 1 8. 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH 8.1. Analiza kinematyczna płaskiego układu tarcz sztywnych. Układy statycznie
Bardziej szczegółowoTra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m
Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej
Bardziej szczegółowo1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk)
Zaprojektować słup ramy hali o wymiarach i obciążeniach jak na rysunku. DANE DO ZADANIA: Rodzaj stali S235 tablica 3.1 PN-EN 1993-1-1 Rozstaw podłużny słupów 7,5 [m] Obciążenia zmienne: Śnieg 0,8 [kn/m
Bardziej szczegółowoTreść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Instrukcja przygotowania i realizacji scenariusza dotyczącego ćwiczenia 6 z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka
Bardziej szczegółowoWykresy momentów gnących: belki i proste ramy płaskie Praca domowa
ODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (OWYM) Wykresy momentów gnących: beki i proste ramy płaskie raca domowa Automatyka i Robotyka, sem. 3. Dr inŝ.. Anna Dąbrowska-Tkaczyk LITERATURA 1. Lewiński J., Wiczyński
Bardziej szczegółowoWprowadzanie zadanego układu do
Wprowadzanie zadanego układu do programu ROBOT w celu rozwiązania MP 1. Ustawienie preferencji zadania WYMIARY Narzędzia -> Preferencje zadania SIŁY INNE MATERIAŁY Najpierw należy dodać, a potem kliknąć
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram
ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram Wykresy N i Q Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i dolnej stronie
Bardziej szczegółowo5. Indeksy materiałowe
5. Indeksy materiałowe 5.1. Obciążenia i odkształcenia Na poprzednich zajęciach poznaliśmy różne możliwe typy obciążenia materiału. Na bieżących, skupimy się na zagadnieniu projektowania materiałów tak,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoZadanie: Narysuj wykres sił normalnych dla zadanej kratownicy i policz przemieszczenie poziome węzła G. Zadanie rozwiąż metodą sił.
Zadanie: Narysuj wykres sił normalnych dla zadanej kratownicy i policz przemieszczenie poziome węzła. Zadanie rozwiąż metodą sił. P= 2kN P= 2kN Stopień statycznej niewyznaczalności: n s l r l pr 2 w 6
Bardziej szczegółowoTarcie poślizgowe
3.3.1. Tarcie poślizgowe Przy omawianiu więzów w p. 3.2.1 reakcję wynikającą z oddziaływania ciała na ciało B (rys. 3.4) rozłożyliśmy na składową normalną i składową styczną T, którą nazwaliśmy siłą tarcia.
Bardziej szczegółowoObliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Bardziej szczegółowoWyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą
Bardziej szczegółowoCzęść 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BŁĘDY MONTAŻU W RÓWNANIU b a = b c. a= bd b c. t g h. t d. h g = 1 2. = t g t d 2
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 1 5. 5. TEMPERTUR, SIDNI PDPÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU PRCY WIRTULNEJ 5.1. Wpływ temperatury Działanie temperatury ma istotny wpływ na odkształcanie
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoPRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU
PROGRAM WALL1 (10.92) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania głębokości posadowienia ścianek szczelnych. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do wyznaczanie minimalnej
Bardziej szczegółowo