ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR

Transkrypt

1 ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA w semestrze zimowm Teoria zbiorów funkcje. Podać interpretację geometrczną zbiorów: A B jeżeli A = i B = A B X = X X X gdzie X = gdzie A= { : } B = d) { } e) { } {. } Znaleźć dziedzin następującch funkcji: = + + = = arcsin Zbadać parzstość (nieparzstość) następującch funkcji: sin = = a a = +. Niech funkcje f ( ) i g( ) będą zadane następująco: + dla < f ( ) = dla = + + dla > dla < g dla dla ( ) = [ ) narsować wkres obu funkcji sprawdzić cz funkcje f ( ) oraz g( ) są różnowartościowe wznaczć f oraz g. Znaleźć funkcje z którch utworzone są funkcje złożone określone wzorami: f ( ) ( ) = + + ( ) + g =

2 Obliczć: h( ) ( tg ) = sin log. arcsin arcsin+ arctg arctg ( ) arccos + arc arcsin 7 arccos + arctg tg π arctg. 8 tg ( ) Rachunek różniczkow fukncji jednej zmiennej. Zapisać prz pomoc kwantfikatorów definicje pojęć: a n n = a n = n Korzstając z odpowiedniej definicji wkazać że: = n n n+ = 6 n 5n+ ( n ) n = Zbadać cz istnieją następujące granice i obliczć te które istnieją: n + n+ n 5 n + n ( n )( n+ )( n+ ) n + n n n n n d) + + n n n n n n e) ( sin n sin n) n n a + f) sin n n g) n + n n n h) n n n n+ i) n + n n +

3 Obliczć granice: sin 5 e) g) i) tg5 ctg π 8 5 e e sin Obliczć granice niewlaściwe: d) f) h) sin sin ctg π ctg ctg ( ) + ( ) sin + + ( ) Obliczć granice: d) e) ( ) f) + W podanch punktach obliczć granice jednostronne danch funkcji i rozstrzgnąć cz funkcje te mają granice w tch punktach: ( ) ( ) ( ) f = e wpunkcie = f = + wpunkcie = f = arctg wpunkcie =.

4 Wznaczć punkt nieciągłości funkcji + sin = = = d) = tg e) = arctg f) = g) + = oraz określić rodzaj nieciągłości w tch punktach. Dla jakich wartości a funkcja f ( ) będzie funkcją ciągłą w ( ) f ( ) a dla < = log dla? f ( ) f ( ) + 8 dla = ( dla > = a dla > 5 dla Dobrać a Rtak ab funkcja + dla f ( ) = a dla = bła ciągła dla wszstkich R f = sin jest nieokreślona dla f bła ciągła w punkcje =. Funkcja ( ) funkcja ( ) =. Określić wartość f ( ) tak ab Wkorzstując własności funkcji cciągłch wkazać że równanie najmniej jeden pierwiastek zawart międz i. 5 = ma co Wkazać że równanie e = ma pierwiastek w przedziale.

5 Obliczć granice: e arccos sin sin arctg. Na podstawie definicji znaleźć wzór na pochodną funkcji: = = = + d) = + e) = f) = + 5 Napisać równanie stcznej do linii = w punkcie =-. Pod jakim kątem linia = sin przecina oś OX? Dla funkcji ( ) = + obliczć ' ( ) ' ( ) Pokazać że pochodna funkcji f ( ) 5 + = jest funkcją parzstą. Znaleźć punkt w którch następujące funkcje nie posiadają pochodnch: = + = + Wniki zilustrować rsunkiem. Obliczć pochodne następującch funkcji: ( ) = = 5 d) e) arcsin( ) = f) = + = arctg = arccos +

6 g) i) e + = e + = ln k) arctg ( ) h) = ln + l) = e e + e j) = lnlnln arcsin sint = ln sin t m) ( sin ) sin = n) = ( a+ o) = W jakim punkcie stczna do paraboli = + jest równoległa do osi OX π tworz z dodatnim kierunkiem osi OX kąt α =. Jaki warunek muszą spełniać współcznniki a b i c ab parabola stczna do osi OX. = a + b+ c bła Znaleźć kąt przecięcia krzwch: = i =. Obliczć pochodną n-tego rzędu funkcji: a = e = ln n = d) = e) = cos. Obliczć wszstkie różniczki funkcji = w punkcje = i dla d = 5. Korzstając z twierdzenia de l`hospitala obliczć granice: e) e sin tg sin sin tg π tg g) ( e ) i) ( sin ) ln d) ln ctg f) ( ) tg π ctg h) sin tg j) +.

7 Wkazać że pomiędz pierwiastkami funkcji ( ) jej pochodnej. Wjaśnić to na rsunku. f = + znajduje się pierwiastek Cz teza twierdzenia Rolle`a ma zastosowanie do funcji ( )? Wjaśnij za pomocą rsunku. f = w przwdziale W jakim punkcje stczna do paraboli A ( ) ib( 9). Wjaśnić za pomocą rsunku. = jest równolegla do cięciw łączącej punkt Narsować łuk AB linii = cos w przedziale π. Dlaczego łuk ten nie ma stcznej rownoległej do cięciw AB? Które z założenia twierdzenia Lagrange`a nie są tutaj spełnione? Wznaczć przedzial monotoniczności i ekstrema funkcji: = = + d) e) = + 5 = + = e Znaleźć współcznniki trójmianu osiągał minimum równe. = + b+ c takie żeb w punkcje = trójmian Spośród trójkątów o danm obwodzie p i danm boku a znaleźć trójkąt którego pole błob największe. W daną kule wpisać stożek o największej objętości. Okno ma kształt prostokąta zakończonego półkolem. Dan jest obwód okna p. Wznaczć wsokość i szerokość okna tak ab ilość światła praenikającego przez to okno bła największa. Pudełko do zapałek ma długość 5cm i objętość cm. Jaka musi bć szerokośc i wsokośc pudełka ab suma pól wszstkich dziewięciu ścianek pudełka bła

8 najmniejsza? Znaleźć asmptot linii i narsować linie: = + = +. = Znaleźć przedził wpukłości i punkt przegięcia funkcji: = 6 = + d) = e =. Zbadać przebieg funkcji i naszkicować wkres: e) = + ( ) = d) = e. = + = Stosując twierdznie o wzorze Talora obliczć przbliżone wartości: arctg arcsin5 log d) (.98 ). Liczb zespolone. W zbiorze liczb zespolonch C wkonać działania: ( + i) + ( i) ( i)( + i) ( i)( + i) d) ( + i)( i). Znaleźć i jeśli i są liczbami rzeczwistmi i spełniają związek:

9 ( ) ( ) i + + i = + 6i Znaleźć część rzeczwistą i część urojoną następującch liczb zespolonch: i + i ( + i)( i ). + i ( i) ( i) i + + i Wkazać że z z jest odległością międz punktami z i z. Znaleźć zbiór punktów na płaszczźnie zespolonej spełniającch warunki: z = z π z d) arg z = e) π π arg z. Obliczć: ( i) + +. Obliczć pierwiastki: i i 8. Rozwiązać równania: 5 z i= z = + i z z+ 5= d) z 6z + 5= z + i z + 7i = f) z z = + i e) ( ) e) z + z = + i.

10 Całki. Obliczć całki: ( ) ( + ) ( ) d ( + )( + + ) d + 5 d d) d e + e) ( + 5 ) d f) d z g) d h) dz z u + i) du j) ( e + ) d u + k) e d e cos l) d. cos sin Całkując przez części obliczć całki: arctg d ( ) arctg d arctg d + d) ln d f) sin ln d ( + ) ( ) ( ) ( ) e) ln d g) arccos d i d ) arcsin. Całkując przez podstawienie obliczć całki: h ) cos ln c tg d e ln d + d e + ln 5 d e c ) d 8 ) d π e) sin( + ) d f) cos d

11 ( arctg ) g e d h d + sin ) cos ) ). i e d Stosując odpowiednie podstawienia obliczć całki: d 5 d ) 6+ b + d e) sin d. Obliczc całki następującch funkcji wmiernch: ( 6 7) d d) 7+ d ( + )( 5) ( ) d ( + ) d e) + d ( 5) d f ) d d) d g) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + )( + ) d h) i) ( + ) d ( + ) d k). ( + ) ( + ) j) d + + Obliczć całki funkcji trgonometrcznch: sinsin5 d cos d sin d d d) sin cos e) sin cos cos d f) sin d + cos g) d 5 h) sin d + tg

12 j i) coscos d k) sin d tg Obliczć całki funkcji niewmiernch: cosd ) cos d + + d d d d) + + e) + d g) d f) + d d h) + ( ) + + i) d + d j). ( + ) + ( + ) Obliczć całki: d 6+ d ( 8 ) d e) 5+ ( 5) d g) + 9+ ( ) d i) k) d + + m d ) d o) + d p) + + ( ) d + + 5d d) f) d ( ) d h) d j) l d ) n d )

13 d q). ( ) n Wprowadź wzór rekurencjn na I = sin d n. n Za pomocą definicji całki oznaczonej obliczć: 6 ( + ) d d ed. Obliczć całki: 5 d + d d + + d d) 5 ( ) 6 d e) + 9 ( ) d g) ( + ) d i) + f) e ed e d h) ln j) d. + ( ) Stosując twierdzenie o zmianie zmiennch w całce oznaczonej obliczć: e + ln d π cos d sin π π sin e) d π d g) π ) sin cos b + d e d d) + e a a+ f) d a

14 Całkując przez części obliczć następujące całki: ) arctg a d π d sin π π ) sin b e d d) log d e ( + ) e) ln d a 7 d f) d a + a ) g a d h e ) ln d. Obliczć (jeśli istnieją) całki: d d + d e) e d g) ln a d a > ( d d) + d f ) h) d. Obliczć lub stwierdzić rozbieżność następującch całek: d d 5 d ) d + c e d d e) + + d g) + ) d f ) a ( + ) d h) +

15 j) sin d i) e d a l k) e cos bd arctg ) d. Zbadać zbieżność całek: d + ln d + d d) d. Obliczć pola obszarów ograniczonch liniami: a b ) = = ) = = = = = = d) = + = + ; e) pole figur ograniczonej kardioidą = acost acos t = asint asin t f) pole figur ograniczonej lemniskatą Bernoulli ego: r = a cos ϕ. Obliczć objętość brł utworzonej przez obrót wokół osi O figur ograniczonej liniami: = = = = = = = = + π = a = = a d) = cos = = ( prz > ) ( ) ( ϕ ) ( ) e a t b t astroida f r a kardioida ) = cos = sin. ) = + cos. Obliczć długość łuku lini: = odciętej osią O = ln( ) od = do = = acost acos t = asint asin t d) r = a + cos ϕ e) długość jednego zwoju spirali Archimedesa r = aϕ. ( ) Wprowadź wzór na pole czasz kuli. Objaśnij metodę trapezów dla całek oznaczonch i podaj tw. o zbieżności tej metod.

16 ZADANIA w semestrze letnim Algebra liniowa. Dane są macierze: A = B = C = D =. Wznaczć : T C A B D. Sprawdzić że prawdziwa jest równość AX = Y jeżeli: A = X = Y =. AB Sprawdzić cz ( ) T T T = B A jeżeli: A = B =. Sprawdzić które z podanch macierz są osobliwe: A = B = 7 5 C =. Dla podanej macierz A znaleźć : macierz dopełnień algebraicznch macierz transponowaną dopełnień algebraicznch wznacznik macierz d) macierz odwrotną:

17 A =. Sprawdzić rachunkiem poprawność wniku. Obliczć rzęd następującch macierz: A = 5 6 B =. Dla jakiej wartości parametru a macierz A ma najwższ rząd: a A = 7 7 Stosując wzor Cramera metodę macierzową i metodę einacji Gaussa rozwiązać układ równań: z = + z = + z = + z+ t = + z+ t = z+ t = + z+ t = 6 + i = + i ( + i ) + ( + i ) = Rozwiązać równanie macierzowe AX A= B =. = B gdzie:

18 A= B =. Zbadać rozwiązalność podanch układów równań i gd jest to możliwe znaleźć ich rozwiązania: + 7+ z+ t = z t = + 5 9z + 8t = z+ 5t = + z+ t = 8+ 9z+ 8t = + 6+ z t = + + 9z 7t = + z = + 5 7z = 5+ 6z = + 5z+ 7t = d) + 7z+ 5t =. + z 5t = 5+ z+ t = e) 7 + z+ t = z 6t = f) + + z+ 5t = + + 5z + t = + + z+ t = + + z+ t = Określić dla jakich wartości parametrów a i b układ równań: + z = b z= + + az = jest: oznaczon nieoznaczon sprzeczn. Oblicz wartości i wektor własne dla macierz A = Co to jest wielomian charakterstczn macierz? Podaj definicję wektora i wartości własnej. Geometria analitczna w przestrzeni.

19 Oblicz odległość punktu M() od prostej =z+ =z. Przez punkt (8) przeprowadź płaszczznę prostopadłą do prostej ==z. Znajdź płaszczznę przechodzącą przez prostą +-z+6= -+z+5= i równoległą do prostej = = z. Podaj definicję lewoskrętnego układu wektorów i definicję ilocznu wektorowego w przestrzeni. Kied trz wektor w przestrzeni są komplanarne (podaj definicję i twierdzenie)? Wmień własności ilocznu wektorowego. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A(7-) B(-) C(5-). Rachunek różniczkow funkcji wielu zmiennch. Wznaczć dziedzinę podanch niżej funkcji: ) ) ) a z = a b z = c z = ) ) ) arcsin d z = e z = + f z = g) z = sin. Wkazać że dla i funkcja u = może dążć do różnch wartości liczbowch. Podać przkład takiego sposobu dążenia punktu () do punktu () dla którego : u = u = u = u = u = -. Wkazać że: ( ) sin ( ) + sin = = =. ( ) () ( ) () ( ) () Narsować wkres funkcji:

20 gd > z = F( ) = gd = gd < i pokazać na nim linie nieciągłości funkcji. Obliczć pochodne cząstkowe rzędu -szego następującch funkcji: ( ) ( ) z = z = + z = ln + + z d z = e f z = g z = tg ) ) arcsin ) ln + h z = i z = e + sin π ) ) + + ) ) arcsin. ( ) j z = + + wpunkcie k z = + Jaki kąt tworz z dodatnim kierunkiem osi O stczna do krzwej: z = + + = wpunkcie ( )? Powierzchnie z = + + przecięto płaszczzną =. Znaleźć równanie krzwej przecięcia i równanie stcznej do krzwej przecięcia w punkcie którego współrzędna =. Pod jakim kątem przecinają się krzwe płaskie otrzmane z przecięcia się + powierzchni z = + i z = z płaszczzną =? 6 Sprawdzić że z = z jeśli z = arctg. Obliczć wszstkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego dla funkcji: z ln ( ) u = z = arctg z = e d) z = e ( cos cos )

21 Obliczć pochodne funkcji złożonch u = e du gdzie = sin t = t ; =? dt u z = ln = = u ; v zu =? zv =? v Sprawdzić że funkcja z = arctg gdzie = u+ v = u v spełnia równanie z u u v + z = u v Znaleźć gradient funkcji: z = + + dla punktu P() z ln( ) = + w punkcie M(6ln) Obliczć kąt międz gradientami funkcji z= arcsin + w punktach A() i B() Znaleźć pochodną funkcji MN gdzie N(65). z = + + w punkcie M() w kierunku wektora Obliczć pochodną funkcji u = + z z w punkcie M() w kierunku tworzącm π π π z osiami układu współrzędnch kąt odpowiednio:. Znaleźć różniczki zupełne zadanch funkcji: + z= u = ln( + z ) = + dla p(5) ( ) = ( ;) z Obliczć przbliżone wartości wrażenia: a n + n+ ) n 5 n + Znaleźć ekstrema funkcji:

22 ( ) z = z = Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji: z = w kole z 8 + = + + w prostokącie ograniczonm prostmi = = = =. ) ( ) c z = w trójkącie ograniczonm prostmi = = + = 6. Całki wielokrotne i krzwoliniowe. Obliczć całki podwójne po zadanch prostokątach: gdzie D= {( ) : } + e dd D D + dd gdzie D= {( ) : } ( + ) d) π sin dd gdzie D= ( ) : π D e dd gdzie D= {( ) : } D Całkę podwójną f ( ) D dd zamienić na całkę literowaną jeśli obszar D jest: równoległobokiem ograniczonm prostmi: = = 5 + = + = ( ) ( ) { : } { : } D= + D= d) trójkątem o bokach = = + = 6 W podanch całkach zmienić kolejność całkowania: ( ) d f d

23 ( ) r d f d r ( ) d f d Obliczć całki: gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach: O( ) A( ) B ( 6) dd D dd gdzie D jest obszarem ograniczonm liniami o równaniach: = D i + = dd D gdzie obszar D jest ograniczon liniami o równaniach: = = oraz = Przechodząc do współrzędnch biegunowch wznaczć granice całkowania w następującch całkach: ( ) d f d d f ( ) d ( + ) d f d Za pomocą całki podwójnej obliczć pole obszaru ograniczonego liniami: = + oraz = = 8 + oraz = + 5 = oraz 5 = 9 Obliczć objętość brł ograniczonej powierzchniami o równaniach: + + 5z = = = z = d) z = + + = = = z = z z = + + = = = = (dla = = z = = > ) Obliczć następujące całki krzwoliniowe:

24 d gdzie L jest konturem trójkąta którego bokami są osie układu L współrzędnch i prosta + = w kierunku przeciwnm do ruchu wskazówek zegara. d gdzie L jest łukiem paraboli A ( ) L i B ( ) ( ) d d oraz + ( ) d) ( ) ) = ) d d = ) ( ) + d wzdłuż linii: ( ) = ) = gdzie L jest częścią okręgu: acos t + L t π = międz punktami ( ) = = asin t dla Równania różniczkowe zwczajne. Znaleźć całkę a następnie całkę szczególną równania różniczkowego spełniającą podan obok warunek początkow: d sin d = π = d = e ( ) = d d = dz = + ( ) Wkazać że podana funkcja jest całką szczególną danego równania różniczkowego w pewnm zbiorze liczb: sin = ; ' + = cos = ; ' = = ; cos ' tg = Dan jest wzór określając rodzinę funkcji oraz równanie różniczkowe:

25 ; = ' = + C = ln C+ e ; ' = e ( ) + = + C; ' = Wkazać że wzór ten przedstawia całkę ogólną danego równania różniczkowego. Rozwiązać równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch: d tg = d d e ( + ) ( + e ) = d d = + d d d Znaleźć całki szczególne poniższch równań dla podanch obok warunków początkowch: d+ ctgd = π = = 'cos ln ( π ) = ( ) d) e ' e = + = ( ) + ' = + ( ) = Rozwiązać równanie różniczkowe: e ' + = 'cos sin= sin ' tg= ctg d + = d + + e 7 ' + = ( ).

26 = e ' + = + ' 7 8 ' + 5 = 5sin+ cos d = + ( cos ) sin d d + = cos ( 6+ sin ) + e d d + = ( + ) d cos sin sin cos. = e ' ' + = tds sdt = t tdt ' = ln ( ) znaleźć krzwą przechodzącą przez punkt P ( ). Wznaczć całkę szczególną spełniającą podane warunki początkowe: ds t ts ; dt = s = gd t = ' + = + ; = gd = ( ) ' ; = = 5 gd =. Rozwiązać równania różniczkowe: 6 ''' = ; ( ) = ' ( ) = '' ( ) = '' = cos ; = ' = '' + tg ' = sin '' + ' = '' ' = e '' + ' =. ( ) ( ) Rozwiązać równania różniczkowe:

27 '' 5 ' + = '' 6 ' = '' ' 5 = '' ' + = '' ' + = '' = Znaleźć całkę szczególną podanego równania różniczkowego spełniającą zadane wrunki początkowe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ' + = ; = ' = '' ' + 9 = ; = 5 ' = '' ' + 5 = ; = ' = 5 Rozwiązać równania różniczkowe liniowe niejednorodne: '' + 6 ' + = '' ' + = '' + 9= cos+ 5sin '' 6 ' + 8 = e + e e '' ' + = '' + = cos Znaleźć całki szczególne podanch równań różniczkowch prz zadanch warunkach początkowch: '' + = sin ; = = ' = '' ' = e + ; = = ' =. 8 Zadania wbrali: dr Maria Potępa i dr Rszard Mosurski.