WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA

Transkrypt

1 Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu sił zewnętrznych ciało wraca do pierwotnej postaci, to odkształcenie nazywamy sprężystym. Wiekość siły przypadającej na jednostkę powierzchni odkształcanego ciała jest miarą wywołanych tą siłą naprężeń. Naprężenia wywołane siłą działającą prostopade do powierzchni (F n ) noszą nazwę naprężeń normanych: σ = F n /S. Siła działająca stycznie do powierzchni odkształcanego ciała (F t ) jest źródłem naprężeń stycznych: τ = F t /S. Siły zewnętrzne, powodujące sprężyste odkształcenie ciał, wywołują w ich wnętrzu siły reakcji, równe co do wartości siłom zewnętrznym, które są źródłem wewnętrznych naprężeń sprężystych dążących do przywrócenia odkształcanym ciałom ich pierwotnej postaci. Naprężenia wewnętrzne wywołane odkształceniami sprężystymi są proporcjonane do wzgędnego odkształcenia: σ = K ε, (.1) gdzie: σ naprężenie wewnętrzne (normane ub styczne), ε = x/x wzgędne odkształcenie, równe stosunkowi odkształcenie bezwzgędnego x do początkowej wartości wiekości x charakteryzującej wymiary ub kształt ciała, K moduł sprężystości, równy naprężeniu powstającemu podczas wzgędnego odkształcenia równego jedności, zaeżny od rodzaju odkształcenia. Równanie (.1) stanowi ogóną postać prawa Hooke a, którego szczegółowa postać zaeży od rodzaju odkształcenia. Zmiana długości sprężystego pręta o długości początkowej, pou przekroju poprzecznego S, rozciąganego ub ściskanego siłą F gdzie: σ = F/S naprężenie normane, E moduł Younga. Wywołane tym odkształceniem naprężenia wewnętrzne są proporcjonane do wzgędnego odkształcenia pręta ε = / : F = = σ, (.) E S E σ = E, (.3)

2 σ = E ε (.4) co jest zgodne z ogóną postacią prawa Hooke a (.1). B B C C F t α A Rys..1 Zmiana kształtu (odkształcenie postaci), bez zmiany objętości, występuje najczęściej podczas skręcania drutów ub prętów wokół ich osi. Wiąże się to z tzw. odkształceniem przesunięcia prostego (ścinaniem), któremu podegają poszczegóne fragmenty odkształcanego pręta. Rozważmy fragment odkształcanego pręta w formie eementarnej sześciennej kostki o boku, do której przyłożono siłę F t styczną do jednej ze ścian (rys..1). Pod wpływem tej siły zmienia się kształt kostki bez zmiany jej objętości. Powierzchnia BC przesuwa się na odegłość BB, czemu odpowiada skręcenie powierzchni AB i C o kąt α. a małych odkształceń kąt ten jest miarą wzgędnego odkształcenia kostki ε = BB' będącego źródłem stycznych naprężeń wewnętrznych gdzie: S powierzchnia ściany, wzdłuż której działa siła F t. = tg α α, (.5) F t τ =, (.6) S Zgodnie z prawem Hooke a (.1), naprężenia te są proporcjonane do wzgędnego odkształcenia τ = G α, (.7) gdzie: G moduł sztywności materiału, równy iczbowo naprężeniu stycznemu τ, które spowodowałoby jednostkowe odkształcenie wzgędne. Całkowite odkształcenie pręta skręconego przyłożonym do jego końca momentem M sił skręcających F t jest sumą odkształceń jego eementarnych fragmentów. Rozważmy pręt o długości i kołowym przekroju poprzecznym o promieniu r, sztywno zamocowany na górnym końcu, któremu do donego końca przyłożono skręcający

3 dx ds ϕ M Rys.. r A α B x B df moment sił M (rys..). a znaezienia związku między modułem sztywności G materiału pręta i moment M sił skręcających, podziemy pręt na współśrodkowe warstwy w formie rurek o promieniu x i grubości ścianek dx. Na podstawę każdej rurki, czyi na pierścień o promieniu x i szerokości dx, a więc o powierzchni ds = πxdx, działa pochodząca od momentu skręcającego M siła df, styczna do obwodu rurki, wywołująca naprężenia styczne df df τ = =. (.8) ds πx dx Pod wpływem tych naprężeń poszczegóne warstwy uegną odkształceniom prowadzącym do obrotu ich podstawy o kąt ϕ, co odpowiada skręceniu pobocznicy o kąt α. Kąty te będą różne da warstw położonych w różnych odegłościach x od osi pręta. Zgodnie z prawem Hooke a (.7) możemy napisać da danej warstwy τ = Ponieważ, da małych kątów df = Gα. (.9) πx dx BB' ϕ x tgα α = =, (.1) więc z (.9) i (.1): ϕ df = πg x dx, (.11) a moment sił skręcających daną warstwę ϕ 3 dm = xdf = πg x dx. (.1) Całkowity moment sił skręcających pręt jest sumą momentów sił skręcających poszczegóne warstwy r 4 ϕ 3 πgr M = πg x dx = ϕ. (.13) Skręcenie sprężyste pręta o kąt ϕ spowodowane działaniem momentu sił zewnętrznych M wywołało w jego wnętrzu powstanie sił sprężystości, których wypadkowy moment 3

4 M S = M (.14) stara się przywrócić odkształconemu prętowi jego pierwotną postać. Oznaczając w równaniu (.13): πgr 4 = (.15) i podstawiając do (.14), możemy stwierdzić, że moment sił sprężystości wywołany skręceniem sprężystego pręta o kąt ϕ jest proporcjonany do tego kąta M S = ϕ. (.16) Z zaeżności (.16) wynika możiwość wyznaczenia modułu sztywności G metodą dynamiczną Gaussa, opartą na pomiarze okresu wahań T wahadła torsyjnego, czyi bryły symetrycznej o momencie bezwładności I, zwanej wibratorem, zawieszonej na badanym pręcie. Obracając wibrator, powodujemy skręcenie badanego pręta o kąt ϕ, co wywoła w jego wnętrzu powstanie sił sprężystości o momencie skręcającym M S, który działając na wibrator o momencie bezwładności I, wprowadzi go w ruch drgający. Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego gdzie: d ϕ/dt przyspieszenie kątowe. M S d ϕ = I, (.17) dt Biorąc pod uwagę (.16), ruch wibratora możemy opisać równaniem co jest równaniem ruchu drgającego o okresie drgań gdzie: moment kierujący. d ϕ = ϕ, (.18) dt I I T = π, (.19) Można więc, mierząc okres drgań skrętnych wibratora o momencie bezwładności I, zawieszonego na badanym pręcie, na podstawie (.19) i (.15), wyznaczyć moduł sztywności materiału, z którego wykonany jest pręt... Zadania..1. Zmierzyć długości dwóch drutów.... Zmierzyć śrubą mikrometryczną średnice obu drutów i obiczyć ich promienie r...3. Zapisać masy i średnice obu pierścieni obciążających wibrator. Obiczyć promienie: wewnętrzny (R 1 ) i zewnętrzny (R ). 4

5 ..4. Znaeźć okresy drgań skrętnych T o wibratorów nieobciążonych...5. Znaeźć okresy drgań skrętnych T wibratorów obciążonych...6. Obiczyć moduły sztywności obu badanych drutów oraz niepewności ich pomiarów..3. Zasada i przebieg pomiarów a wyznaczenia modułu sztywności G badanego drutu metodą dynamiczną Gaussa, mierzymy okres drgań skrętnych T zawieszonego na drucie wibratora nieobciążonego (rys..3) o nieznanym momencie bezwładności I oraz okres drgań skrętnych T wibratora obciążonego dodatkowo bryłą o kształcie pozwaającym na łatwe obiczenie jej momentu bezwładności I. Zgodnie z (.19), okres drgań skrętnych wibratora nieobciążonego I =, T π (.) a wibratora z dodatkowym obciążeniem Rys..3 I I T = π +. Podnosząc do kwadratu (.) i (.1) i odejmując je siebie, otrzymamy po przekształceniach I = 4π, T T (.1) stronami od (5.) co pozwoiło na wyeiminowanie nieznanego momentu bezwładności I wibratora nieobciążonego. Jeżei wibrator obciążymy pierścieniem o masie m, promieniu wewnętrznym R 1 i zewnętrznym R, to jego moment bezwładności możemy obiczyć ze wzoru 1 I = m(r1 + R ), (.3) a podstawiając (.3) do (.) i korzystając z (.15) możemy wyznaczyć moduł sztywności G badanego drutu 1 m R + R G = 4π. 4 r T T (.4) 5

6 .4. Ocena niepewności pomiarów Niepewność w wyznaczeniu modułu sztywności G obiczamy jako maksymaną niepewność systematyczną wiekości złożonej, metodą różniczki zupełnej (wzór (9) Wstęp), w odniesieniu do wzoru (.3). Odpowiednie obiczenia prowadzą do wyrażenia na wzgędną niepewność δ G G G = m m r r + (R + R ) (R R ) R + T T T, (.5) gdzie:, R, T, r systematyczne niepewności pomiarów szacowane metodą typu B w czasie wykonywania pomiarów, natomiast wzgędną niepewność w wyznaczeniu masy przyjąć δ m =,1. Niepewność w wyznaczeniu promieni obręczy przyjąć R = mm. Końcową postać wyrażenia (.5) otrzymano przy dodatkowym założeniu, że T T, a w obiczeniach naeży przyjąć większą z tych wartości. Literatura [1] Szczeniowski Sz.: Fizyka doświadczana, cz. 1. Warszawa: PWN 197. [] Jaworski B., Piński A.: Eementy fizyki, t. 1. Warszawa: PWN [3] Massaski J., Massaska M.: Fizyka da inżynierów, cz. 1. Warszawa: WNT