Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Transkrypt

1 Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest w środku ciężkości dwuteownika. 10 cm 10 cm P I10 L00x100x10 Rozwiazanie Rozpatrywany przekrój ściągu jest przekrojem złożonym z dwóch kształtowników: dwuteownika I10 i kątownika nierównoramiennego L00x100x10. Wartości charakterystyk geometrycznych użytych kształtowników zaczerpnięto z Tablic do projektowania konstrukcji stalowych, W. Bogucki i M. Żyburtowicz, wyd. 6, Warszawa, 1995r. Poniżej, i na stronie następnej, zamieszczono potrzebne do rozwiązania rozpatrywanego zadania wielkości charakterystyczne w takim układzie współrzędnych, jaki przyjęty jest w Tablicach. - dwuteownik I10: Y h X h = 10 mm b f = 58 mm A = 14, cm I x = 38 cm 4 I y = 1,5 cm 4 bf 1

2 - kątownik nierównoramienny L00x100x10: η α Y b e y ξ X b = 00 mm a = 100 mm e x =,01 cm e y = 6,93 cm tg α = 0,63 A = 9, cm I x = 119 cm 4 I y = 10 cm 4 I η = 135, cm 4 = I min e x a W celu obliczenia maksymalnej dopuszczalnej wartości siły P należy obliczyć ekstremalne naprężenia w ściągu, traktując wartość siły P jako znaną, a następnie tak obliczone naprężenie porównać z wartością dopuszczalną. W poniższym przykładzie zaprezentowane są dwa sposoby obliczenia naprężeń normalnych. W pierwszym naprężenia określa się korzystając ze wzoru na naprężenia normalne względem osi głównych centralnych, w drugim z bardziej ogólnego wzoru na naprężenia normalne względem osi centralnych. Niezależnie od przyjętego sposobu rozwiązanie zadania rozpocząć należy od określenia charakterystyk geometrycznych rozpatrywanego przekroju złożonego.

3 1. Wyznaczenie środka ciężkości W celu wyznaczenia środka ciężkości przyjęto wstępny ukłąd współrzędnych Y 1 OZ 1.,01 cm 10 cm 10 cm O = C I Y 1 C L Z 1 6,93 cm 1 cm 10 cm W tym układzie obliczone są momenty statyczne S y1 i S z1 : ( ) 1 S y1 = 14, 0 + 9, 1 +,01 = 0 + 9, 8,01 = 33,9 cm 3 S z1 = 14, 0 + 9, (10 6,93) = 0 + 9, 3,07 = 89,64 cm 3 Pole przekroju A ma zaś wartość A = 14, + 9, = 43,4 cm Tak więc, środek ciężkości C ma następujące współrzędne w układzie Y 1 OZ 1 : y c = S z 1 A = 89,64 =,066 cm 43,4 z c = S y 1 A = 33,9 = 5,389 cm 43,4 3

4 . Wyznaczenie centralnych momentów bezładności Przyjmijmy nowy centralny układ współrzędnych Y c CZ c.,01 cm 5,389 cm 10 cm 10 cm O = C I Y 1 C Y c C L,066 cm Z 1 6,93 cm Z c 1 cm 10 cm Dla tak przyjętego układu współrzędnych obliczane są, przy pomocy wzorów Steiner a, centralne momenty bezwładności: I yc = , ( 5,389) , ( 5, ,01) = = , ,,61 = 1151 cm 4 I zc = 1,5 + 14, (,066) , (, ,07) = = 1,5 + 60, , 1,004 = 1331 cm 4 Aby obliczyć dewiacyjny moment bezwładności I ycz c rozpatrywanego przekroju potrzebna jest znajomość dewiacyjnego momentu bezwładności kątownika nierównoramiennego wchodzącego w skład przekroju złożonego (dla dwuteownika jest on oczywiście równy zeru, gdyż dwuteownik jest figurą symetryczną). Nieznany moment kątownika można łatwo obliczyć wykorzystując inne wielkości charakterystyczne kątownika. W tym celu wystarczy przekształcić znany wzór na wartośc kąta nachylenia osi głównych: tg α = I xy I x I y = I xy = 1 (I x I y ) tg α Wartości I x i I y są dane, zaś kąt α obliczamy następująco: tg α = 0,63 = α = 14, 74 o Stąd wartość biegunowego momentu bezwładności kątownika nierównoramiennego wchodzącego w skład przekroju złożonego jest równa: I xy = 1 (119 10) tg( 14,74o ) = 85,1 cm 4 4

5 Inna metoda obliczenia nieznanej wartości I xy polega na wykorzystaniu zależności pomiędzy warościami momentów bezwładności: - wzoru na promień koła Mohra ( Jx J y ) ( ) ( ) + Jxy = J1 J = Jxy = J1 J - niezmiennika sumy momentów bezwładności ( Jx J y ) J x + J y = J 1 + J = J 1 = J x + J y J Po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy: J 1 = , = 193,8 cm 4 ( ) ( ) 193,8 135, Jxy = = ( 84,7 cm 4) Jak widać wyniki otrzymane dwoma metodami różnią się. Jest to spowodowane zaokrągleniami wartości tg α oraz J min charakteryzujących przekrój kątownika L00x100x10, które zostały wykorzystane do obliczenia J xy. Zakładając, że obie te wielkości charakterystyczne obarczone są identycznym błędem zasadne jest przyjęcie do dalszych obliczeń średnią arytmetyczną tych dwóch wartości. J xy = 85,1 84,7 = 84,9 cm 4 Tak więc, można już obliczyć wartość momentu dewiacyjnego I ycz c rozpatrywanego przekroju złożonego: I ycz c = , ( 5,389) (,066) + 84,9 + 9, 1,004,61 = 519,8 cm 4 Dalszy algorytm postępowania uzależniony jest od przyjętego sposobu rozwiązywania. W przypadku obliczania naprężeń normalnych względem osi głównych centralnych należy w pierwszej kolejności wyznaczyć te osie. SPOSÓB A - obliczenia przy użyciu wzorów określonych dla osi głównych centralnych 3.A. Wyznaczenie głównych centralnych osi i momentów bezładności Kąt nachylenia osi głównych Y i Z obliczamy następująco: tg α = I y cz c I yc I zc = = α = 40,10 o 519, = 5,790 = α = 80,0o = 5

6 ,01 cm Z 10 cm 10 cm O = C I C Y c C L Y 6,93 cm Z c 1 cm 10 cm Zaś w celu obliczenia momentów głównych centralnych korzystamy z poniższego wzoru: I 1, = 1 (I y c + I zc ) ± 1 (I yc I zc ) + 4Iy cz c W rozpatrywanym przypadku I 1, = 1 ( ) ± 1 ( ) + 4 ( 519,8) = = (141 ± 57,5) cm 4 Tak więc, maksymalny główny centralny moment bezwładności I 1 odpowiadający momentowi I z (gdyż I zc > I yc ) oraz moment minimalny I = I y mają wartości: I 1 = ,5 = 1768 cm 4 I = ,5 = 713, cm 4 = I z = I y Sprawdzenie poprawności obliczeń można wykonać na dwa sposoby: I yc + I zc = I 1 + I 1331 cm cm 4 = 1768 cm , cm 4 48 cm 4 = 48 cm 4 I yc I zc (I ycz c ) = I 1 I 1331 cm cm 4 ( 519,8 cm 4 ) = 1768 cm 4 713, cm cm 8 = cm 8 Równoznaczność otrzymanych wyników z lewej i prawej strony potwierdza poprawność obliczeń. 6

7 4.A. Obliczenie mimośrodów siły Aby wyznaczyć współrzędne punktu przyłożenia siły we współrzędnych Y CZ, które są jednocześnie mimośrodami przyłożenia siły, konieczne jest wyprowadzenie wzoru transformującego znane współrzędne Y c CZ c na współrzędne szukane. W rozpatrywanym przypadku wzór ten ma postać: y = y c cos α + z c sin α = y c cos 40,10 o + z c sin 40,10 o = 0,7649y c + 0,6441z c z = y c sin α + z c cos α = y c sin 40,10 o + z c cos 40,10 o = 0,6441y c + 0,7649z c ( ) Współrzędne punktu P przyłożenia obciążenia w układzie Y c CZ c mają wartość: y P c z P c =,066 cm = 5,389 cm co oznacza, że mimośrody siły są równe: y P = 0,7649 (,066) + 0,6441 ( 5,389) = 5,051 cm z P = 0,6441 (,066) + 0,7649 ( 5,389) =,79 cm = e y = e z 5.A. Obliczenie sił przekrojowych Zakłada się, że skłądowe momentu zginającego mają znak dodatni, jeśli wektory, które je reprezentują mają kieruneki zgodne z kierunkami osi. Siła normalna jest zaś dodatnia wtedy, gdy powoduje rozciąganie przekroju. Przy takich założeniach w dowolnym przekroju ściągu występują następujące siły wewnętrzne: N = P M y = N e z =,79 P M z = N e y = 5,051 P 6.A. Wyznaczenie wzoru na napręzenia normalne Ponieważ mimośrodowe rozciaganie można traktować jako złożenie dwóch przypadków zginania prostego i rozciągania osiowego, naprężenia normalne można zapisać w następującej postaci: σ x = σ N x + σ Mz x + σ My x = N A ± M z I z y ± M y I y z Znak przed składnikami naprężenia zależnymi od momentów zginających ustala się przeprowadzając następującą analizę: Załóżmy, że moment M z jest dodatni. Reguła śruby prawoskrętnej mówi, że taki moment powoduje ściskanie włókien o dodatniej współrzędnej y. Oznacza to, że dla M z > 0 i y > 0 naprężenie σx Mz jest ujemne. Ponieważ moment bezwładności I z jest zawsze większy od zera naprężenie normalne zależne od momentu M z musi być więc opisane wzorem: σ Mz x = M z I z y 7

8 Analogicznie określamy znak we wzorze na naprężenie normalne zależne od momentu M y : Załóżmy, że moment M y jest dodatni. Reguła śruby prawoskrętnej mówi, że taki moment powoduje rozciąganie włókien o dodatniej współrzędnej z. Oznacza to, że dla M y > 0 i z > 0 naprężenie σx My jest dodatnie. Ponieważ moment bezwładności I y jest zawsze większy od zera naprężenie normalne zależne od momentu M z musi być opisane wzorem: σ My x = + M y I y z Stąd ostatecznie: σ x = σ N x + σ Mz x + σ My x = N A M z I z y + M y I y z 7.A. Wyznaczenie osi obojętnej Oś obojętną wyznaczamy wiedząc, że naprężenia na niej panujące są równe zero, stąd: σ x = 0 = N A M z I z y + M y I y z = 0 = = P 43,4 5,051P 1768 y +,79P 713, z = 0 = =, P, P y 3, P z = 0 Aby obliczyć współrzędne przecięcia osi głównych centralnych Y i Z przez szukaną oś obojętną należy przekształcić powyższe równanie prostej na postać odcinkową. Przy czym y a y + z a z = 1, a y = = 8,066 cm, , a z = = 5,886 cm 3, Tak więc równanie osi obojętnej ma postać: σ x = 0 = y 8,066 + z 5,886 = 1 Z powyższych przekształceń wynika, że oś obojętna przechodzi przez punkty (5,886 cm;0) i (0;8,066 cm). 8

9 Z 1 C Y 8.A. Wyznaczenie naprężeń w punktach przekroju najbardziej oddalonych od osi obojętnej Najbardziej oddalone od osi obojętnej punkty przekroju oznaczono jako 1 i. Współrzędne tych punktów w układzie Y c CZ c wynoszą odpowiednio: yc 1 =, ,8 = 0,834 cm zc 1 = 5, = 11,389 cm y c =, = 7,934 cm zc = 5, = 11,611 cm zaś ich współrzędne w układzie Y CZ obliczam wykorzystując wzór ( ) wyprowadzony w podrozdziale 4.A.: y 1 = 0,7649 0, ,6441 ( 11,389) = 6,698 cm z 1 = 0,6441 0, ,7649 ( 11,389) = 9,904 cm y = 0,7649 7, ,6441 ( 11,611) = 9,49 cm z = 0,6441 7, ,7649 ( 11,611) = 3,006 cm 9

10 Podstawiając otrzymane współrzędne do wzoru na naprężenia, otrzymujemy maksymalne i minimalne wartości naprężeń w przekroju złożonym. σ 1 x = σ x ( 6,698 cm; 9,904 cm) = =, P, P ( 6,698) 3, P ( 9,904) = = 7, P = σ max σx = σ x ( 9,49 cm; 3,006 cm) = =, P, P ( 9,49) 3, P 3,006 = =, P = σ min W ten sposób obliczone zostały interesujące nas ekstremalne wartości naprężeń normalnych. oś obojętna 7,838 σ [10- P/cm ] -,558 9.A. Obliczenie dopuszczalnej siły P Dopuszczalną wartość siły P obliczymy porównując największe, niezależnie od znaku, naprężenie w przekroju z naprężeniem dopuszczalnym. Ponieważ obliczeń dokonywaliśmy w centymetrach musimy przekształcić wartość σ dop. σ dop = 15 MPa = kn kn kn = = 1,5 m 10 4 cm cm 10

11 max ( σx 1 ; σ x ) = σx 1 = 7, P σ dop = 1,5 kn cm = 1,5 = P = 74,3 kn 7, Tak więc ostatecznie P dop = 74,3 kn Te same wyniki otrzymać można stosując obliczenia względem osi centralnych, tj. w rozpatrywanym przypadku osi Y c i Z c. SPOSÓB B - obliczenia przy użyciu wzorów określonych dla osi centralnych 3.B. Obliczenie mimośrodów siły Współrzędne punktu P przyłożenia obciążenia w układzie Y c CZ c mają wartość: y P c z P c =,066 cm = 5,389 cm 4.B. Obliczenie sił przekrojowych Niezmieniając opisanych w punkcie 5.A. założeń dotyczących znaków sił wewnętrznych można zapisać wartości sił przekrojowych: N = P M yc = 5,389 P M zc =,066 P 5.B. Wyznaczenie wzoru na naprężenia normalne Wzór na naprężenia normalne w rozpatrywanym układzie współrzędnych ma postać: σ x = N A + J y cz c M yc + J yc M zc J y cz c J yc J zc y J yczcm zc + J zcm yc z Jy cz c J yc J zc 11

12 Podstawiając znane wartości sił i momentów bezwładności otrzymujemy: σ x = P 519,8 ( P 5,389) P,066 + y + 43,4 519, ,8 P, ( P 5,389) z = 519, = P 43,4 + 44, P y z = =, P + 3, P y 4, P z 6.B. Wyznaczenie osi obojętnej W celu wyznaczenia równania osi obojętnej należy przyrównać wzór na naprężenia normalne do zera. Niezerowe współrzędne punktów przecięcia osi współrzędnych z osią obojętną mają wartości:, a yc = = 68,51 cm 3, , a zc = = 4,766 cm 4, oś obojętna 1 C Z c Y c 1

13 7.B. Wyznaczenie naprężeń w punktach przekroju najbardziej oddalonych od osi obojętnej Z zamieszczonego na poprzedniej stronie rysunku widać, że najbardziej oddalonymi od osi obojętnej punktami są punkty 1 i, których współrzędne wynoszą: y 1 =,066 cm +,9 cm = 0,8345 cm z 1 = 5,389 cm 6 cm = 11,389 cm y =,066 cm + 10 cm = 7,934 cm z = 5,389 cm + 6 cm + 10 cm = 10,61 cm Podstawiając obliczone współrzędne do wzoru na naprężenia otrzymujemy naprężenia ekstremalne. σ 1 x = σ x (0,8345 cm; 11,389 cm) = =, P + 3, P 0,8345 4, P ( 11,389) = = 7, P = σ max σ x = σ x (7,934 cm; 10,61 cm) = =, P + 3, P 7,934 4, P 10,61 = =, P = σ min oś obojętna 7,838 σ [10- P/cm ] -,558 13

14 8.B. Obliczenie dopuszczalnej siły P Sprawdzenie warunku nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne prowadzi do obliczenia dopuszczalnej wartości siły P. max (σ max ; σ min ) σ dop = = 7, cm P 15 MPa = kn kn = 1,5 = 10 4 cm cm = P 74,3 kn = P dop = 74,3 kn Jak łatwo zauważyć zastosowanie ogólniejszego wzoru (obowiązującego w układzie współrzędnych nie będących głównymi) nie wymaga wyznaczania współrzędnych punktu w obróconym układzie współrzędnych oraz obliczania charakterystyk przekroju w osiach głównych. Tak więc zastosowanie sposobu B w rozpatrywanym przypadku jest bardziej racjonalne ze względu na nakład obliczeń. 14