MES W ANALIZIE SPRĘŻYSTEJ UKŁADÓW PRĘTOWYCH

Transkrypt

1 MES W ANAIZIE SPRĘŻYSEJ KŁADÓW PRĘOWYCH Przkład obliczeń Kratownice płaskie idia FEDOROWICZ Jan FEDOROWICZ Magdalena MROZEK Dawid MROZEK Gliwice r.

2 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek Rozwiązanie zadań Rozdziału KRAOWNICE PŁASKIE Niniejsz tekst jest częścią skrptu pt.: MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład obliczeń i stanowi przedłużenie rozdziału skrptu. W pliku zawarto szczegółowo przedstawione krok po kroku rozwiązania czterech pokazanch poniżej zadań obejmującch kratownice płaskie z wkorzstaniem MES. Numeracja zadań w pliku jest kontnuacją numeracji ze skrptu. Numeracja rsunków tablic i wzorów rozpoczna się od z dołączonm numerem rozdziału skrptu. Wszstkie konieczne odwołania do treści zawartch w skrpcie są wraźnie zaznaczone i opisane z podaniem nr rozdziału i odpowiedniego numeru wzoru bądź rsunku i napisane są czcionką pochłą koloru różowego. Wszstkie oznaczenia użwane w pliku algortm postępowania prz rozwiązwaniu zadań oraz podstaw teoretczne MES podano w skrpcie.

3 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - KRAOWNICE PŁASKIE zadania rozwiązane w pliku.. Zadanie P = kn Stosując MES obliczć sił wewnętrzne w układzie. P = kn a).. Zadanie b) Stosując MES obliczć sił wewnętrzne w układzie. P= kn P =P sin(g) P= kn g P =P cos(g).. Zadanie. Stosując MES obliczć sił wewnętrzne w układzie. P = kn. P = kn.. Zadanie. Stosując MES obliczć sił wewnętrzne w układzie. t o =- o.

4 o o - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek KRAOWNICE PŁASKIE. Zadanie DANE: Dana jest kratownica płaska pokazana na Rs. -. Stosując MES obliczć sił wewnętrzne w układzie. P = kn P = kn Rs. -. Schemat statczn kratownic z zadania KROK (A): zdefiniowanie modelu MES Przjmujem globaln układ współrzędnch XOY np. w miejscu pokazanm na Rs. -. Nmerujem węzł oraz pręt układu. Przjmujem do rozwiązania element skończon w postaci prostego odcinka pręta z dwoma węzłami po dwa stopnie swobod w każdm węźle (skrpt rozdział Rs. - skrptu). Dskretzację układu wprowadzam dzieląc układ na dziewięć elementów skończonch odpowiadającch prętom Rs. -. W każdm elemencie skończonm przjmujem początek układu oraz związan z nim układ współrzędnch lokalnch O wg zasad opisanch w rozdziale skrptu. Ponieważ układ jest statcznie wznaczaln przjmujem dla uproszczenia do obliczeń wartość sztwności =const. P = kn 9 Y o o o o 9 o o P = kn o X Rs. -. Schemat statczn ram zadania numeracja węzłów ES przjęcie globalnego układu współrzędnch k przjęcie lokalnch układów współrzędnch i początków ES kąt transformacji lokalnch układów współrzędnch

5 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - Wznaczam liczbę stopni swobod i wprowadzam numerację stopni swobod układu związaną z globalnm układem współrzędnch. W zadaniu mam sześć węzłów zatem liczbę stopni swobod obliczam jako: sw w (-) a więc nasz układ statczn ma stopni swobod a wektor przemieszczeń układu można zdefiniować w globalnm układzie współrzędnch następująco:. (-) 9 Przjętą numerację zdefiniowanch stopni swobod w rozwiązwanm zadaniu w globalnm układzie współrzędnch pokazano na Rs. -. Y 9 9 X Rs. -. Przjęte stopnie swobod modelu krat w globalnm układzie współrzędnch Definiujem wektor przemieszczeń węzłów poszczególnch ES od do 9 w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)) Rs. -: u f u f u f u f u u f u f f u f u f u f u f u u u f f f f u u f u f u f u u f u f f u f u f u u u f f f u f f u u f u u u f f Rs. -. Wektor przemieszczeń i sił węzłowch ES w lokalnch układach współrzędnch u 9 f 9 f 9 u 9 f 9 u 9 f 9 u 9 f 9

6 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u oraz w globalnm układzie współrzędnch Rs. -: Podobnie definiujem wektor sił działającch w węzłach poszczególnch ES (od do 9) w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)) Rs. -: F F F F F F F F F F F F F F F F F F F O F Y F F f X. F F F F F F F F Rs. -. Wektor przemieszczeń i sił węzłowch ES w globalnm układzie współrzędnch 9 F 9 F 9 9 F 9 9 F 9 9 F 9 (-) (-)

7 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f oraz globalnm układzie współrzędnch Rs. -: F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Na podstawie Rs. - i Rs. - określam kąt pomiędz osią OX globalnego układu współrzędnch a osiami O lokalnch układów współrzędnch związanch z poszczególnmi ES. Wartości tch kątów podano na Rs. -. Współrzędne węzłów ES długości ES oraz wartości funkcji sinus i cosinus tch kątów (potrzebne we wzorach (-) i (-) - rozdział skrptu) zestawiono w abela -.. (-) (-) abela -. Geometria obliczanej kratownic k k nr k cos sin elementu X i Y i X j Y j l k [m] Zatem układ równań MES w naszm zadaniu składa się z dwunastu równań liniowch które w zapisie macierzowm mają postać:

8 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek K F (-) gdzie: [K] macierz sztwności całego układu o wmiarach ( ) {} wektor poszukiwanch przemieszczeń węzłów w postaci (-) {F} wektor obciążenia układu o wmiarach ( ). Ponieważ rozwiązwan układ statczn jest obciążon jednie w węzłach zatem {F} o = a wektor obciążenia {F} (wzór (-)) zredukuje się do postaci {F}={F} w. (-) KROK (B): Budowa macierz sztwności układu W kroku obliczeń rozwiązujem kolejne element skończone zgodnie z procedurą przedstawioną w rozdziale oraz budujem macierz układu równań MES całego układu statcznego. Rozwiązanie ES przeprowadzam w lokalnm układzie współrzędnch a następnie transponujem go do układu globalnego Rs. - oraz Rs. -. Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. - oraz tabelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz o oraz =.m Rs. - i Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... G k wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -: { } { 9 } (-9) (-) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (wzór (-) i Rs. -):

9 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie -9 [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):.... k wk [ ] A k A G [ ] (-) Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. - oraz tabelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz o oraz =.m Rs. - i Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... G k wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -: { } { } (-) (-) (-) al (-) macierz topologii oraz macierz transponowana topologii ES- (wzór (-) i Rs. -)):

10 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek [ A ] [ A ] (-9) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):.... wk [ ] A k G A. (-) Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. - oraz tabelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz 9 o oraz =.m Rs. - i Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... G k wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -: { } { } (-) (-) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -):

11 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):.... wk [ ] A k G A. (-) Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. - oraz tabelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- prz (wzor (-) i (-)) prz o oraz m Rs. - i Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -: { } { } (-) (-) (-9) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -):

12 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)): wk [ ] A k A G. (- ) Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. - oraz tabelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz 9 o oraz =.m Rs. - i Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... G k wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -: { } { 9 } (-) (-) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-)

13 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - i Rs. -): [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):.. wk [ ] A k G A... (-) Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. - oraz tabelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz o oraz =.m Rs. - i Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -: { } {9 } (-9) (-) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-)

14 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek i Rs. -): [ A ] [ A ] ) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)): wk [ ] A k G A..... (- (-) Element skończon nr ES- Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. - oraz tabelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz o oraz =.m Rs. - i Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -: { } { } (-) (-) (-) al (-)

15 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-9) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):.. wk [ ] A k G A... (-) Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. - oraz tabelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- prz (wzor (-) i (-)) prz o oraz m Rs. - i Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k (-) (-) (-)

16 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -: { } { } al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)): wk [ ] A k G A (-) Element skończon nr 9 ES-9: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. - oraz tabelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES-9 (wzor (-) i (-)) 9 prz 9 o oraz =.m Rs. - i Rs. -: 9 9 [ ] [ ] macierz sztwności ES-9 w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): macierz sztwności ES-9 w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k (-) (-) (-9)

17 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - wektor alokacji ES-9 Rs. - i Rs. -: 9 { } { } al (-) macierz topologii ES-9 oraz macierz transponowana topologii ES-9 (jak we wzorze (-) i Rs. -): 9 9 [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES-9 zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)): wk [ ] A k G A..... (-) KROK (C): Budowa wektora obciążenia układu W ustrojach kratowch wstępuje tlko obciążenie węzłowe. W analizowanm zadaniu obciążon jest węzeł nr pionową siłą skupioną P = kn oraz węzeł nr poziomą siła P = kn. Wektor obciążenia całego układu jest równ zatem wektorowi obciążeń węzłowch i ma postać: w F F. (-) KROK (D): Wprowadzenie warunków brzegowch kład równań MES (-) rozwiązwanego zadania otrzmam w postaci: 9 i k F (-) i wk [ ] a warunki brzegowe (Rs. -) są następujące:. (-)

18 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek Po uwzględnieniu warunków brzegowch (sposobem trzecim rozdział ) i wkonaniu sumowania (-) otrzmam:.e..e e (-) KROK (E): Rozwiązanie układu równań MES Rozwiązanie układu równań (-) daje: (-) KROK (F): Obliczanie przekrojowch sił wewnętrznch Sił wewnętrzne obliczam w układzie lokalnm. Wobec tego w pierwszej kolejności określam wektor przemieszczeń węzłów poszczególnch ES (wzór (-9)): element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-9) (-) i (-)): u.. v.. u.. v A u (-)

19 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie -9 element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-9) i (-)): u v u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u v. u. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)):... v. u..99 v A u u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u.. v.. u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-9) (-) i (-)): u.... v.. u v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-9) i (-)): u.. v u v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u.99.. v..99 u.9 v A u element nr 9 w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u v 9. u. 9 v A u (-9) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) i o Ponieważ w ustrojach kratowch wstępuje tlko obciążenie węzłowe to f dla wszstkich ES. Sił wewnętrzne (wzór (-9)) obliczone na podstawie przemieszczeń (-) do (-) wznaczonch w lokalnch układach współrzędnch oraz wrażeń ( -) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) i (-) wnoszą:

20 idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek - element nr i element nr : ( ) ( ).... u u f f k u f f k u (-) element nr i element nr : ( ) ( ).... u u f f k u f f k u (-) element nr i element nr : ( ) ( ).. u u f f k u f f k u (-9) element nr i element nr : ( ) ( ).9.9 u u f f k u f f k u (-) element nr 9: 9 9 ( ) u f f k u (-)

21 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - Otrzmane rozwiązanie (z uwzględnieniem znakowania mechaniki budowli) zestawiono w abela -. abela - Obliczone sił osiowe w prętach kratownic (znakowanie stosowane w mechanice budowli) nr elementu siła osiowa [kn] Zadanie DANE: Dana jest kratownica płaska pokazana na Rs. -. Stosując MES obliczć sił wewnętrzne w układzie. a) b) g P= P= kn P =P sin(g) P =P cos(g) Rs. -. Schemat statczn kratownic z zadania KROK (A): zdefiniowanie modelu MES Przjmujem globaln układ współrzędnch XOY np. w miejscu pokazanm na Rs. -. Nmerujem węzł oraz pręt układu. Przjmujem do rozwiązania element skończon w postaci prostego odcinka pręta z dwoma węzłami po dwa stopnie swobod w każdm węźle (rozdział skrptu - Rs. -). Dskretzację układu wprowadzam dzieląc układ na trz element skończone odpowiadające prętom Rs. -. W każdm elemencie skończonm przjmujem początek układu oraz związan z nim układ współrzędnch lokalnch O wg zasad opisanch w rozdziale skrptu. Do obliczeń przjmujem dla uproszczeniawartość sztwności =const.

22 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek Y arctg (.) o o o arctg (.) P =P sin(g) X P =P cos(g) Rs. -. Schemat statczn ram zadania numeracja węzłów ES przjęcie układów współrzędnch lokalnch i początków elementów skończonch przjęcie globalnego układu współrzędnch określenie kątów transformacji wektorów przemieszczeń i sił węzłowch ES Wznaczam liczbę stopni swobod i wprowadzam numerację stopni swobod układu związaną z globalnm układem współrzędnch. W zadaniu mam czter węzł zatem liczbę stopni swobod obliczam jako: sw w (-) a więc nasz układ statczn ma stopni swobod a wektor przemieszczeń układu można zdefiniować w globalnm układzie współrzędnch następująco:. (-) Przjętą numerację stopni swobod zdefiniowanch w rozwiązwanm zadaniu w globalnm układzie współrzędnch pokazano na Rs. -. Y X Rs. -. Przjęte stopnie swobod w globalnm układzie współrzędnch

23 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - Definiujem wektor przemieszczeń węzłów poszczególnch ES od do w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-) Rs. -9: u f u f u f u u u f u f u f f f u f u f u f u f Rs. -9. Wektor przemieszczeń i sił węzłowch ES w lokalnch układach współrzędnch u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u oraz w globalnm układzie współrzędnch Rs. -:. (-) (-) Podobnie definiujem wektor sił działającch w węzłach poszczególnch ES od do w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)) Rs. -9:

24 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek F Y F F O X F F F F F F F F F Rs. -. Wektor przemieszczeń i sił węzłowch ES w globalnm układzie współrzędnch f f f f f f f f f f f f f f f oraz globalnm układzie współrzędnch Rs. -.: F F F F F F F F F F F F F F F. (-) (-) Na podstawie Rs. - i Rs. - określam kąt pomiędz osią OX globalnego układu współrzędnch a osiami O lokalnch układów współrzędnch związanch z poszczególnmi ES. Wartości tch kątów podano na Rs. - oraz w abeli -. Współrzędne węzłów ES długości ES kąt transformacji oraz wartości funkcji sinus i cosinus tch kątów (potrzebne we wzorach (-) i (-) - rozdział ) zestawiono w abela -.

25 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - nr k elementu abela -. Geometria obliczanej kratownic k X i Y i X j Y j l k [m] cos( ) k sin( ) Zatem układ równań MES w naszm zadaniu składa się z ośmiu równań liniowch które w zapisie macierzowm mają postać: K F (-9) gdzie: [K] macierz sztwności całego układu o wmiarach ( ) {} wektor poszukiwanch przemieszczeń węzłów w postaci (-) {F} wektor obciążenia układu o wmiarach ( ). Ponieważ rozwiązwan układ statczn jest obciążon jednie w węzłach zatem {F} o = a wektor obciążenia {F} zredukuje się do postaci {F}={F} w. (-9) KROK (B): Budowa macierz sztwności układu W kroku obliczeń rozwiązujem kolejne element skończone zgodnie z procedurą przedstawioną w rozdziale skrptubłąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. oraz budujem macierz układu równań MES całego układu statcznego. Rozwiązanie ES przeprowadzam w lokalnm układzie współrzędnch a następnie transponujem go do układu globalnego. Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. -9 i Rs. - oraz abelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz arctg oraz =. m Rs. -: (.) o [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... (-9) (-9)

26 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -9: { } { } (-9) al (-9) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (wzór (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-9) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)): wk [ ] A k A. G (-9) Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. -9 i Rs. - oraz abelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz arctg oraz =. m Rs. -: (.) o [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -9: { } { } (-9) (-9) (-99) al (-)

27 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (wzór (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)): wk [ ] A k A G (-) Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. - Rs. - Rs. -9 i Rs. - oraz abelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz o oraz =. m Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... G k wektor alokacji ES- Rs. - i Rs. -9: { } { } (-) (-) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -):

28 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):.. wk [ ] A k A. G.. (-) KROK (C): Budowa wektora obciążenia układu W analizowanm zadaniu obciążon jest węzeł nr siłą skupioną P. Przjmijm do obliczeń wartość sił P= kn oraz kąt g= o o a wówczas wobec f wektor obciążenia całego układu jest równ: w F F. (-9) KROK (D): Wprowadzenie warunków brzegowch kład równań MES (-9) rozwiązwanego zadania otrzmam w postaci: 9 i k F (-) i wk [ ] a warunki brzegowe (Rs. - i Rs. -) są następujące:. (-) Po uwzględnieniu warunków brzegowch (sposobem trzecim rozdział skrptu) i wkonaniu sumowania (-) otrzmam:.e e.9..e..e e e (-)

29 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie -9 KROK (E): Rozwiązanie układu równań MES Rozwiązanie układu równań (-) daje:.. (-) KROK (F): Obliczanie przekrojowch sił wewnętrznch Sił wewnętrzne obliczam w układzie lokalnm. Wobec tego w pierwszej kolejności określam wektor przemieszczeń węzłów poszczególnch ES: element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-9) (-9) i (-)): u v. u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-9) (-) i (-)): u v. u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u v u.. v A u (-) (-) (-) i o Ponieważ w ustrojach kratowch wstępuje tlko obciążenie węzłowe to f dla wszstkich ES. Sił wewnętrzne obliczone na podstawie przemieszczeń (-) do (-) wznaczonch w lokalnch układach współrzędnch oraz wrażeń ( -9) (-) (-9) i (-) wnoszą: element nr : element nr : element nr :. ( u ) f f k u. ( u ) f f k u (-) (-)

30 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek. ( u ) f f k u (-9) Otrzmane rozwiązanie (z uwzględnieniem znakowania mechaniki budowli) zestawiono w abela -. nr elementu abela - Obliczone sił osiowe w prętach kratownic (znakowanie stosowane w mechanice budowli) oznaczenie sił osiowej [kn] siła osiowa [kn] S -=(-. P) S +=(+. P) S Dla kontroli uzskanch wników rozwiążem kratownicę z Rs. - analitcznie. Jest to klasczne zadanie rozwiązwane w ramach ćwiczeń wtrzmałości materiałów. Zadanie jest jednokrotnie statcznie niewznaczalne prz czm tlko jeden węzeł ma możliwość doznawania przemieszczeń. Załóżm że w przjętm układzie współrzędnch globalnch XOY z Rs. - węzeł nr dozna przemieszczenia do pozcji. Przemieszczenie to przjmiem jako dodatnie. Wówczas wdłużenia prętów układu odnajdziem na podstawie rsunku: a) b) Y b b c D a b P= kn d ` D `` X O Y S S b b g X g S P= kn Rs. -. Plan przemieszczeń węzła nr w przjętm układzie współrzędnch globalnch Wnoszą one: b b cd= D = D cos + D sin (-) b b ab= D = D cos -D sin (-) "= = D D. (-) Wodrębnion węzeł nr z układu pokazano na Rs. -b. Równania równowagi tego węzła zapiszem w postaci:

31 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - b b P g b b P g P = S S cos S cos cos P = S sin S sin sin prz czm wartości sił osiowch w poszczególnch prętach wnoszą: S S S D k D l D k D l D k D. l (-) (-) Podstawiając (-) do (-) i (-) do (-) otrzmam układ równań pozwalając na wznaczenie wartości D D w postaci: gdzie g g D a D a P cos D a D a P sin cos b cos b b b b b b b a k k k a k cos sin k cos sin a k sin k sin. W analizowanm zadaniu mam: b =b =b cos(bi sinb l =l =.m l =.m k =k =k. Przjmując P=+ kn a takżeg układ równań (-) przjmie postać: co daje czli k k b P g k sin b P sin g D cos cos D g g b P cos D k k cos P sin D k sin b P cos D k k cos b P sin g P sin P D.9. k sin b. Ze wzorów (-) (-) i (-) mam: (-) (-) (-) (-) (-9)

32 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek P P D= D cos b + D sin b D sin b.9.. (-) P P D= D cos b -D sin b D sin b.9.. (-) D = D. (-) oraz ze wzoru (-) S D k D l P S D k D.. P l P S D k D.. P l co prz P=+ kn daje nam: S S S kn kn a więc wartości podane w tabeli -. (-). Zadanie DANE: Dana jest kratownica płaska pokazana na Rs. -. Stosując MES obliczć sił wewnętrzne w układzie... P = kn P = kn Rs. -. Schemat statczn kratownic z zadania

33 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - KROK (A): zdefiniowanie modelu MES Przjmujem globaln układ współrzędnch XOY np. w miejscu pokazanm na Rs. -. Nmerujem węzł oraz pręt układu. Przjmujem do rozwiązania element skończon w postaci prostego odcinka pręta z dwoma węzłami po dwa stopnie swobod w każdm węźle (rozdział skrptu Rs. -). Dskretzację układu wprowadzam dzieląc układ na dziewięć elementów skończonch odpowiadającch prętom Rs. - i Rs. -. W każdm elemencie skończonm przjmujem początek układu oraz związan z nim układ współrzędnch lokalnch O wg zasad opisanch w rozdziale. Do obliczeń przjmiem dla wszstkich prętów wartość =const. Y.. P = kn P = kn X Rs. -. Schemat statczn ram zadania numeracja węzłów ES przjęcie lokalnch układów współrzędnch i początków ES przjęcie globalnego układu współrzędnch Wznaczam liczbę stopni swobod i wprowadzam numerację stopni swobod układu związaną z globalnm układem współrzędnch. W zadaniu mam pięć węzłów zatem liczbę stopni swobod obliczam jako: sw w (-) a więc nasz układ statczn ma stopni swobod a wektor przemieszczeń układu można zdefiniować w globalnm układzie współrzędnch następująco:. (-) 9 Przjętą numerację stopni swobod zdefiniowane w rozwiązwanm zadaniu w globalnm układzie współrzędnch pokazano na Rs. -.

34 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek Y O 9 X Rs. -. Przjęte stopnie swobod w globalnm układzie współrzędnch Definiujem wektor przemieszczeń węzłów poszczególnch ES od do w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-) Rs. -: u f u f u f u f u u f u f u f u u f f u f f u f u f u u u u f u f f f f u u f u u f f u f u f u f u f f u f u f u f u f u f u f Rs. -. Wektor przemieszczeń i sił węzłowch ES w lokalnch układach współrzędnch

35 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u u u v u v u u u u oraz w globalnm układzie współrzędnch Rs. -:. (-) (-) Podobnie definiujem wektor sił działającch w węzłach poszczególnch ES ( ) w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-) Rs. -: F F F F F F F F F F O Y F F u F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Rs. -. Wektor przemieszczeń i sił węzłowch ES w globalnm układzie współrzędnch

36 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f oraz globalnm układzie współrzędnch Rs. -: F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F. (-) (-9) Na podstawie Rs. - i Rs. - określam kąt pomiędz osią OX globalnego układu współrzędnch a osiami O lokalnch układów współrzędnch związanch z poszczególnmi ES. Wartości współrzędnch węzłów ES długości ES kąt transformacji oraz wartości funkcji sinus i cosinus tch kątów (potrzebne we wzorach (-) i (-) rozdział ) zestawiono w abela -. abela -. Geometria obliczanej kratownic nr k elementu X i Y i X j Y j l k [m] k [ o ] cos k k sin... ++arctg(./.) arctg(./.)... ++arctg(./.) arctg(./.).9 -. Zatem układ równań MES w naszm zadaniu składa się z dziesięciu równań liniowch które w zapisie macierzowm mają postać: K F (-) gdzie:

37 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - [K] macierz sztwności całego układu o wmiarach ( ) {} wektor poszukiwanch przemieszczeń węzłów w postaci (-) {F} wektor obciążenia układu o wmiarach ( ). Ponieważ rozwiązwan układ statczn jest obciążon jednie w węzłach zatem {F} o = a wektor obciążenia {F} zredukuje się do postaci {F}={F} w. (-) KROK (B): Budowa macierz sztwności układu W kroku obliczeń rozwiązujem kolejne element skończone zgodnie z procedurą przedstawioną w rozdziale oraz budujem macierz układu równań MES całego układu statcznego. Rozwiązanie ES przeprowadzam w lokalnm układzie współrzędnch a następnie transponujem go do układu globalnego Rs. - oraz Rs. -. Element skończon nr ES-: Wkorzstując Rs. -. Rs. -. oraz abelę - mam: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz ++arctg(./.)º oraz =. m Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- - Rs. -. Rs. -: { } { } (-) (-) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (wzór (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-)

38 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)): k wk [ ] A k A G [ ] (-) Element skończon nr ES-: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz +º oraz =. m Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- - Rs. -. Rs. -: { } { } (-) (-9) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (wzór (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):

39 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie wk [ ] A k A G. (-) Element skończon nr ES-: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz +º oraz =. m Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- - Rs. -. Rs. -: { } { 9 } (-) (-) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):

40 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek.. wk [ ] A k A. G.. (-9) Element skończon nr ES-: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz +9º oraz =. m Rs. -: macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): wektor alokacji ES- - Rs. -. Rs. -:.... G k { } {9 } (-) (-) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):

41 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - wk [ ] A k A. G.... (-) Element skończon nr ES-: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz +º oraz =. m Rs. -: macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... G k wektor alokacji ES- - Rs. -. Rs. -: { } { } (-) (-) (-) al (-9) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):

42 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek.. wk [ ] A k A G.. (-) Element skończon nr ES-: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz +arctg(./.)º oraz =. m Rs. -: macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)):.... macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- - Rs. -. Rs. -: { } {9 } (-) (-) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):

43 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie wk [ ] A k A G (-) Element skończon nr ES- macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz ++arctg(./.)º oraz =. m Rs. -: macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- - Rs. -. Rs. -: { } { } (-) (-9) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):

44 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek wk [ ] A k A G (-) Element skończon nr ES-: macierz transformacji i macierz transformacji transponowana dla ES- (wzor (-) i (-)) prz ++arctg(./.)º oraz =. m Rs. -: [ ] [ ] macierz sztwności ES- w lokalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): macierz sztwności ES- w globalnm układzie współrzędnch (wzór (-)): G k wektor alokacji ES- - Rs. -. Rs. -: { } { } (-) (-) (-) al (-) macierz topologii ES- oraz macierz transponowana topologii ES- (jak we wzorze (-) i Rs. -): [ A ] [ A ] (-) poszerzenie oraz wpisanie macierz sztwności ES- zapisanej w układzie globalnm do wmiarów macierz sztwności całego układu (wzór (-)):

45 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie wk [ ] A k A G (-9) KROK (C): Budowa wektora obciążenia układu W ustrojach kratowch wstępuje tlko obciążenie węzłowe. W analizowanm zadaniu obciążon jest węzeł nr pionową siłą skupioną P = kn oraz węzeł nr również pionową siłą P = kn. Wektor obciążenia całego układu jest równ zatem wektorowi obciążeń węzłowch i ma postać: w F F. (-9) KROK (D): Wprowadzenie warunków brzegowch kład równań MES (-) rozwiązwanego zadania otrzmam w postaci: i k F (-9) i a warunki brzegowe (Rs. -) są następujące: 9. wk [ ] (-9) Po uwzględnieniu warunków brzegowch (sposobem trzecim rozdział skrptu) i wkonaniu sumowania (-9) otrzmam: e e.....9e (-9) KROK (E): Rozwiązanie układu równań MES Rozwiązanie układu równań (-9) daje:

46 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek (-9) KROK (F): Obliczanie przekrojowch sił wewnętrznch Sił wewnętrzne obliczam w układzie lokalnm. Wobec tego w pierwszej kolejności określam wektor przemieszczeń węzłów poszczególnch ES: element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-9)): v.9. u 9..9 v A u u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-9)): u v.9. u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-9)): u v u.9.9 v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-9)):.9.9 v u v A u u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-9)): u v.9. u..9 v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-9)): v.9.9 u.. v A u u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-9)): (-9) (-9) (-9) (-9) (-99) (-)

47 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - u v.9 9. u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-9)): u v.9. u v A u (-) (-) i o Ponieważ w ustrojach kratowch wstępuje tlko obciążenie węzłowe to f i dla wszstkich ES. Sił wewnętrzne wznaczone na podstawie przemieszczeń (-9) do (-) wznaczonch w lokalnch układach współrzędnch oraz wrażeń ( -) (-9) (-) (-) (-) (- ) (-9) i (-) wnoszą: element nr i element nr : element nr i element nr : element nr i element nr : element nr i element nr :.. ( u ) f f k u.. ( u ) f f k u ( u ) f f k u.. ( u ) f f k u.. ( u ) f f k u.. ( u ) f f k u (-) (-) (-)

48 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek.. ( u ) f f k u.9.9 ( u ) f f k u (-) Otrzmane rozwiązanie (z uwzględnieniem znakowania mechaniki budowli) zestawiono w abela -. abela - Obliczone sił osiowe w prętach kratownic (znakowanie stosowane w mechanice budowli) nr elementu siła osiowa [kn] nr elementu siła osiowa [kn] Zadanie DANE: Dana jest kratownica płaska rozwiązwana w zadaniu nr -. Obecnie obciążenie ustroju stanowi wpłw temperatur osi jednego z krzżulców pokazanch na Rs. -. Stosując MES obliczć sił wewnętrzne w układzie. t o =- o.. Rs. -. Schemat statczn kratownic z zadania

49 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie -9 Ponieważ obecne zadanie rózni się od zadania poprzedniego jednie obciążeniem postępując identcznie jak w zadaniu nr otrzmam macierz [K] sztwności całego układu również identczną do uzskanej w zadaniu nr równanie (-9). Macierz z uwzględnieniem warunków brzegowch ma tutaj postać: [ K] e e.....9e (-) Dla wgod w analizie tego zadania powtórzm tutaj rsunek przedstawiając przjęt w zadaniu nr podział ustroju na ES oraz ich numeracje a także numeracje węzłów. Pokazano to Rs. -. Y. t o =- o. X Rs. -. Schemat statczn ram zadania numeracja węzłów elementów skończonch przjęcie układów współrzędnch lokalnch i początków elementów skończonch jak w zadaniu nr

50 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek KROK (C): Budowa wektora obciążenia układu W obliczanm układzie temperatura działa jednie na ES-. Pozostałe ES są nieobciążone więc mam: oraz f f f f f f f o o o o o o o (-) to f f f f f f f () () () () () () () to to to to to to (-9) Wpłw temperatur osi na ES- zastąpim fikcjną siłą osiową powodującą identczne skrócenie pręta. Zastępcze statcznie równowarte obciążenie węzłowe elementu ES- wznaczm w sposób zastosowan np. w zadaniu nr rozdziału (Rs. -9). Mam Rs. -9.: N to N to. kn + t o =- o N N N t to t t t o. ( ). kn N to zatem Rs. -9. Zastępcze równowarte statcznie obciążenie ES- kratownic to N to t.. [ kn] (-) o f W układzie globalnm wektor ten przjmuje postać:.. (-) o F.... (-) a wektor obciążenia całego układu wnikając z obciążenia ES- ma postać:

51 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie -.. to f (-) ().. co wobec (-9) daje wektor {F} obciążenia całego układ równ:.. F.. Zatem układ równań MES naszego zadania zapiszem w postaci e e e (-) (-) KROK (E): Rozwiązanie układu równań MES Rozwiązanie układu równań (-) daje:

52 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek (- ) KROK (F): Obliczanie przekrojowch sił wewnętrznch Sił wewnętrzne obliczam w układzie lokalnm. Wobec tego w pierwszej kolejności określam wektor przemieszczeń węzłów poszczególnch ES: element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u.... v.. u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u.... v.. u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u.... v u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u.. v u v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u.... v.. u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)):... v..9 u.. v A u u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): (-) (-) (-9) (-) (-) (-)

53 MES w analizie sprężstej układów prętowch. Przkład. Rozdział. Kratownice płaskie - u v..9 u.. v A u element nr w układzie globalnm i lokalnm (wrażenia (-) (-) i (-)): u v.. u.. v A u (-) (-) Ponieważ w rozwiązwanm zadaniu obciążon jest tlko element ES- wobec tego dla pozostałch i o elementów wektor f i ostateczne sił wewnętrzne w tch elementach są równe: Natomiast sił wewnętrze w ES- będą równe: i ( u f ) dla i ( u ) f f f (-) o (-) Mam zatem sił wewnętrzne wznaczone na podstawie przemieszczeń (-) do (-) wznaczonch w lokalnch układach współrzędnch oraz wrażeń ( -) (-9) (-) (- ) (-) (-) (-9) i (-) wnoszą: element nr i element nr : element nr i element nr : element nr i element nr : ( u ) f f k u ( u ) f f k u ( u ) f f k u ( u ) f f k u ( u ) f f k u.. ( u ) f f k u (-) (-) (-9)

54 - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid Mrozek element nr : ( u ) f f k u.. dla elementu nr mam natomiast prz.e. kn : oraz ( u ).. ( u ) f k u... o f f f.... (-) (-) (-) Otrzmane rozwiązanie (z uwzględnieniem znakowania mechaniki budowli) zestawiono w abela -. abela -. Obliczone sił osiowe w prętach kratownic (znakowanie stosowane w mechanice budowli) nr elementu siła osiowa [kn] nr elementu siła osiowa [kn]