Interpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n

Transkrypt

1 MES 07 lokaln Interpolacja. Układ Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami? Na razie rozpatrwaliśm najprostszą stuację niewiadoma funkcja (np. przemieszczenia, temperatura) jest w przbliżeniu zastępowana na każdm z elementów funkcją liniową. A dlaczego nie użć w tm celu bardziej dokładnej funkcji, np. kwadratowej? Definicja Interpolacja pozwala wznaczć funkcję (zwkle wielomian), która przechodzi przez n podanch punktów Interpolacja jest mostem pomiędz światem matematki tradcjnej (funkcje ciągle, linii z punktów, itd.) a światem matematki komputerowej, w którm wszstko jest dskretne. Cel i środki Kied użwam interpolacji. Nie znam funkcji, mam kilka jej wartości (np. z pomiarów). Funkcja jest znana lecz jest zbt skomplikowana () = 0 ep ( t ) sin(τ )dτ dt π Współrzędne n punktów pozwalają jednoznacznie wznaczć współcznniki wielomianu stopnia n, wkres którego przechodzi przez te punkt Niestet bezpośrednie wznaczenie współcznników wielomianu a 0 +a + a +...+a n n wmaga rozwiązania układu n równań liniowch a 0 +a +a +...+a n n = a 0 +a +a +...+a n n =... a 0 +a n +a n +...+a n n n = n Nasz cel: wmślić metodę, która pozwoli zapisać wzór dla wielomianu interpolacjnego bez żadnch obliczeń. Pomsł: zastąpić poszukiwan wielomian sumą dwóch lub więcej innch wielomianów z łatwmi do wznaczenia współcznnikami Przkład dodawania wielomianów a + b + a + b (a + a ) + (b + b ) Wniosek: suma wielomianów stopnia n zawsze jest wielomianem stopnia nie wżejn

2 Interpolacja. Układ lokaln Wznaczanie sum wielomianów? Wniosek Najprościej wznaczć sumę dwóch wielomianów w punktach zerowch każdego z nich Interpolacja Lagrange a Każd wielomian na składniki 3 Wracam do interpolacji. Mam n punktów (, ),(, ),...,( n, n ), które jednoznacznie wznaczają wielomian P() stopnia n. Punkt i,i =...n będziem nazwać węzłami. Ten wielomian można zawsze przedstawić jako sumęnwielomianówp i (),i =...n tego samego stopnia, każd z którch ma pierwiastki we wszstkich węzłach poza i 3. Ostatnie ptanie: cz można w prost sposób zapisać równanie dla każdego z tch składników? Równanie wielomianu z pierwiastkami w i Twierdzenie Jeżeli jest pierwiastkiem wielomianu P n () to równanie tego wielomianu można zapisać w postacip() = ( )P n () Przkład: dwie postaci wielomianu P() = P() = ( ) 7 = ( )( )( )( )( )( )( ) Rsunki pokazane niżej udowodniają, jak łatwo zapisać równanie dla wielomianu, jeżeli go pierwiastki są znane. Równanie takie, z dokładnością do mnożnika a, można zapisać od razu. a+b = a(+ b a ) = = a( ) a( )( ) = b/a I.Rokach,

3 Interpolacja. Układ lokaln Wielomian Lagrange a, liniow Wzór ogóln: () = a( ) Warunek do wznaczania a: ( ) = = a( ) To dajea = i ostatecznie { 0 = () = = N (), gdzie N () = = FunkcjaN () jest znaną przez nas funkcją kształtu Końcow wzór dla liniowego wielomianu Lagrange a () = + = N ()+ N () Teraz widzim, że wprowadzon wcześniej przez nas element skończon do modelowania prętów użwał liniow wielomian Lagrange a do interpolacji przemieszczeń pomiędz węzłami. Budujem liniow wielomian Lagrange a, krok po kroku. Struktura ogólna:() = +. Miejsca zerowe dla każdego ze składników: () = + 3. W swoim węźle f-cja kształtu = : () = + Budujem kwadratow wielomian Lagrange a i+ i+ i Wzór: () = i + i+ + i+ i i+ i+. Struktura ogólna:() = i + i+ + i+. Miejsca zerowe dla każdego ze składników: () = i ( i+ )( i+ ) + i+ ( i )( i+ ) +i+ ( i )( i+ ) ( i+ )( i+ ) 3. W swoim węźle f-cja kształtu = :() = i ( i i+ )( i i+ ) + ( i )( i+ ) i+ ( i+ i )( i+ i+ ) + ( i )( i+ ) i+ ( i+ i )( i+ i+ ) Przkład Zadanie. Wznaczć wielomian Lagrange a, któr przechodzi przez punkt (,), (,), (4,5) Rozwiązanie () = ( )( 4) + ( )( 4) +5 ( )( ) I.Rokach,

4 Interpolacja. Układ lokaln () = ( )( 4) ( )( 4) +( )( 4) ( )( 4) +5( )( ) (4 )(4 ) () = ( )( 4) 3 + ( )( 4) +5 ( )( ) 6 Można pokazać, że jest to() = 4+5 = ( ) + Ogóln wzór wielomianu Lagrange a n i N(, i ) i=. Interpolacja liniowa N(, i ) = i+ i i+. Interpolacja kwadratowa N(, i ) = ( i+)( i+ ) ( i i+ )( i i+ ) 3. Interpolacja stopnia n : N(, i ) = ( )( )...( i ) ( i+ )...( n ) ( i )( i )...( i i ) ( i i+ )...( i n ) Wzór najbardziej ogóln P n () = n n i i= j= j i j i j Zalet: Wgląda prosto, bardzo podoba się matematkom Wad: Raczej niepraktczn, szczególnie dla n > 3 Podsumowanie. Do wznaczania wartości niewiadomej funkcji (przemieszczeń, temperatur, itp) MES użwa interpolacji wielomianowej, zwkle najprostszej liniowej lub kwadratowej. Zaletą wielomianów interpolacjnch Lagrange a jest możliwość zapisania wzoru obliczeniowego od razu, bez wstępnch obliczeń. Z tego powodu funkcje kształtu oparte na tm tpie wielomianów są użwane w MES najczęściej. 3 Lokaln i globaln układ współrzędnch MES z punktu widzenia magazniera. Macierz sztwności obliczam ze wzoru k = V B T DBdv. Mam 5 elementów. Każd ma swoje własne współrzędne węzłów, swoje własne funkcje kształtu, swoją własna macierz sztwności. 3. Ale realnie tu jest 3 jednakowch pręt cienkich i grubch i tlko rodzaje macierz sztwności. Cz MES tego nie widzi? I.Rokach,

5 Interpolacja. Układ lokaln Globalne i lokalne podejście Podejście globalne Podejście lokalne i i Numer węzłów: i,i+ Współrzędne węzłów: i, i+ Funkcje kształtu: N i (),N i+ () Numer węzłów:, Współrzędne węzłów: -, Funkcje kształtu: N () = ( ), N () = (+) Podstawowa zaleta podejścia lokalnego Funkcję kształtu w układzie lokalnm są identczne dla elementów tego samego tpu. Czli w naszm przpadku dla wszstkich 5 elementów lokalne funkcje kształtu są jednakowe. Kolejność operacji prz wznaczaniu macierz sztwności dla elementu liniowego Globalne podejście. Wznaczam N i (),N i+ (). Wznaczam dn i(), dn i+() d d 3. Obliczam k = B T DBdv () Lokalne podejście V. N () = ( ), N () = (+), dn (). Wznaczam transformację = f() 3. We wzorze () zastępujem przez =, dn () = są znane Z punktu widzenia programist, jest szansa, że użwając podejścia lokalnego można zdecdowanie przspieszć obliczenia macierz sztwności elementów. O ile nie będzie problemów z wznaczeniem transformacji = f() Transformacja () : N () N () i i+ i i+ - 0 i+ = f() i I.Rokach,

6 Interpolacja. Układ lokaln Funkcja = (), metoda ściśle MESowska Każdą funkcję f() można aproksmować liniowo za pomocą interpolacjnego wzoru f() = f N ()+f N () gdzief, f wartości f() w węzłach. Czli w ten sposób można również zapisać równanie dla () () = i N ()+ i+ N () Test równania () = i N ()+ i+ N () =, ( ) = i N ( )+ i+ N ( ) = i + i+ 0 = i = +, () = i N ()+ i+ N () = i 0+ i+ = i+ Zadanie domowe Sprawdź, cz (0) = ( i + i+ )/ Macierz sztwności pręta, jeszcze raz Dodatkowe wzor. Wzor na macierz sztwności zawierają pochodne funkcji kształtu po. Musim zastąpić ich wzorami na pochodne po. Pochodna funkcji złożonej: df(()) ( ) d df() d = df(()), dn i+() B = [ dn i() d d ] = [ dn () = df() d, dn () ] d ( ) d i+i 3. Zamiana zmiennch: f()d = f(()) d i d = L Przkład, któr pokazuje sens ostatniego wzoru: jeżeli pewn towar w Polsce kosztuje d L zł, a na Słowacji, to kurs złotówki to L/ zł za. Czli wartość pochodnej jest kursem wmian -ow na dla danego towaru. Przkład: obliczanie pochodnch funkcji kształtu na dwa sposob Zadanie Wznaczć pochodne funkcji liniowch kształtu dla elementu z węzłami w p. = 4, = 6 Układ globaln W ramach ćwiczenia zapiszem każdą z funkcji kształtu jako wielomian Łagrange a: N () = ( 6)/( 4 6) = ( 6)/0, N () = ( ( 4))/(6 ( 4)) = (+4)/0 dn () d Układ lokaln = 0, dn () = d 0 N () = ( ), N () = (+), dn () =, dn () = () = N ()+ N () = ( 4) /( )+6 /(+) = I.Rokach,

7 Interpolacja. Układ lokaln d() ( ) d() = 5, = 5, dn () = dn () d dn () = d 5 = 0 ( d() ) = 5 = 0,. Realnie wznaczanie d() na piechotę bło zbędne, ponieważ mieliśm prostsz wzór d() = L = 0/ = 5. Sens fizczn wzoru = +5 jest prost. Lokaln układ jest wnikiem przemieszczenia początku układu współrzędnch o i 5-krotnego rozciągnięcia osi Nowe wzor ma macierz sztwności i wektor obciążenia Macierz sztwności, wzór ogóln i+ k i = B T DB dv = A i B T DB d= A i V i i ( ) d = A i B T DB [ ( ) ] T ( ) d d d B DB Kolorem czerwonm pokazane są zmienne składniki wzorów na macierz sztwności otrzmane w globalnm i lokalnm układach współrzędnch (zakładam, że materiał jest ten sam dla wszstkich elementów). Widzim, że użwając lokaln układ współrzędnch możem wcześniej wznaczć niezmienną część macierz sztwności dla danego tpu elementu i tm samm znacznie przśpieszć obliczenia. Macierz sztwności dla elementu liniowego [ ] / k = A i E[ / /, /] = EA [ ] i /4 /4 L i L i /4 /4 Sił węzłowe = EA i L i [ ] F i = i+ i q()n i ()d = Dla równomiernego obciążenia q() = q: F i = ql i N () = ql i q()n () d = L i q()n () ( ) = ql i Obserwacja Warto odnotować, że nawet dla najprostszego równomiernego obciążenia program musi wznaczć wartość pewnej całki, żeb obliczć wartość sił węzłowej. Jak on to robi? Szczegół już wkrótce. 4 Dodatki Pochodna złożona, sens fizczn 0 d d = () = d d d = d d d 0 d Zmiana skali = d Wkład został opracowan w LATEXe za pomocą klas BEAMER, graficznego pakietu PGF/TikZ i pakietu do tworzenia wkresów PGFPLOTS. Zanim wdrukujesz pomśl o środowisku. Before printing think about environment I.Rokach,